Oraux X-ENS - 25 - Groupes à un paramètre

[@corbonmaths9597]

Ce format de résolution de problème pas à pas est excellent et très formateur !

[@franckdjoumessi9788]

Vous êtes excellentissime Monsieur !

[@ludovicschwartz2316]

Super vidéo, j'ai le souvenir d'avoir vu cet exercice à un cours d'Ulm qui utilisait les nombres dyadiques. Essentiellement, la racine carrée(pour des matrices) est bijective au voisinage de l'identité, et par surjectivité de l'exponentielle sur ce même voisinage, tu peux montrer que sur tous les nombres dyadiques ta fonction est de la forme exp(At) et il suffit de conclure par continuité.

[@AxelGuillemette]

Encore une fois super vidéo!

[@shreklebg1817]

je suis un sup mais super vidéo pour les raisonnements à avoir sur ce type de problème merci!

[@desiaasm]

C'est vraiment beau.

[@vegetossgss1114]

Excellent!

[@sardanapale2302]

7:53 , un peu plus rapide, T I--> A_T continue de R dans M(n,C). Or GL(n,C) ouvert de M(n.C) (facile à vérifier avec le déterminant), donc l'image réciproque est un ouvert de R, qui est non vide puisqu'il contient T=0.

[@ThibaudOU]

Bonjour, en quoi est ce que cela permet de conclure ?

[@harrymattah418]

Oui enfin on la voyait arriver. Un morphisme qui transforme une somme en produit... c'était sûr qu'on tomberait sur une exponentielle de matrice t---> exp(tA) Un exercice dont on peut entrevoir assez vite un candidat. Ce qui n'est pas rare. Dans ce cas, on fait souvent une démonstration en deux points: - vérifier que le candidat vérifie la condition imposée (t---> exp(tA) est un morphisme continu). - vérifier qu'il n'y a pas d'autres solutions, ou ce qui revient au même, que toute solution est forcément de cette forme. Le premier point est simple. Le second un peu moins en général.

[@twentyc192]

Banger

[@patrickngakou2328]

Salut ! C’est un feutre que tu utilise pour rédiger ou juste un stylo 😅?

[@renauddenis6347]

Bonjour et merci pour cette vidéo. Comme on utilise assez peu d'outils spécifiquement matriciels à part l'exponentielle, je me demande ce que devient ce résultat dans le cadre plus général d'un groupe topologique. Merci !

[@MathsEtoile]

Pour pouvoir utiliser l'argument de dérivation, on a quand même besoin a priori d'une structure différentielle sur le groupe (une structure de variété différentielle compatible avec les opérations de groupe), ce qui nous amène naturellement à la notion de groupe de Lie. Dans ce cas là, on est ramenés à résoudre l'équation x'(t) = gx(t) sur notre groupe G. Si ce groupe se plonge dans un espace R^n dans lequel l'application x -> gx est linéaire (cas par exemple des groupes de matrices), on est à nouveau ramenés à x(t) = exp(tL_g)(x(0)) où L_g est l'opérateur linéaire x -> gx.

[@jean-baptisteroche2788]

Bonjour, super vidéo ! Pour la limite de AT/T on peut pas dire qu'on remarque un taux d'accroissement ?

[@blanchardanima7330]

Merci pour la vidéo. Où est-ce qu'on peut trouver les stylos de cette marque svp ?.... Je peux avoir la marque sous réserve de pub

[@MathsEtoile]

C'est un Lamy il me semble

[@kamalhaidar5770]

Merci pour la vidéo. Si je ne me trompe pas, à 8:30 on ne fait que re-démontrer le théorème fondamental du calcul intégral, non ? A_T/T = (Phi(T)-Phi(0))/T -> Phi'(0) = phi(0) = Id.

[@noumanegaou3227]

GLn(C) est un ouvert

[@ThibaudOU]

Salut ! Est ce que tu penses que la remarque "qualitative" que tu fais sur la somme de matrices proches de l'identité à 7:48 peut se formaliser ?

[@ThibaudOU]

P.S. J'ai rien dit...

[@nazizismail8229]

Déjà super vidéo ! J’ai peur de poser une question bête. Mais, AT est inversible uniquement pour des valeurs de T assez petite, donc phi est C1 sous cette condition et elle n’est pas C1 tout le temps (ou du moins ce n’est pas prouvé). Cela ne pose-t-il pas des restrictions sur cette hypothèse ? Le fait d’être C1 sur un intervalle seulement est suffisant ?

[@Vlad_the_goat]

Phi ne dépend pas de T

[@nazizismail8229]

@@Vlad_the_goat phi est C1 avec une condition sur T Sinon on n’aurait pas eu besoin de préciser que T doit être assez petit, je me trompe ?

[@zerglingsking]

@@nazizismail8229 Je pense que c'est plutôt "l'existence" d'un certain T (>0) qui vérifie l'inversibilité qui est importante. On peut à priori choisir le T que l'on veut, et on a montré que on peut le prendre de façon à ce que AT soit inversible. Une fois qu'on a choisit le T qui va bien, on a f : s -> phi(s)*AT qui est C1, et donc phi(s) l'est aussi comme AT est inversible. Si on avait choisit une T différent on n'aurait pas pu conclure directement, mais on à le choix de T comme on définit la fonction f qui nous arrange. Donc c'est bien f qui dépend de T et non la fonction phi elle-même.

[@nazizismail8229]

@@zerglingsking merci pour la réponse c’est plus clair 😁

[@Tatoune]

Au moment de la synthèse 16:34 vous prenez A dans GLn(C) mais A dans Mn(C) devrait suffir normalement. Y a-t-il quelque chose que je n'ai pas compris ?

[@guillaumedeplus7727]

L’analyse te donne que A = φ’(0), comme φ’ est à valeurs dans Gl_n(C), on prend A inversible dans la synthèse

[@wppa1495]

@@guillaumedeplus7727 c’est phi qui est à valeur dans GL pas phi’ !

[@MathsEtoile]

Oui, A dans Mn(C) convient parfaitement ! Pas besoin de prendre une matrice inversible

[@guillaumedeplus7727]

@@wppa1495 je m’étais dit que pour définir la dérivée de phi, il n’était pas possible de sortir du domaine d’arrivée (ou en tout cas je n’ai jamais vu ça mais mes connaissances s’arrêtent au programme de L2). On doit visiblement considerer phi comme fonction a valeurs dans Mn(C) pour le faire

[@wppa1495]

Contre-exemple facile pour se rendre compte que ça marche pas : si φ est constante à une matrice inversible, alors Φ’=0

[@reouven5501]

Bonjour ! Merci pour cette formidable vidéo je m'attendais par contre a un peu plus de justifications concernant l'intégration de matrices .. j'imagine qu il ne suffit que d'intégrer dans chacun des coefficients mais je pense que ça aurait mérité un peu plus de détails théoriques ? Surtout si on utilise l'intégrale de Riemann ? N'est ce pas impossible avec celle ci ? J'aurais suggéré qu on intègre sur (R^2)^(n^2) isomorphe a Mn(C) et donc qu on prenne une mesure produit de lebesgue sur un tel espace ? Bien à vous

[@MathsEtoile]

Pour rester dans les limites du programme de prépa, on peut effectivement dire qu'on se contente d'intégrer coordonnées par coordonnées. En revanche, comme on cherche à intégrer une fonction f : R -> M_n(C), on a pas besoin d'une tribu ni même d'une mesure sur M_n(C) : on a seulement besoin d'une mesure sur l'espace de départ R. Une mesure sur M_n(C) aurait été utile si on avait besoin d'intégrer une fonction g : M_n(C) -> M_n(C) par exemple.

[@michelbernard9092]

Très joli, mais en fait, comment on calcule e^A ? faut-il faire le développement en série entière comme pour e^x= 1+x+x²/2 +.. x^n/n! en remplaçant le x par la matrice A ?? si c'est le cas on n'est pas rendu ! je suppose qu'il existe donc une façon plus efficace de faire ce calcul, mais j'ai pas trouvé.

[@pierretchamitchian4399]

Decomposition de Dunford. A = B+C avec B et C qui commutent, B diagonalisable et C nilpotente. Du coup exp(A)=exp(B)exp(C) et les deux termes de produit à droite se calculent facilement. Je précise que la décomposition de Dunford est effective, tout est calculable.

[@Speedkiller999]

Pour déterminer "rapidement" e^A on peut effectuer la décomposition de Dunford (A = D + N où N commute avec D et où N est nilpotente et D diagonale) ou la réduction de Jordan

[@michelbernard9092]

@@pierretchamitchian4399 Super, merci beaucoup.

[@michelbernard9092]

@@Speedkiller999 Merci.

[@antoineruch9913]

Pas en prépa mais en licence de math, et je dois dire que je suis subjugué du fossé en termes de niveau. Ça inspire le respect. Quelles ressources ou méthodologies conseillerais tu à un étudiant qui souhaiterait développer son intuition et atteindre un niveau, peut être pas équivalent, mais au moins plus élevé ? En tout cas merci pour ces vidéos !

[@yasstv6298]

après c’est des exos très difficile, même eux oraux de l’ens les élèves n’arrivent généralement pas à faire ça tout seul