[UT#40] Intégrales à paramètres - Introduction (1/2)

[@Weazzy34]

Super intéressant la méthode de calcul de la limite de phi(x), merci beaucoup !

[@Nathan-le1nw]

"Sois le bienvenu"😍

[@elaminelemsafi592]

Mercii pour vos efforts 💕💕

[@Lucasprimedex]

J'adore !

[@jackuhuru]

Très clair. Bravo

[@nourhennechniti6947]

Merci ❤

[@smartcircles1988]

Avez-vous une autre méthode @oljen plus jolie que prendre x < y et comparer f(x) et f(y) même si je trouve cette idée absolument géniale ! C'est une méthode plus facile que l'étude classique de la dérivée qui dans le cas des fonctions définies par une intégrale beaucoup trop trivial ! Est-ce qu'on peut utiliser cette idée pour d'autres fonctions ? En devoirs surveillés ?

[@oljenmaths]

Il est important de comprendre que: 🔹 La définition de la monotonie consiste à considérer x < y, puis à comparer f(x) et f(y). C'est la méthode de base que je vais utiliser, soit quand je ne dispose pas de dérivée, soit quand la dérivée me paraît trop pénible à calculer. 🔹 Pour les fonctions de R dans R, on a introduit au lycée un objet, appelé dérivée, dont le signe permet d'obtenir la monotonie de la fonction étudiée (ce qui n'est pas démontré rigoureusement). Voici un exercice qui pourra t'intéresser: comment fais-tu pour étudier la monotonie de x -> exp(exp(exp(exp(x)))) ? Calcules-tu une dérivée ?

[@smartcircles1988]

@@oljenmaths Merci pour cette exemple mais cette fonction me paraît trop difficile à dériver même si elle est de R dans R donc on va considérer x

[@oljenmaths]

@@smartcircles1988 Non, celle-ci convient très bien. Si x < y, alors par croissance de l'exponentielle, exp(x) < exp(y), donc exp(exp(x)) < exp(exp(y)), et ainsi de suite. La dérivée n'est pas la panacée, même si les sujets donnés au lycée le laissent à penser.

[@smartcircles1988]

@@oljenmaths Je vois vous envoyer un mail

[@4pm.mp416]

Bonjour, pour une intégrale à paramètre, peut on voir cela comme une « tranche » de la représentation graphique d’une fonction à deux variables Ou l’on a fixé x ? Je ne sais pas si je suis clair

[@4pm.mp416]

Dans le sens on vu du dessus on a fixé x. On prend les points (x, a) et (x, b) et on intègre selon le segment qui les relie en gros

[@oljenmaths]

Oui, complètement. Sous le graphe d'une fonction à deux variables, il y a un volume, et l'intégrale à x fixé, par rapport à t, correspond à une tranche : à l'aire de la surface obtenue comme intersection entre le graphe de la fonction à deux variables et le plan d'équation {abscisse = x}.

[@4pm.mp416]

@@oljenmaths merci beaucoup de votre réponse !

[@ayaabennani3606]

MERCI

[@elinzamba5196]

Merci

[@Fastsina]

Monsieur, Je vous remercie pour vos videos ^^ Bien définie ça veut dire ce qui est sous l'intégrale est intagrable, ça veut dire fini , si j'ai bien compris. Pourquoi quand on étudie si la fonction est bien définie on se pose pas de questions sur ce qui se passe pour t au voisinage de 0 selon les valeur de x? ce qui donnera ∫1/xdt constante par rapport à t, et ce peu importe x proche de 0 ou non? Dans un exercice j'ai vu que la fonction gamma ∫exp(-t)t^(x-1) pour dire qu'elle est bien définie, on regarde - Pour t proche de 0 exp(-t)t^(x-1) ~ 1/t^(1-x) donc intégrable pour 1-x 0 par l'intégrale de Riemann - Pour t en l'infini l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle fonction puissance, par croissance comparée par exemple t^2exp(-t)t^(x-1) qui est négligeable par a rapport à 1/t² qui est aussi une quantité réelle finie par l'intégrale de Riemann comme 2>1 Pour la fonction phi , on pouvait déduire qu'elle est bien définie tant qu'on intègre sur un segment (parce-que c'est un fermé borné de r donc compact sur lequel 1/(t²+x) est continue pour tout x dans R+*?) donc forcément quantité réelle finie et ainsi l'intégrale bien définie sans se poser de question pour t en 0, pour x proche de 0?

[@oljenmaths]

Bonjour Khan ! Dire que la fonction est bien définie, c'est dire que l'image de tout élément de l'ensemble de départ peut-être interprété comme un élément de l'ensemble d'arrivée. En effet, ce sera le cas si et seulement si l'intégrale converge, raison pour laquelle on examine cela dans un premier temps. Pour la première question, c'est simple: le segment d'intégration étant [0,1], il n'est pas possible de se contenter d'étudier seulement t au voisinage de 0. Pour bien différencier les deux, je me dis que la lettre 'x' désigne une variable, que l'on peut éventuellement fixer à l'avance pour étudier ce qu'il se passe en un point, tandis que 't' désigne la variable d'intégration, qui devra obligatoirement parcourir le segment [0,1]. Pour l'illustration avec la fonction Gamma, oui, c'est tout à fait dans le thème, c'est l'exemple typique d'une intégrale à paramètre. Cela dit, comme cette fonction fait intervenir une histoire de convergence, je ne l'ai pas choisie afin de ne pas rajouter une difficulté supplémentaire. Mais j'en parlerai un jour, c'est certain. Enfin, pour la dernière question, c'est parfaitement exact. Ici, l'intégrale n'est pas impropre, donc on intègre une fonction continue sur un segment: il n'y a aucun problème, on est dans le luxe !

[@Fastsina]

@@oljenmaths Je vous remercie pour vos réponses ^^ Veuillez excusez ma mal formulation de ma question, je voulais plutôt dire que, afin de dire qu'elle est bien définie, pourquoi on se posait pas - aussi - de questions en particulier sur ce qui se passe quand t = 0, avec distinctions de cas des valeurs que x peut prendre, de la meme manière qu'on fait avec la fonction gamma (que j'utilisais pour expliquer ce que je voulais dire) , par exemple, on traite le cas quand t=0 , pour x proche de 0. Et si il n y avait pas besoin dans ce cas parce qu'on intègre sur un segment, j'avais un problème à comprendre que meme sur un segment , pour x fixé , ∫(0,1)1/xdt étant 1/x, mais quand x s'approche de 0 j'imaginais que quelque chose devrait se passer et qu'il fallait l'expliciter, mais en effet vous dite on intègre une fonction continue sur un segment ^^.

[@Fastsina]

Je vous remercie pour l'eclaircissement sur ce qu'est "bien définie" j'étudiais juste les comportements au bord avant pour dire qu'elle est bien définie , avec l'intuition que ça doit etre quelque chose finie, sans garder en tete que c'est exactement de

[@oljenmaths]

@@Fastsina L'intuition est correcte ! En général, dans les exercices, les seuls problèmes se trouvent bien "au bord", ce qu'on peut souvent régler avec des calculs de limites, par définition même de la convergence d'une intégrale. Pour une petite ressource: www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=intimpropres

[@theeo1977]

Merci

[@wyzoo_science]

ma question est peut-être stupide mais pourquoi "t" appartient a [0,1] ?

[@oljenmaths]

Il n'y a pas de questions stupides 😇. En l'occurrence, « t » est la variable d'intégration, muette a priori. On aurait pu considérer l'intégrale de du/(u²+x), par exemple. Cela dit, lorsque je souhaite « trafiquer ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale », j'ai besoin d'introduire cette variable qui se retrouve désormais à l'air libre, avec le projet d'intégrer entre 0 et 1 à la fin de mes manipulations. Ainsi, je fais en sorte d'établir mes propriétés pour une variable quelconque entre 0 et 1, ce qui me permettra bel et bien d'intégrer par la suite 👨🏻‍🏫.

[@wyzoo_science]

@@oljenmaths merci pour la réponse 😇😊

[@fatalstivox_3564]

pour cela ne peut pas être défini sur les nombres négatifs aussi

[@oljenmaths]

On peut assurément étendre l'ensemble de définition. J'ai seulement choisi le moyen le plus simple d'éviter la valeur problématique x = 0 😉.

[@chadidridi9306]

bonjour monsieur , pouvez vous faire des videos sur la topolgie d'un espace vectoriel normé , j'ai des problemes a ce sujet

[@oljenmaths]

Salutations ! J'en ferai certainement lors de la saison 2020/2021, j'ai reçu pas mal de requêtes à ce sujet et c'est un thème qui me plaît bien 👍🏻.

[@ghribieya4175]

C'est valabale pour 2 ème prepa ou nn ??

[@oljenmaths]

Ce que je présente ici a tout à fait sa place dans n'importe quelle filière de l'enseignement supérieur où l'on étudie de telles fonctions, appelées "fonctions définie par une intégrale dépendant d'un paramètre". En fonction des filières, on disposera d'outils plus ou moins puissant qui permettent d'éviter certaines manipulations techniques que je présente ici.

[@paulquinones843]

Pourquoi on a pris les constantes d'intégrations égales à 0 ? Du coup, on devrait pas obtenir un truc comme ça : k

[@oljenmaths]

Ici, je calcule une intégrale et non pas une primitive. Par conséquent, il n'y a pas de constante qui apparaît: il s'agit simplement d'un calcul d'aire sous la courbe. Cette interprétation géométrique permet d'ailleurs de comprendre un peu mieux cette propriété de "croissance de l'intégrale". Par contre, effectivement, si je commence à écrire un jour f' < g' => f < g, là, oui, il va falloir monter au créneau 😈.

[@paulquinones843]

@@oljenmaths Donc, si je comprends bien : quand on calcule une intégrale définie, y'a pas de constante d'intégration ... Par contre, quand on résoud des équa diff comme moi à longueur de journée (ça met du temps à rentrer 😂), on n'oublie pas les constantes d'intégration vu qu'on calcule des primitives de fonctions et non des intégrales définies ...

[@oljenmaths]

@@paulquinones843 C'est exactement ça :-).

[@drisslamrani9876]

Tu vas plus vite, je souhaite d'expliquer moins vite dans les prochaines videos et merci.

[@oljenmaths]

Ah, c'est difficile pour moi de trouver un rythme qui convient à tout le monde ! J'essaierai de ralentir un peu lorsque je reprendrai la publication des vidéos, il est vrai que je me trouve souvent bien trop rapide que trop lent 🚀 !