[KDJ#12] Une équation vite pliée avant la rentrée ! (Exercice)

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Күн бұрын

Dans cette émission, je te propose de résoudre ensemble une équation amusante. Comme souvent, le plus difficile consiste à savoir par où commencer ! Peut-on trouver des solutions particulières ? Sera-t-il possible d'isoler x ? Qu'en est-il d'une étude de fonction ? Il y a de quoi se perdre dans toutes ces questions. Pourtant, l'exercice peut être plié en deux minutes…
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0:00 - Énoncé de l'exercice
0:24 - Remarques des étudiants
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2:09 - Solution de l'exercice
5:00 - Outro
🎥 Émissions connexes:
[EM#26] Théorème des accroissements finis (Démonstration) - • [EM#26] Théorème des a...
✒️ Notions abordées: équation d'inconnue réelle, étude de fonction, fonction dérivable, taux d'accroissement, théorème des accroissements finis, raisonnement par disjonction de cas, fonction strictement monotone, fonction injective, Dedalus Fecit, méthodologie de résolution d'exercices.
🌞 Bonne écoute !
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#BacPlus1 #Analyse #Exercice

Пікірлер: 44

@fabiencazeau1506 7 ай бұрын

Je suis sorti de maths spé il y a plus de 20 ans déjà sans passer de concours, et pour intégrer... une école d'art, je suis excessivement rouillé mais votre chaîne est un vrai plaisir. Moi qui ne supporte pas ces youtubeurs vulgarisateurs qui se mettent en scène constamment et parlent à leurs abonnés comme à des enfants, ça me fait du bien.

@oljenmaths 7 ай бұрын

Merci pour ce commentaire sympathique 😁! Je vois de quel genre de vidéastes vous parlez, en effet… le jour où je commencerai une de mes vidéos par « Salut les amis ! », ou peut-être même « Salut les reufs ! », je compte sur vous pour me tirer l'oreille 🤣!

@fabiencazeau1506 7 ай бұрын

@@oljenmaths Gare à la "commu" !

@michelbernard9092 7 ай бұрын

A mon humble avis, un rappel illustré sur les "accroissements finis VS dérivée qui est appliqué ici" mériterait quand même une illustration. Pour r^x=s^x =>x=0 on peut passer aussi par les log car les deux expressions sont>0 il vient x*ln(r)=x*ln(s) et si r≠s l'équation n'est vraie que si x=0

@ThetaMaths Ай бұрын

Super ! En fait, pour tous réels A et B strictement positifs avec B=\1, les solutions de l'équation A^x+B^x=(A+1)^x+(B-1)^x sont x=0 et x=1, C'est une jolie généralisation !

@oljenmaths Ай бұрын

Je reconnais la curiosité des grands amateurs de mathématiques là-dedans 😇. On trifouille, on bidouille, on généralise, on cherche à comprendre 👨🏻‍🏫!

@jamesmaxwell_it 6 ай бұрын

Vraiment excellent 👌👍

@nicolasmartig8506 7 ай бұрын

Très bonne vidéo, comme d'habitude 👍

@oljenmaths 7 ай бұрын

Merci 😁!

@tariklahcen9928 7 ай бұрын

ما شاء الله، وفقك الله

@louisp640 7 ай бұрын

Salut ! Juste je tenais à te dire que tes petites annonces sur youtube pour promouvoir tes vidéos (là où tu mets le lien) sont carrément à ne pas négliger pour l'algorithme (d'ailleurs je suis sur cette vidéo pour cette raison) continue comme ça !!!

@oljenmaths 7 ай бұрын

Salut et merci pour ce retour qui m'est très utile 😇! Pour tout ce qui est promotion, je dois bien avouer que j'y vais un peu à tâtons 🤣!

@user-hd8gt5go4o 6 ай бұрын

Je ne sais pas si cela a été signalé mais on peut également utiliser la connexité/concavité strictes lorsque x 1

@oljenmaths 6 ай бұрын

Je n'ai pas croisé cet argument dans les commentaires ; merci pour le partage 😁 !

@matthieubrilman9407 7 ай бұрын

Une fois arrivé à (5^x-4^x)/(5-4) = (3^x-2^x)/(3-2) et qu'on a vu que ça implique que t --> t^x admet la même dérivée en deux points différents, on peut se passer de calculs : la seule possibilité est que t --> t^x soit affine (car sinon elle est forcément convexe ou concave... et donc pas possible d'avoir la même dérivée en deux points distincts). Et donc il n'y a pas d'autre solution que x = 0 et x = 1.

@oljenmaths 7 ай бұрын

Très élégant 🥳! Merci pour le partage 😁!

@paolo_mrtt 7 ай бұрын

salut, je suis en première donc je n'ai pas tout tout compris, mais c'est normal j'imagine. La vidéo en tous cas est très bien expliquée, merci. Cependant quand à la fin tu as divisé des deux cotés pour obtenir s^(n-1) = r^(n-1), avais tu le droit puisque x = 0 est une solution ?

@volbqck 7 ай бұрын

Tu as le droit si tu indiques que l'équation possèdes deux solutions : cas x = 0 et cas x != 0

@oljenmaths 7 ай бұрын

Pour un étudiant en première, je résumerais la situation ainsi: après avoir reformulé l'égalité cible en termes de taux d'accroissements égaux, un théorème mystérieux, appelé « théorème des accroissements finis », permet de la reformuler en une équation plus simple encore, une équation que l'on sait résoudre 🧙🏻‍♂️. Si tu es curieux, sache que ce théorème s'interprète graphiquement de manière très simple, et que je l'ai fait dans cette autre vidéo 😇. 🎥 [EM#26] Théorème des accroissements finis (Démonstration) - kzbin.info/www/bejne/q2TTimR5fqieeKM Quant à la question sur la division, la phrase que j'écris est correcte mais dissimule une disjonction de cas. Soit x = 0 et l'équation est vérifiée, soit x n'est pas nul et l'équation équivaut, après division par x, à r^(x-1) = s^(x-1) 👍🏻.

@kawned Ай бұрын

pourquoi mentionnes-tu pi ? c'est r^(n-1), pas pi

@paolo_mrtt Ай бұрын

@@oljenmaths j'ai oublié de dire merci, merci !

@paolo_mrtt Ай бұрын

@@kawned oui en revisionnant je me suis trompé

@beethoven5984 7 ай бұрын

À quels niveaux sont destinés ces exercices ?

@oljenmaths 7 ай бұрын

Tout dépend de ce qu'il y a inscrit en haut à gauche de la miniature. Le T correspond à la terminale, puis les +n correspondent à Bac+n. Ici, c'est donc Bac+1 😉.

@mehdielabdaoui1955 7 ай бұрын

Moi j'ai tout compris, mais j'ai un niveau de connaissances L2 en analyse.

@lazm6047 7 ай бұрын

En passant par 5^x + 2^x = (5 + 2)^x - Σ5^i.2^j. Et pareil avec l'autre on se retrouve avec le nombre de gauche qui doit être un multiple de 2^i et 5^j et celui de droite qui doit être un multiple de 4^i et 3^j Il semble à ce moment là que la solution n'est plus très loin

@adamboussif8035 7 ай бұрын

x est réel il me semble et pas juste un entier

@lazm6047 7 ай бұрын

@@adamboussif8035 ah oui 😭

@oljenmaths 7 ай бұрын

Cela dit, effectivement, la même équation, d'inconnue entière, est intéressante à traiter pour s'entraîner. Je pense qu'elle offre même, d'un point de vue pédagogique, des possibilités très riches pour apprendre en termes de logique et d'arithmétique 😉.

@emilie375 7 ай бұрын

Hello, montrer que si x est différent de 1 alors r^(x-1) = s^(x-1) n'avait pas de solution ne m'a pas posé de difficulté (j'ai pensé à l'argument donné dans la vidéo), par contre le cas x = 1 me posait bêtement problème (je dis bêtement parce que j'ai compris depuis que c'était tout simple). En réalité ce qui me bloquait est qu'il fallait exclure 1. J'ai bien vu, une fois que c'était dit, que pour x = 1 la puissance était égale à 0 mais je ne sais pas si j'y aurais pensé seule. Du coup, j'ai raisonné plutôt comme suit : * Comme s est non nul, s^(x-1) l'est également et je peux donc diviser de par et d'autre par ce nombre. Ainsi, l'équation r^(x-1) = s^(x-1) équivaut à (r/s) ^(x-1) = 1. D'ici avec mes connaissances de collège sur les puissances j'ai pu conclure mais comme je ne sais pas très bien comment démontrer la propriété utilisée pour cela sans passer par un logarithme et bien c'est ce que j'ai fait.

@oljenmaths 7 ай бұрын

Salutations et félicitations 😇! Vous vous êtes posée la bonne question au moment où les choses se corsaient, vous n'êtes pas passée en force là où ce n'était pas possible et avez trouvé un chemin pour parvenir à bon port: c'est une belle démarche mathématique que j'encourage chaleureusement 🥳!

@noamgrolleau3632 7 ай бұрын

Bonjour Oljen, je n'ai pas du comprendre quelque chose, en effet , je ne comprends pas le passage direct du taux d'accroissement vers la dérivée, ne faudrait-il pas exprimer de manière intermédiaire la limite du taux d'accroissement : (f(4+h)-f(4))/h et (f(2+h)-f(2))/h. Je profite de ce commentaire pour vous remercier pour l'aide que vous apportez à moi et à de nombreux étudiants je pense.

@oljenmaths 7 ай бұрын

Salutations ! On peut en effet passer par l'étape intermédiaire indiquée, mais ce n'est pas nécessaire, dans la mesure où un taux d'accroissement peut tout aussi bien s'exprimer comme [f(x+h)-f(x)]/h que comme [f(b)-f(a)]/(b-a). En l'occurrence, c'est la deuxième forme qu'on peut reconnaître immédiatement 😉.

@noamgrolleau3632 6 ай бұрын

@@oljenmaths Merci Oljen pour votre réponse, ma question cachait une incompréhension plus grande, je n'avais en effet pas saisi que l'on s'appuyait sur le théorème des accroissements finis et non sur la définition de la dérivée en un point connu à partir de la limite du taux d'accroissement, d'où l'introduction d'un réel r et s. Merci en tout cas pour votre réactivité et en vous souhaitant la prospérité de la chaîne !

@lecokase 7 ай бұрын

J’ai vite vu x = 0 ou 1 ; Le reste de l’explication j’y ai rien compris ! Merci

@emilie375 7 ай бұрын

Bonjour, la clé de l'explication est l'utilisation d'un théorème appelé "Théorème des accroissements finis", celui-ci est vu en première année de mathématiques dans le supérieur et je t'encourage à jeter un coup d'oeuil si cela t'intéresse. Ce théorème nous permet ici de transformer notre équation en une autre beaucoup plus facile à résoudre. Avant et après cela ce ne sont que de petites manipulations de collège et un peu de raisonnement du même niveau.

@lecokase 7 ай бұрын

@@emilie375 merci pour vos explications. Je suis fasciné par les maths et la vulgarisation des mathématiques mais je n’ai pas l’esprit câblé pour vraiment comprendre. L’apprentissage des mathématiques au collège a été une catastrophe pour moi! Vraiment dommage ; à posteriori, les profs de maths n’avaient aucune pédagogie, ni le matériel pour mettre en application les Notions apprise au collège. Ceux qui retenaient les formules et les techniques avaient de bonnes notes! J’ai toujours eu des tôles en maths au collège. C’était de la science fiction. C’était il a 45 ans. J’espère que cela a évolué ? Et que l’apprentissage se fait avec des démonstrations et des mises en perspectives avec des phénomènes des autres matières ! Quand je vois le talent des vulgarisateurs en maths , il y a des Choses à faire ! Après en prépa et en hautes études. Les concepts sont plus informels car les esprits des étudiants en maths théoriques sont plus à même d’abstraction.

@emilie375 7 ай бұрын

@@lecokase Je ne sais pas trop. Ce que j'ai retenu de la période où j'ai enseigné au collège est qu'on manquait grandement de temps et que souvent il fallait revenir sur des choses sensées avoir été apprises aux niveaux/chapitres précédents. C'est normal d'oublier certaines choses mais on ne peut pas passer l'année de 6ème à refaire le programme du primaire, celle de 5ème à refaire le programme de 6ème + celui du primaire, etc. Pour pouvoir faire des démonstrations, des problèmes plus complet, des liens avec d'autres matières il faut que les bases soient solides (un peu comme les fondations pour une maison) et comme on est pris par le temps ce sont malheureusement des choses qu'on fait peu. Idem pour la vulgarisation, c'est quelque chose qu'on peut faire en complément d'un cours traditionnel mais pas à la place. Un peu comme quand on apprend la musique (on peut de temps en temps apprendre des morceaux qui nous plaisent mais cela ne peut pas remplacer complétement le solfège), le sport, la cuisine, etc. Il y a un moment où si l'on souhaite progresser il faut en passer par la technique. Cela dit, je pense que la manière d'enseigner les maths aujourd'hui est peut-être moins théorique/abstraite qu'elle n'a pu l'être à votre époque. Si j'avais des conseils à donner pour progresser en maths : - contrairement à ce que pensent beaucoup de personnes les maths ce ne sont pas "des chiffres" mais des objets qu'on définit et qui on certaines propriétés (par exemple on définit ce qu'est un triangle rectangle puis on donne des propriétés qui lui sont liées comme le théorème de Pythagore) - il faut apprivoiser (= vulgariser pour soi-même) les concepts, chercher à comprendre les formules plutôt que de les apprendre par cœur. On peut étudier des exemples et contre-exemples ("ah bah oui là ça peut pas marcher parce que [...]"), lire les démonstrations en prenant le temps avec un papier et crayon de se demander quelle va être l'étape suivante afin de bien comprendre comment le "mécanisme" fonctionne et quelle(s) sont les pièce(s) qui font que ça tourne - c'est comme pour tout, il faut s'entrainer. Chercher des exercices aux brouillons même si on finit par regarder la solution permet de mieux mémoriser les notions. Eventuellement refaire quelques jours après un exercice sur lequel on a bloqué (en général ça se passe mieux), tenir un carnet avec les astuces qu'on découvre exercice après exercice (comme ici dans cette vidéo : penser à l'égalité des accroissements finis. Honnêtement je n'y aurais pas pensé seule mais si c'était dans une liste de choses que j'aurais tester "bêtement" les une après les autres j'aurais pu m'en sortir)

@jcfos6294 7 ай бұрын

Affirmez tout de go que (5^x + 4^x)÷ (5-4) = f'(x) = xt^(x-1) , c'est vraiment présomptueux!!! 😮 Car si f(x) = t^x, à quoi est égal f'(x)?????... Ce n'est pas une dérivée d'une fonction usuelle ? Les dérivées des fonctions usuelles, ne font pas rentrer la variable x au niveau de la puissance ! Il me semble que vous sautez une étape majeure : démontrer la forme de la dérivée de f(xl = t ^(x). Et ça c'est pas rien

@user-gp2wk8rz3p 7 ай бұрын

On peut retrouver la valeur de f’(t) à partir de f(t)=t^x=e^(xln(t)) et en utilisant le fait que si f(t)=e^u(t) alors f '(t)=u'(t).e^u(t). Ça donne ici f ’(t)=(x/t).e^(xln(t)=(x/t).t^x=x.t^(x-1)

@oljenmaths 7 ай бұрын

À 3:00, je considère la fonction qui à t associe t^x. La variable, c'est t, et non pas x. La dérivée est donc une dérivée usuelle… 🤷🏻‍♂.