¿Puedes COMPARAR 1,005^200 y 2 sin usar la CALCULADORA? | Olimpiada de MATEMÁTICAS

En este video te muestro un método muy interesante para comparar 1,005^200 y 2 sin usar la calculadora . ¡Únete a nosotros y no pierdas la oportunidad de aprender!
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[@raulrs8813]

Muy buen ejercicio, yo lo resolví aplicando logaritmo en base 2 sobre los dos términos

[@MathVitae]

Excelente, interesante método de resolución!!!

[@alfonsogomez5225]

Sí señor, realmente es un interesante video, con una resolución muy elegante. Gracias y saludos.

[@MathVitae]

Gracias a usted!!!

[@Esalgueroty]

Este Canal tiene un profesor que se hace entender en lo fácil y en lo complejo

[@MathVitae]

Gracias, aprecio mucho sus palabras. Un abrazo!!!

[@nicolasagustinvargas1512]

Buen video, cuando escribiste 1,005 como (1+ 1/200)^200 recien ahi pude intuir que ese era mas grande ya que tenia pinta de numero e. No lo es pero tenia pinta xD

[@Danieljordan2]

Yo también! Es una buena aproximación.

[@maykelyunior7854]

Igualmente

[@canalf007]

De hecho (1+ 1/n)^n tiende a e cuando n tiende a infinito. La pinta que detectaste es correcta

[@ElizabethKastSoto]

Pero si son la misma persona no jodas

[@arielsinardi2626]

Excelente ejercicio. Sr Profesor: caray...qué bien que explica!!!!!!!!!!!. Un saludo desde Buenos Aires Argentina

[@MathVitae]

Muchas gracias!!! Me complace que le haya gustado. Saludos

[@AFSMG]

Excelente como siempre. No encuentro otra vía para hacerte una consulta. Estaba mirando un video de demostración de la fórmula del volumen de un cono . Y puse esto: Tengo una consulta. Si al triangulo rectángulo que forma HR y la generatriz del solido, la llamaremos L ( L^2 = H^2 + R^2) por Pitágoras. Si a este triangulo lo hacemos rotar 360º alrededor del eje Y, completamos el volumen del cono. La pregunta es como expresar matemáticamente esa rotación. Intento hacer un símil con el volumen de un cilindro. TR^2H, donde TR^2 es el área del circulo que luego desplazo a lo largo del cilindro. Pues de la misma manera quisiera expresar como el área de ese triángulo gira 360º. Muchas gracias. Un cordial saludo Donde: H altura del cono, R radio del circulo de la base, L generatriz del cono . Me contestaron esto: Wow interesante para verlo de esa forma. Me has hecho pensar y si te entiendo lo que quieres hacer, pero en un cilindro es diferente porque ese círculo que trasladas, que en realidad es un disco de grosor muy pequeño, es el mismo a lo largo de su altura. En cambio en el cono lo que tú quieres trasladar no es un disco es un triángulo qué tiene un grosor qué cambia de 0 hasta r , pero ese cambio es muy pequeño, es como si tuvieras un pastel en forma de cono y tomas una tajada muy pequeña , esa forma se tendría que trasladar desde un ángulo 0° hasta 360° y esa forma de volumen pequeño no esta muy bien definido o muy claro para expresarlo en ecuaciones , serían más variables para expresarlo en una integral. Puede ser qué se podría expresar , pero de allí de resolverla sería de más complejo. Espero que te halla ayudado. Suerte con eso, y gracias por tu comentario. Pero no me convenció la respuesta. Se te ocurre otra manera de ver lo que pregunto ? A priori, sin mucho pensar, dices que esa área la multiplicas por todo el perímetro de la base del cono y podría ser la respuesta, Pero no da. Es la manera "similar" que se me ocurre de recorrer el cono con el triangulo como se recorre el cilindro con la base. Entonces donde esta el error en este análisis. Claro, este razonamiento sencillo nace de decir que hago lo mismo que cuando calculo el volumen de un cilindro. El chico se sorprendió por la pregunta, pero su respuesta no fue nada clara. A ver que se te ocurre. Un saludo.

[@MathVitae]

Hola, se me ocurren muchos videos relacionados con el tema, los cuales gracias a ti planificaré para publicarlos a futuro. Una de las mejores maneras de demostrar estas fórmulas es usando el cálculo diferencial, pues una de las aplicaciones más importantes de la integral definida es la de poder determinar el volumen de cualquier cuerpo de revolución, para el caso del cono rotamos la función f(x)=mx donde m depende del ángulo que forma la altura del cono con la generatriz (que no es más que la recta "mx"), evidentemente el valor de n también puede ser considerado. El radio de la base del cono será igual a f(h) que no es más que la función evaluada en la longitud de la altura del cono. En fin, explicar este tema por esta vía es un poco complicado, puedes investigar sobre ello, es algo similar a esto: kzbin.info_Mlthd7G3gg. Igual podemos seguir comentado sobre el tema para promover el aprendizaje. Saludos!!

[@AFSMG]

@@MathVitae primero gracias. Lo miraré. Pero la pregunta es donde está el error en ese análisis? Como te comento yo bb lo veo muy similar al del cilindro con un círculo. Muchas gracias

[@AFSMG]

@@MathVitae Ante todo gracias por contestar. Acabo de ver el video que me recomiendas y para mi sorpresa es d este chico argentino que explica como los ángeles también. Y cuanto mas lo veo, mas duda tengo de donde esta el error en mi análisis. En su ejemplo, los círculos son diferentes porque la figura así lo determina. Si fuera un cilindro todos fueran iguales y basta con multiplicar por la altura. A esa conclusión llegas con integrales también . Por eso mismo es que no veo el error del triangulo que te he explicado, porque es la suma de todos los triángulos alrededor del circulo de la base. No se si me explico con claridad. Un saludo. Esperando tus maravillosos video.

[@reyallen3108]

buen video

[@MathVitae]

Gracias!!

[@almenarab]

Desarrollando el binomio de Newton, evaluando solamente hasta el segundo término hallas que la potencia era mayor. Todo en 10 segundos

[@MathVitae]

Excelente método de resolución!!!

[@nicolascamargo8339]

Genial

[@MathVitae]

Muchas Gracias!!!

[@josea.hepthay4661]

Es no se, creo que es mucho más fácil: (1+5/1000)^200 = (1^200)*(5/200)^0 + 200*(1^199) *(5/200)^1 +épsilon = 2+épsilon, luego mayor que dos. Simplemente aplicando binomio de Newton Si está bien, creo que resulta mucho mas simple. Yo lo he resuelto (creo) sin escribir. Saludos

[@josea.hepthay4661]

Perdón, error...

[@josea.hepthay4661]

(1^200)*(1/200)^0 + 200*(1^199) *(1/200)^1 +épsilon. Así creo que si Saludos

[@theelectro15]

no se para que tanto lio. eso que tienes escrito es similar a la expresión (1+1/x)^x con x = 200 y como todos sabréis el límite de (1+1/x)^x cuando x tiende a infinito es igual al número e que es aproximadamente 2,71. De este modo no solo hemos demostrado que es mayor si no que podemos darle un valor aproximado a esta operación sin prácticamente esfuerzo.

[@arestes]

Aparte de que no creo que te permitan usar ese hecho conocido, por cuestiones de reglamento, NO es suficiente tu justificación. ¿Cómo sabes que N=200 lleva a la expresión (1+1/N)^N a una vecindad de 2.718... de tal manera que con seguridad sea mayor que 2? Precisamente para eso se enseña la definición formal de límite de una sucesión con N y epsilon. Podría ser que para N=200 el intervalo en el que cae la expresión está en un radio de 0.901 y eso no justificaría que sea mayor que 2, porque podría caer cerca a 2.718... -0.901=1.817... Y, como verás, ir por ese lado (de usar la definición formal) no es nada fácil y mejor hacemos lo que hizo este youtuber.

[@theelectro15]

entiendo tu punto perfectamente, tienes razón de que mi aproximación carece de rigurosidad pero bueno, básicamente el tema sería ver qué nuestro límite es idéntico en índices naturales a la serie de Taylor de e^x ( x^n/n! ) para x=1, analizar que esta es uniformemente creciente y está acotada superiormente por el número e por tanto por el teorema de las sucesiones monótonas podemos afirmar que siempre aumentará su valor y este llegará a tomar e .Entonces podemos concluir que como ese límite es exactamente igual a esa serie para números de índice enteros y para N = 2 toma valor de 2,25 lo cual ya es mayor que 2 pues podemos afirmar de forma justificada que, evidentemente (1+1/200)^200 > 2 y sabemos también a mayores que es menor que e.

[@arestes]

​@@theelectro15 Bueno, para empezar, acabas de llenar el hueco con cosas nuevas, evidenciando que lo original NO era suficiente para estar seguro de que la sucesión es mayor que 2 para N=200. Sin embargo, dices varias cosas equivocadas, mezcladas con teoremas ciertos pero mal aplicados o nombrados. Un límite NO es un valor (ni idéntico ni igual) a una serie de Taylor. Entiendo que has tratado de decir que el límite de (1+1/x)^x cuando x tiende a infinito es igual a e, lo cual coincide con el valor de la serie ( x^n/n! ) para x=1. Ahí mismo te puedes dar cuenta de que algo está mal en lo que dices porque en un caso x tiene a infinito y en otro x=1. Por cierto, si quieres expandir (1+1/x)^x de tal manera que sea una serie de potencias con x^n como intentas para que se parezca a x^n/n!, estás equivocado porque no existen las derivadas de (1+1/x)^x en x=0. Simplemente no existe una serie de SUM a_n . x^n que coincida con (1+1/x)^x, aunque sí existiría una serie de Taylor expandida alrededor de otro número, por ejemplo, alrededor de x'=1: SUM a_n . (x-1)^n (y esto no es fácil de probar de que coincidan, básicamente necesitas teoremas de funciones analíticas: No siempre la serie de Taylor de una función coincide con la función que usaste. Aquellas funciones que cumplen que su serie de Taylor (alrededor de un punto a) coincide con la función, se llaman analíticas (en ese punto). Esto es bien conocido). Has confundido mentalmente series, límites y el número e. Por otro lado, lo que sí puedes hacer es expandir binomialmente (1+1/N)^N. Eso sí se puede, PERO los términos que te salen NO son los mismos que 1/n! O sea, el término N=200 no es el mismo para (1+1/N)^N que para 1/n! por lo que comparar y decir que con N=2 ya se llegó a 2 no es suficiente prueba si solo usas 1/n!. No se dice "uniformemente creciente", es solo creciente. No es cierto que la sucesión llegue a "tomar e". En este caso, la sucesión (1+1/N)^N nunca toma el valor de su límite (lo cual en otros casos puede ocurrir). Es cierto que la sucesión está acotada por el número e, pero eso es consecuencia de que ese es el supremo de esa sucesión Pero estás razonando al revés. Primero debes demostrar que hay una cota (Por ejemplo, el número 3, como se usa en la demostración que te dejo abajo). Que sea acotada por e es la consecuencia después de aplicar el teorema. No tiene sentido que uses a e para demostrar que está acotada por e. Rescato eso que has dicho, que sí es cierto: El teorema de sucesiones monótonas (que incluso aplicaría a otras sucesiones constantes que no crecen: ser monótona incluye ser constante). 1) La sucesión (1+1/N)^N es creciente, tal como afirmas. Sin embargo, NO es fácil de ver. Trataste de justificar que es creciente al decir que esta sucesión coincide con la expansión de (1+1/x)^x lo cual es falso y no tiene sentido. Demostrar que es creciente no es trivial, pero no imposible. Es una clásica demostración en libros y la encuentras en planetmath.org con el título convergence of the sequence (1+1/n)^n ** Solo es necesario demostrar que esta sucesión (1+1/N)^N es creciente. El resto, como dices, sale de ver que ya con N=2 sobrepasamos e: Esto se prueba en ese enlace de planetmath y: oh! ¡Sorpresa! es la misma demostración que sale en este video, pero que acá lo ponen solo para N=200. ** Hasta aquí debería convencerte de que tu método no es correcto y que más bien necesitamos hacer algo como lo del video de youtube. Algunas cosas más que ya no son necesarias para el problema, pero sirve aclarar: 2) Ahí en el enlace planetmath también demuestran que esta sucesión está acotada superiormente por 3. No tiene sentido que uses el valor de e como cota superior en el teorema de sucesiones monótonas, puesto que el hecho que esté acotada por su límite es consecuencia final de lo que quieres demostrar, no puedes usar esa consecuencia para demostrar lo que quieres probar. 3) Como ves, no necesitas invocar series de Taylor, la cual no existe para (1+1/x)^x alrededor de x=0 (sí existe alrededor de otros valores de x, pero sería una serie con potencias (x-a)^n, no con x^n). Encima, la existencia de una serie de Taylor NO necesariamente significa que esta coincide con su función (en caso coincidan, se llaman analíticas (reales, porque hay analiticidad en complejos, es distinto). Ver qué funciones reales son analíticas es muy difícil y se hace caso por caso o a partir de una conocida y derivando, etc. Este es un secreto poco hablado del análisis real, pero todos están felices de ignorar en las aplicaciones. Aquí te puede aceptar el recurso de decir que uno no es riguroso, puesto que la mayoría de funciones que usamos sí son analíticas reales (o sea que su serie de Taylor sí coincide con la función). 4) Al final, como ves, tu método se salta cosas no triviales que indico arriba y están desarrolladas en ese enlace u otros libros. No, no es tan fácil. Que te ligó la intuición, puesto que reconociste que se parece a la definición de e? Sí. Justificado? no. Y a veces la intuición engaña. ¿Cuál es el límite cuando N tiene a infinito de: (Sumatoria de k=0 a k=N) ( (1-1/k)^k)*(1/k!) ? (1-1/k)^k) tiende a 1/e como bien debes saber. Mientras que la suma de k=0 a k=infinty de (1/k!) tiende a e. ¿La intuición te dice que el resultado de Sumatoria de k=0 a k=N ( (1-1/k)^k)*(1/k!) es 1/e * e = 1 ?? La intuición te engañó en este caso, no sale 1.

[@theelectro15]

@@arestes primero de todo, increíble que haya alguien en KZbin que se haya tomado su tiempo en corregirme de forma rigurosa y correcta. Segundo, te agradezco tu respuesta, la verdad esq como puedes observar no soy ningún matemático sino que soy un alumno de ingeniería de primer año . Aprendí sobre este tipo de temas con ese enfoque y por eso creo que igual no los tengo tan bien conceptualmente como un especialista o una persona que de haya dedicado a estudiar en detalle estos temas. Leí todo lo que me dijiste y si, tienes razón y no puedes asegurarte al 100% con lo que yo digo de que sea así, solamente puedes dar unas pinceladas pero que no llegan a nada concluyente. Por último te pido que me expliques el lo último que dijiste (y despertó mi curiosidad) cuanto daria esa serie cuando tiende a infinito en términos de e si es que toma esa forma porque me pareció algo muy interesante (a mí forma de ver intuitiva no pensaría que es como dices que da 1 ya que eso es lo que daria si las series estuviesen separadas y multiplicadas, lo cual es diferente a lo que me expusiste donde cada sumando de estas series se multiplica. Básicamente entiendo que no es lo mismo una suma de multiplicaciones (lo que pusiste) a (una multiplicacion de dos sumas) lo que si daría uno) pero no tengo ni idea de cuál seria el resultado, probablemente sea un número irracional que no tenga nada que ver con e.

[@theelectro15]

@@arestes por último cabe recalcar que si que comprobé que la serie de Taylor fuese convergente con el criterio del cociente pero no tuve en cuenta que su única similitud es en el infinito, no termino a término