Oraux X-ENS - 24 - Équations différentielles discrètes

On s'intéresse dans cette vidéo à une type particulier de relation de récurrences pour une suite, à rapprocher des équations différentielles.

[@vegetossgss1114]

Meilleure chaine de maths de youtube!

[@el_rotulador2179]

Dose, El Jj existe

[@unkown3305]

​@@el_rotulador2179 bah il fait pas dexercices dcp c'est pas comparable

[@el_rotulador2179]

@@unkown3305 bv

[@twentyc192]

T'es grave actif en ce moment, ça met très bien Merci pour toutes ces vidéos et le temps que tu mets dedans

[@francoisgirardot6277]

Tres clair; Bravo Toujours un plaisir à écouter

[@mathurinrouan3971]

Merci pour ton travail ! Je pense que ce serait une bonne idée de mettre en fin de vidéo l'énoncé du prochain problème que tu traiteras, avec pourquoi pas une indication, ça nous permettrait de le chercher et de mieux profiter de la correction.

[@MathsEtoile]

C'est une super idée, je vais essayer de le faire. Seul problème : ça implique d'avoir toujours en tête la vidéo suivante, ce qui limite les changements d'avis de dernière minute...

[@mathurinrouan3971]

Après c'est pas du tout un engagement, personne gueulera si la correction ne vient pas à la vidéo juste après, ou si certaines vidéos n'ont pas été annoncées à l'avance, c'est plus pour pouvoir généralement chercher avant de voir la correction, plus que d'avoir poncé le sujet de chaque vidéo à l'avance.

[@l_francois]

c’était ma première kholle de maths cette année

[@chivodesumsumuert]

jsuis accro à cette chaine

[@etiennebasset7493]

Excellent!

[@desiaasm]

Superbe exercice

[@yoannliegard3533]

Super exercice 😊

[@badet4353]

Merci !

[@el_rotulador2179]

Dommage qu’on ne voit pas ce qui est écrit à la toute fin sinon excellente vidéo

[@antoines.775]

Pour ce genre d'exos, je préfère une autre méthode qui consiste à faire une comparaison avec une intégrale, et il me semble que ça permet de résoudre une classe plus large d'équations différentielles discrètes (par exemple si les fonctions ne sont pas des puissances). Je m'explique : si l'équation est b_n*f(S_n)=1, où S_n est la somme partielle des b_n et où f est une fonction croissante, alors on a (S_n-S_{n-1})*f(S_{n-1}) < \int_{S_{n-1}}^{S_n} f(x)dx < (S_n-S_{n-1})*f(S_n})=1 et, en supposant que f conserve l'équivalent (i.e. f(S_{n-1} est équivalent à f(S_n) ), alors les 2 bornes de cette inégalité sont équivalentes à 1 et on est donc dans un cas où on peut "sommer les équivalents" (ou appliquer Césaro). Avec la relation de Chasles, on se retrouve avec \int_{S_0}^{S_n} f(x)dx équivalente à n. Il suffit alors de calculer explicitement l'intégrale (ou juste un équivalent en S_n de celle-ci...) pour aboutir à un équivalent de S_n. Pour l'exercice de la vidéo : b_n=(a_n)^2 et f(x)=x^2.

[@MathsEtoile]

J'aime beaucoup ta méthode, ça fait vraiment ressortir l'idée "équadiff" (on résoud y'f(y) = 1 en intégrant les deux membres...)

[@alaechoulli6111]

Masterclass !

[@bib2828]

pendant un oral, tu conseilles de passer par une phase de « recherche/motivation » ou direct qqchose de rigoureux avec de vrais calculs?

[@guillaumedeplus7727]

Quand tu ne vois pas par où partir, il est naturel de passer par une phase de recherche. Par contre ça ne dispense pas d’une certaine rigueur, surtout en prepa. Des bons reflexes sont de tester des cas particuliers (des petites dimensions sur un exos d’algebre lineaire), rajouter des éventuelles hypotheses (genre cas derivable puis generalisation par densité), et de s’assurer que tout est bien défini dans l’exo quand ce n’est pas si évident que ça. Si tu veux écrire des dérivées de fonctions de N, assure toi qu’il est clair que c’est du "brouillon" pour te donner des idées

[@kakarikonlebg2405]

je pense que c'est même un point positif, car tu montre à l'examinateur que tu sais bien aborder un problème. Et en plus comme le dit guillaume, t'es obligé de passer par une phase de recherche (sauf si t'as déjà fait l'exo ou bien que tu vois direct comment partir)

[@guillaumedeplus7727]

Est-ce qu’on pourrait imaginer traiter l’exo rigoureusement par interpolation avec une fonction qui vérifie l’equation différentielle citée au début ? Je parle de ça parce que c’est pratique très courante en physique de partir d’un problème discret et d’interpoler pour avoir une equa diff beaucoup plus facile a manipuler

[@MathsEtoile]

Franchement je pense que rendre cette approche rigoureuse est vraiment très compliqué (il faudrait construire un prolongement de a_n à des valeurs non entières, de manière à avoir une fonction f telle que f(n) = a_n, qui vérifie la même équa diff au moins de manière approchée, ça fait beaucoup...)

[@heheboaii9221]

Bonjour ! Puis-je avoir votre modèle de stylo SVP ?

[@MathsEtoile]

C'est un stylo plume Lamy, celui de base je crois

[@rainbow-cl4rk]

Est ce que à partir de 4:30 on aurait pu faire d'une manière ? En sommant des 2 côtés on a somme{k=1,n}{(Sk-Sk-1)Sk²}=n Puis on remarque que (Sk³-Sk-1³)~3(Sk-Sk-1)Sk² (Car en utilisant que Sk~Sk-1 (car ak->0 ) on a que le rapport tend vers 1) Donc vu que la somme initial diverge on a que Sn³~3n (somme télescopique) Donc an~1/(3n)^⅓

[@rainbow-cl4rk]

Je viens de regarder la suite de la vidéo et en faite ça revient au même (mais ce que j'ai fait est moins rigoureux)

[@MathsEtoile]

Ben en fait ce que tu fais peut être rendu complètement rigoureux juste en utilisant le théorème de sommation des équivalents par exemple

[@y3frizz329]

Astucieux

[@yassinelaraki9638]

Quel dommage de ne pas pousser à bout l’analogie avec l’équation différentielle et de poser cette « astuce » du beta sortie du chapeau !

[@MathsEtoile]

Maintenant que j'y réflechis, c'est vrai qu'on devrait pouvoir s'en sortir en "intégrant" une fonction bien choisie de n, comme pour les equadiff (écrire un truc du genre y'y^2 = 1 et intégrer)

[@yassinelaraki9638]

Oui, ici y’y^2 = 1, i.e (y^3)’ = 3. On montre alors que S_{n+1}^3 - S_n^3 cv vers 3.

[@samy-kc5zp]

Ntr va faire le pompier

[@OUSSAMAELGHARIB-ir5st]

J'ai pas compris le truc que Sn diverge

[@mstarsup]

si elle converge, comme c'est la somme des ak^2, alors ak tend vers 0, mais dans ce cas an*Sn va tendre vers 0, ce qui n'est pas possible puisque an*Sn=1 pour tout n.