[UT#49] La comparaison série-intégrale (Explication)

Dans cette émission, je te présente les idées principales de la comparaison série-intégrale. On étudie cette technique sur une série de Bertrand dont on établit la divergence avant de déterminer un équivalent de la suite de ses sommes partielles.
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✒️ Notions abordées: intégrale d'une fonction continue, théorème fondamental de l'analyse, théorème de la limite monotone, relation de Chasles, sommes partielles d'une série divergente, série de Bertrand.
🌞 Bonne écoute !
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Superbe émission mais je n'ai pas bien compris l'utilité de toute la dernière étape de démonstration de l'équivalence

[@oljenmaths]

Merci ! En fait, la comparaison série-intégrale peut servir à deux choses complémentaires. 🔹 D'une part, elle permet d'obtenir la convergence ou divergence d'une série à partir de celle d'une intégrale, et vice-versa (0:00 - 6:53). 🔹 D'autre part, on peut souvent réaliser une petite manipulation sur l'encadrement usuel de manière à obtenir un peu mieux que de la convergence ou de la divergence: un équivalent (8:32 - fin). L'équivalent est une notion mathématique qui permet d'évaluer, dans les grandes lignes, la « vitesse » à laquelle une quantité tend vers une limite donnée. Ici, on avait l'intuition que la série divergeait très lentement. Grâce à la comparaison-série intégrale, on a pu confirmer cela: la n-ième somme partielle est équivalente à ln(ln(n)), ce qui est une quantité qui tend très lentement vers +\infty. Si je ne me plante pas dans la numérotation, la notion d'équivalent sera traitée dans l'émission [UT#55], ce qui pourra éclaircir un peu tout cela.

[@StephaneGandolfo]

Sincèrement, si le contenu est de premier ordre, la présentation dépasse tout ce que l'on trouve sur youtube. Et c'est pour moi toujours un grand moment de te suivre sur une nouvelle vidéo. Un très grand merci.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏!

[@SC-ld4ps]

On voit rarement de si bonnes vidéos et explications. Tout est clair et précis. Merci infiniment !

[@xabongo7896]

Très bien expliqué, toujours un plaisir de revoir un peu de mathématiques de prépa. Merci pour la vidéo

[@oljenmaths]

Merci ! Je dois dire que je m'amuse beaucoup en réalisant ces vidéos, ça me rappelle bien des souvenirs de mes propres classes préparatoires !

[@rafouravelo]

Toujours aussi clairement expliqué ! Bravo

[@oljenmaths]

Merci ! Je suis content que mes efforts paient, je dois dire que quand j'étais en classe préparatoires, cette affaire de comparaison série-intégrale me paraissait bien mystérieuse 🔍 !

[@tanguss06]

Merci c’est top ! Synthétique et très clair 👌🏼

[@oljenmaths]

Au plaisir 😇! Bonne continuation !

[@marc-antoinemc2116]

Je prépare le CAFEP et je me suis mis en tête que travailler un sujet d'agreg interne pourrait m'aider. Or, je n'ai jamais vraiment manipulé la comparaison Série/Intégrale. Merci beaucoup pour ces éclaircissements ! J'espère expliquer aussi bien quand j'enseignerai, haha !

[@oljenmaths]

Le simple vœu d'expliquer les choses correctement aide considérablement à l'exaucer 👍. Lorsque je faisais mes études, j'avais toujours le souci de me demander "comment pourrais-je expliquer cela à l'un de mes camarades qui aurait des difficultés". Avec un cerveau câblé comme ceci, les progrès ont toutes les chances de se faire. Bon courage pour le CAFEP !

[@marc-antoinemc2116]

@@oljenmaths Merci pour ce précieux conseil ! Après tout, "Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. " Nicolas Boileau :)

[@yohangoupil9470]

Tres bonne vidéo qui explique bien ce qui se passe !

[@hakimkhelifi7374]

Parfait grâce au seigneur vous existez

[@sibproust9369]

excellente vidéo merci beaucoup

[@jehadmnassir665]

Bonjour monsieur j’ai une question. Dans ma filière on dispose d’un théorème qui nous dit que si f est continue positive et décroissante alors la série de terme générale f(n) et l’intégrale « généralisé » entre 0 et + l’infinie ont même nature. Vu que votre fonction satisfait ces hypothèses je peux appliquer le théorème et lexo se restreint à un calcul de primitive ? Merci

[@oljenmaths]

Bonjour, Oui, bien sûr ! Justement, les éléments présentés ici permettent de démontrer le théorème qu'il y a dans ton cours, ça peut permettre de comprendre un peu d'où ça vient. À partir du moment où c'est dans le cours, du coup, nul besoin de revenir à des encadrements et tout le reste, c'est une excellente nouvelle 😃 !

[@itouantitou6968]

Bonjour merci pour les explications, est-il possible de conclure par le théorème d’encadrement sur les équivalents. Par les propriétés du logarithme, on a ln[(ln(n))/ln(3)] et de même en n+1 à gauche et alors on montre ln(n+1)~ln(n) et donc on peut bien composer par le ln puisque cela tend bien vers +infini ?

[@oljenmaths]

Il est tout à fait possible d'utiliser des propriétés sur les équivalents pour gagner du temps, en effet. Dans la filière dans laquelle j'enseigne, on ne dispose d'aucune de ces propriétés, donc j'ai tout fait à la main, à l'ancienne 🏋️ !

[@ElBasraoui]

vidéo magnifique ! merci infiniment......

[@jackuhuru]

Je like, parce qu'il y a une justice dans ce monde ;)

[@oljenmaths]

Ha, on ne me l'avait jamais faite, celle-là 😃 ! Merci 🙏 !

[@bryanchen9112]

Excellente vidéo ! Cependant j'aimerai comprendre comment tu es passé de 1/n à ln(1+1/n)/ln(n) à la fin de ta vidéo.. Seulement cette étape m'est étranger, sinon T O U T est bon, merci pour cette vidéo d'excellente qualité. Serait-ce un développement limité d'ordre 1 ?

[@oljenmaths]

Je suppose que l'expression dont tu parles est: ln[ ln(n) + ln(1+1/n) ]. À l'intérieur du crochet, je peux mettre ln(n) en facteur, pour obtenir ceci: ln[ (ln(n)/ln(n)) + (ln(1+1/n)/ln(n)) ]. En simplifiant, j'obtiens: ln[ 1 + (ln(1+1/n)/ln(n)) ]. Me suis-je attaqué au bon logarithme 🙃 ?

[@eugenedurand9999]

super vidéo merci !

[@lucdupont9494]

Excellente vidéo !

[@mathieukrisztian6022]

C'est génial ton cours. Quelle tablette utilises-tu pour *écrire* ? Merci.

[@oljenmaths]

Merci ! Pour cette vidéo, j'ai utilisé une tablette graphique d'entrée de gamme (le prix n'a pas changé depuis ~2017): amzn.to/32Pe1VY

[@mathieukrisztian6022]

@@oljenmaths Merci. Je suis impressionné que pour ce prix, on puisse avoir une qualité aussi impressionnante que ce que tu as fait. Merci pour ton cours vraiment pédagogique. J'ai compris grâce à toi cette notion. Si j'avais vu cette vidéo plus tôt, j'aurais voulu faire carrière en maths.

[@oljenmaths]

@@mathieukrisztian6022 Merci beaucoup, ça me touche beaucoup 🙏🏻! Honnêtement, je pense que la qualité de mon écriture manuscrite y fait pas mal pour le rendu final. Après, il y a du travail et de l'application en grande quantité, c'est certain ! Au plaisir !

[@Antho13434]

Une Petite de vidéo sur un des aspects les plus importants de l'analyse

[@soultaneatisos]

Bravo, 👍👍👍

[@wooky1495]

4:44 pourquoi on a pas intégré les membres de gauches et de droite dans l'inégalité ?

[@oljenmaths]

On l'a fait, c'est ça qui est beau dans l'histoire ! On a intégré des fonctions constantes sur un intervalle de longueur 1, ce qui correspond à « ne rien faire » 😉.

[@wooky1495]

​@@oljenmathsoh jolie ! Ok j'ai manqué de vigilance ici merci de ta réponse 👍

[@Hope-dg4gz]

Bonjour, Avez vous l'intention de traiter le critère et la transformation d'Abel pour les séries numériques dans une prochaine vidéo ? Par ailleurs, elles m'aident beaucoup et je vous en remercie!!

[@oljenmaths]

Bonjour et merci pour ce message ! Je note cette suggestion sur ma liste pour les futures émissions de la série [UT] 🗒️ !

[@Hope-dg4gz]

Øljen - Les maths en finesse Je vous remercie pour votre intérêt vis à vis de mon commentaire et pour votre réponse rapide!

[@khalidzgaoua9485]

Bonjour monsieur. Tu peux faire un vidéo sur la fonction de Riemann. Si tu veux

[@Luciole485]

Un mot: Merci

[@hikari9629]

Du grand art

[@smystotf8342]

Est ce que on peut utilisé la critère de Bertrand ici ? Svp Répondre à ce commentaire 😇

[@oljenmaths]

En réalité, le critère de Bertrand peut se démontrer grâce à la technique présentée dans cette émission. Ainsi, si ce critère est au programme dans la filière où tu étudies les mathématiques, ne te gêne pas, du gagneras du temps. Par contre, s'il ne l'est pas, je te conseille d'étudier le principe de la technique, permettant essentiellement de passer de l'étude d'une série à celle d'une intégrale. PS: Pas de panique, j'ai (encore) le temps de répondre à tous les commentaires, la chaîne est relativement petite 😃.

[@smystotf8342]

@@oljenmaths oui la critère existe dans notre programme , Et j'apprendrai cette critère l'intégrale .merci beaucoup

[@philiptelev6944]

Super

[@ndeyemaimounabadiane580]

❤❤❤🫶🏾🫶🏾🫶🏾🫶🏾

[@raphaelleduflot3875]

Trivial …

[@oljenmaths]

Comme le grand théorème de Fermat 🙃.

[@soultaneatisos]

Bravo, 👍👍👍