Производящая функция чисел Каталана

Мы находим производящую функцию чисел Каталана, сворачивая степенной ряд, коэффициентами которого являются эти числа, в компактное аналитическое выражение. Затем мы снова раскладываем это выражение в степенной ряд, воспользовавшись формулой для бинома Ньютона, и в результате находим формулу, выражающую каждое число Каталана через его номер.
Ключевые слова: рекуррентная последовательность, generative function
Числа Каталана • Числа Каталана
Производящая функция чисел Каталана • Производящая функция ч...
И всё таки она сходится! • И всё-таки она сходится!

[@fhtagnfhtagn]

На ровном месте из общих свойств вывелась общая формула, чудеса! Veritasium в ролике про число Пи рассказывал как Ньютон использовал свой бином не с натуральной степенью, а с рациональной (1-x^2)^0.5, что позволило подсчитать число Пи сильно точнее и сильно быстрее, чем его предшественникам, развлекавшимся с (2^32+1)-угольниками.

[@IT-lj8nb]

Спасибо за ролик! Благодаря таким видео, всё больше влюблюсь в математику

[@user-be9vc5zq7g]

Спасибо! ❤

[@ngc5489]

Вы крутые)

[@AlekseiMechanics]

C_n = C^(n-1)_(2n-1) - C^(n-2)_(2n-1), где C^k_n - число сочетаний из n по к

[@user-yr5dq8qr5f]

Бомба

[@canniballissimo]

Чуть-чуть оффтопа. Вчера был квиз на школьные темы и там был эпизод вашего ролика про закон Кулона. Показывают одноимённые и разноимённые заряды. А надо было вспомнить фамилию учёного, то есть как раз Кулона. Мы написали Ом :( Очень обидно. Но всё равно затащили. Простите меня! Один из любимых каналов, а я вот так не вспомнил.

[@noname_314]

Есть ли какой-то общий способ как из рекуррентной записи перейти к аналитической

[@alexanderspeshilov839]

Зависит от того, насколько "общий". Если рекурентная формула нелинейна относительно предыдущих элементов, то нет, конечно.

[@Misha-775]

Ряды Тейлора