[KDJ#4] Saurez-vous y voir clair dans ce brouillard sinusoïdal ? (Exercice d'oral X/ENS)

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Күн бұрын

Dans cette émission, je calcule la limite d'une suite qui cumule les symboles menaçants: sinus, π, √… Ne pouvant pas passer en force, tout commence, comme souvent, par l'analyse des difficultés posées par l'objectif.
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0:00 - Énoncé de l'exercice
0:17 - Analyse du problème
1:40 - Une première idée
3:42 - Recherche: liquidation du √3
4:56 - Bilan de la situation
5:44 - Solution - Un peu de réussite
7:27 - Quelques réflexions à propos de l'exercice…
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✒️ Notions abordées: suite convergente, mesure d'angle, nombre π, périodicité, formule du binôme de Newton, séparation des termes pairs et impairs, continuité, méthode de résolution d'un exercice.
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#Terminale #Analyse #Exercice

Пікірлер: 47

@qeuchniot 10 ай бұрын

Bonjour. Il y a aussi une solution sans utiliser le binôme de Newton mais qui utilise une propriété bien connue et souvent demandée en exo en CPGE: pour tout réel x tel que x+1/x ∈ Z, alors x^n+1/x^n ∈ Z (n≥1) qui se démontre facilement par récurrence forte (un bon exercice !). Ici x=2+√3 vérifie cette propriété et on a même que (2+√3)^n+1/(2+√3)^n est un naturel pair 2k (tjrs par récurrence forte). D'où |sin(π/2. (2+√3)^n)| = |sin(π/2.(2k - 1/(2+√3)^n)| = |sin(kπ - π/[2(2+√3)^n])|= |sin(π/[2(2+√3)^n])| qui tend vers sin(0)=0 par continuité quand n tend vers +∞.

@oljenmaths 10 ай бұрын

Superbe ! Je connais cet exercice, je le donnais en colle aux MPSI du lycée Carnot (Dijon) lorsque je faisais ma thèse là-bas ! Que de souvenirs ! Merci pour ce partage, c'est vraiment très joli 🤩!!

@girianshiido 10 ай бұрын

C'est un exercice classique mais de toute beauté, surtout quand il est présenté avec tant de finesse ! Merci.

@MiraiNono 10 ай бұрын

Cet exercice vient tout droit des oraux X-ENS et fait partie des exercices (du concours X-ENS) les plus accessibles pour les élèves de première année de prépa. J'ai adoré le fait que tu nous expliques les démarches de réflexion qui mènent à la résolution du problème. ❤

@oljenmaths 10 ай бұрын

Merci beaucoup pour ce renseignement, j'ai trouvé cet exercice sur une feuille de khôlle dont j'ignore la provenance 😅! C'est un plaisir d'essayer d'expliquer les démarches de réflexion en espérant les rendre accessibles 🤞🏻. PS: J'ai édité le titre ;-).

@MiraiNono 10 ай бұрын

haha merci! @@oljenmaths c'est un très vieil exercice de l'école Polytechnique (d'au moins avant 2007, année de publication du recueil d'exercices des oraux X-ENS)

@goranvrbancic9689 10 ай бұрын

Format et réalisation très sympa pour ces KDJ 👍🏼

@jean-paul4337 10 ай бұрын

quelle démonstration ! quelle élégance!!!

@abdoulkhadrediallo8149 10 ай бұрын

La démarche est extraordinaire ❤

@abdelmoulamsaddaq8240 10 ай бұрын

Je l ai fais à l instinct mais j apprécie beaucoup ta manière didactique et sûre ❤

@AllemandInstable 9 ай бұрын

cette série est une bombe de méthodologie ! un viewer déterminé devrait assurer en DS en se tapant toute cette série et celle sur le professeur Layton

@oljenmaths 9 ай бұрын

C'est, en effet, ce que je recommande à tous ceux qui n'ont pas les moyens de s'offrir mes formations. En termes de méthodologie, il y a déjà beaucoup de choses à apprendre des vidéos de ces séries 👍🏻.

@LePlot. 10 ай бұрын

Les vidéos sont tellement bien réaliser, je suis en première année de licence physique recherche, je comprend pas tout mais c'est intéressant tout de même !

@oljenmaths 10 ай бұрын

Merci beaucoup pour ce message sympathique 🙏🏻!

@antoinebrgt 10 ай бұрын

Super exercice!

@oljenmaths 10 ай бұрын

Merci Antoine ! Je ne doute pas que tu apprécies davantage les exercices qui piquent un peu plus 😅 !

@mathematicien 10 ай бұрын

@HermesOnEarth 10 ай бұрын

❤

@lezovuste2024 10 ай бұрын

Merci pour votre vidéo. Et si nous voulions chercher les valeurs de a pour lesquelles la suite (sin(pi/2 * a^n)) converge ?

@oljenmaths 10 ай бұрын

Au plaisir 🥳! Je suppose qu'il me faudrait faire une vidéo d'une bonne demi-heure, héhé 🤣. Je ne l'ai pas fait, mais c'est une question que je me suis posée à l'issue de cet exercice, assurément !

@Simon-hb7wb 10 ай бұрын

Bonjour, tout d'abord bravo et merci pour la qualité exceptionnelle de vos vidéos. Je me demandais, quelle est le nom de la police cursive que vous utilisez dans vos vidéos ? Je vous remercie par avance.

@oljenmaths 10 ай бұрын

Salutations et merci 🙏🏻! La police cursive est mon écriture manuscrite à ce qu'elle peut être de meilleur, tout simplement 😉!

@jamesmaxwell_it 10 ай бұрын

Bon ben bravo rien a dire , j'ai même compris mais je n'y serais pas arrivé même après 1 million d'années...😢

@matteo7861 7 ай бұрын

Solution alternative : remarquer que la suite u_n = (2+3^(1/2))^n + (2-3^(1/2))^n verifie u_(n+2) = 4× u_(n+1)- u_n car elle est racine du polynôme (X - (2-3^(1/2)))(X- (2+3^(1/2))) = X^2 -4X +1 (cours de sup sur les suites récurrentes linéaires). Or, ses deux premiers termes sont pairs et la relation de recurrence maintient la parité. Donc u_n est paire. Puisque (2-3^(1/2))^n tend vers zero, (2-3^(1/2))^n/2 tend vers un entier. Donc le sin tend vers zero.

@oljenmaths 7 ай бұрын

Magnifique 🤩!!

@michelbernard9092 10 ай бұрын

Franchement, dites moi si il y a qq de Tale qui a résolu cet exo. Pour ma part, j'ai pas encore trouvé, je cherche, mais je me refuse à regarder la solution avant...

@oljenmaths 10 ай бұрын

Pour toutes les personnes dans votre situation, je recommande une première phase de recherche (énoncé seul), puis une deuxième à partir des éléments présentés jusqu'à 2:08. À partir de là, il faut adapter l'idée présentée, et surtout, bien définir ses objectifs 🎯. Je précise qu'à ma connaissance, les seuls outils utilisés sont au programme de terminale. Mais bien entendu, la dextérité exigée pour utiliser ces outils n'est en général pas acquise à ce niveau d'études (on est très loin du bac…) !

@sakurafromparis1764 10 ай бұрын

Il faut vraiment avoir l'idée -ou plutôt les idées- pour résoudre ce problème même s'il est très beau. La correction n'est pas facile à suivre et je m'y suis repris à plusieurs fois....

@oljenmaths 10 ай бұрын

Oh oui, ce n'est pas pour rien qu'ils proposent cet exercice aux oraux des écoles les plus prestigieuses ! On peut le rendre raisonnable, comme j'ai essayé de le faire, mais il nécessite beaucoup d'initiative si on le compare à des exercices plus « classiques » 👍🏻.

@sixtysix4168 10 ай бұрын

"Avec un moins devant les termes impairs" (en rajoutant un moins devant racine de 3), je n'ai pas compris cette phrase. J'ai compris pourquoi on fait ça, mais je trouve l'explication peu claire quand on a des difficultés.

@oljenmaths 10 ай бұрын

Effectivement, je cache sous le tapis que (-1)^k vaut -1 lorsque k est impair. C'est toujours délicat de trouver l'équilibre entre les choses à expliquer et les choses qu'on peut sous-entendre pour ne pas que la vidéo devienne trop pénible à regarder 😇.

@fabienleguen 10 ай бұрын

Quelqu’un a tenté la méthode brute force avec un développement de Taylor du sinus ? Il est tard, je suis en position horizontale et le papier et les crayons sont un peu loin 😅

@oljenmaths 10 ай бұрын

Ouuuff ! Mon siège a reculé d'un bon mètre rien que d'y penser 🤣 !

@fabienleguen 10 ай бұрын

@@oljenmaths j’ai essayé ce soir. La stratégie que j’envisageais était de pouvoir agir sur le « puissance n » par manipulation algébrique à l’intérieur de la série (car on y trouve un [2+sqrt(3)]^[2kn+n]) en espérant retomber sur une autre forme de série de Taylor connue et différente, puis faire « la transformation Taylor inverse » dans l’espoir que ce qui apparaîtrait alors serait facilement bornable pour calculer la limite => échec (ou alors je me suis perdu dans les arcanes de cette zone du labyrinthe en manquant une des sorties).

@michelbernard9092 10 ай бұрын

Je vous livre mes pensées concernant cet exo : Tout d'abord, le terme (2+√3)^n ne converge pas, car 2+√3>1 donc si Un a une limite alors la valeur de (π/2)*((2+√3)^n) correspond à un nombre entier de demi-tours* sur le cercle trigonométrique du style sin ((π/2)*((2+√3)^n))= sin (k(n)*π + v(n)) avec 0⩽v(n)⩽ π pour tout n d'où Un=+/-sin (vn) avec 0⩽v(n)⩽ π selon la parité de k(n). de ce fait, si ça converge, les sous-sutes Un avec n pair n impaire ne peuvent que converger vers 0, seul réel possible pour que x=-x. donc Un, si elle converge : 1) elle doit pouvoir s'écrire Un= sin(k(n)*π + v(n)) avec v(n) qui converge 2) elle converge forcément vers zéro Je sais que ça n'a rien à voir avec une démonstration. * Si ce n'était pas le cas on pourrait extraire de Un une sous-suite Unp qui ne convergent pas. Bon maintenant je vais voir la correction

@oljenmaths 10 ай бұрын

Ce sont vraiment d'excellentes réflexions, et vous avez parfaitement « mérité » de voir la correction, comme vous vous en apercevrez au vu de la solution que je propose 😇! Belle recherche !!

@michelbernard9092 10 ай бұрын

@@oljenmaths Jolie correction que j'ai beaucoup appréciée, pour ma part j'avoue m'être arraché les cheveux avant de pondre mon texte ; je vous explique : lorsque je vois des √3 et des 2 dans un sinus, je pense de suite à des angles style π/3 ou π/6, mais no way, Ensuite quand je vois des puissances dans des sinus, je me dirige vers les complexes avec la formule de Moivre en espérant récupérer la partie imaginaire des sinus, mais rien à faire non plus. Bref, je me serais fait recaler sur cette khôlle. En tout cas, c'est un bel exercice merci de l'avoir proposé. ON EN VEUT ENCORE DES COMME ÇA 😀

@oljenmaths 10 ай бұрын

@@michelbernard9092 Pas forcément recaler, en réalité. Ce qu'un jury / professeur souhaite voir, c'est le mouvement dans les raisonnements, la réaction face aux échecs, et ainsi de suite. Bien sûr, réussir fait très bonne impression, mais le plus intéressant, c'est ce que vous êtes capable de faire lorsque les choses ne se passent pas comme prévu. J'ai bon nombre de témoignages d'oraux dans des très grandes écoles où le candidat n'a eu l'impression de ne parvenir à rien, et où il s'en est pourtant très bien sorti au niveau de la note😉.