¿Cómo CALCULAR el Límite de una TETRACIÓN?

[@maxwellarregui814]

Buenas tardes Señores. Gracias por este novedoso ejercicio, con un planteo y solución comprensible. Sería bueno como siempre reforzar el aprendizaje, con otro ejercicio de mayor nivel. De antemano agradezco la atención que me brinde. Espero que no sea igual a los otros canales de difusión matemáticos que me ofrecen pero hasta ahora no cumplen. éxitos.

[@MathVitae]

Hola, muchas gracias por su comentario. Próximamente quiero traer al canal cursos completos sobre temas variados de las matemáticas y así poder profundizar todo lo que querremos. Gracias nuevamente. Saludos!!!

[@danielguajardo986]

PRUEBA DE QUE EL LÍMITE EXISTE: Ahora que no estoy tan mentalmente distraído, me gustaría explicar lo de la convergencia de esta sucesión, para quien quiera tener una idea de por qué esta sucesión converge. Supongamos que tenemos la sucesión a(n) definida como la tetración descrita en este ejercicio. Definimos entonces ahora dos subsucesiones de a(n), las que llamaremos b(n):=a(2n-1) y c(n):=a(2n). Podemos notar que b(n) es una sucesión creciente y que c(n) es una sucesión decreciente y ambas son acotadas en el intervalo [1/4,1]. Por lo tanto, tenemos que b(n) y c(n) convergen (además, c(n)>b(n) para todo n natural). Entonces, diremos que b(n) converge a b y c(n) converge a c. Por propiedades de límite tenemos que estos valores son tales que (1/4)^((1/4)^b)=b y también (1/4)^((1/4)^c)=c (esta consecuencia me es algo difícil explicarla por este medio). Ahora, queda ver que la función f(x)=(1/4)^((1/4)^x)-x tiene una única raíz. Para ello, primero evaluamos la función f(x) en x=1/4 y en x=1. Tenemos entonces que f(1)0. Por el teorema del valor intermedio (ya que f(x) es continua), tenemos que existe x en el intervalo (1/4,1) tal que f(x)=0. Ahora, calculamos la derivada de f(x) (no voy a escribir aquí esa función). Tenemos que f'(x) es continua. Además, tenemos que f'(x) es distinto de cero para todo x en R (si suponemos que existe x que anula la derivada, tendríamos que x estaría expresado en base a la función W evaluada en un elemento fuera de su dominio, y eso sería una contradicción). Como f'(x) es continua y no se anula, entonces f'(x) o es sólo positiva o es sólo negativa. De este modo, f(x) o es creciente o es decreciente. Como f(x) es monótona, entonces sólo puede existir un único x tal que f(x)=0. De este modo, existe un único x que cumple que (1/4)^((1/4)^x)=x. Como b y c cumplen esa igualdad, entonces b=c por unicidad. Entonces, b(n) y c(n) convergen al mismo valor, y sigamos llamando a este valor b. Ahora, para toda subsucesión de a(n) existe una subsucesión que va a ser igual a ya sea una subsucesión de b(n) o a una subsucesión de c(n) (imagino que usar la palabra "subsucesión" tantas veces en una misma frase ha de ser algo enredoso). De este modo, para toda subsucesión de a(n) existe una subsucesión que converge a b. Esto último es equivalente a decir que la sucesión a(n) es convergente y que además converge a b. Espero no haberme alargado demasiado, pero quería explicar lo más detalladamente que se pudiese por este medio este asunto de la convergencia, para quien estuviese interesado claro.

[@MathVitae]

Simplemente hermoso. Gracias!!!

[@gp9401]

La matemática es vida y las explicaciones claras y al punto como la suya son muy buenas. Saludos cordiales.

[@MathVitae]

Hola, gracias por su comentario, lo aprecio mucho. Abrazos!!!

[@AFSMG]

Como siempre, excelente. Esperamos los siguiente videos. Un saludo

[@MathVitae]

Gracias, aprecio mucho su apoyo. Saludos!!!

[@Alejandro52rus]

¡A ver sus videos me parece que usted pueda resolver casi cualquier ecuación usando la función W de Lambert! 😁 Muchas gracias por su explicación de tetración. No tengo ni idea por qué no nos la enseñaba en la universidad...🤨

[@MathVitae]

Gracias por sus palabras, la verdad es que la función W de Lambert es muy útil en este tipo de ejercicios. Próximamente quiero introducir otros métodos al canal, también son muy buenos. Saludos.

[@javierferrandizlarramona6588]

Excelente explicación, como siempre. Bonito ejercicio. Gracias

[@MathVitae]

Hola, muchas gracias a usted. Abrazos!!!

[@AdriOshu98]

Genial, muy buen video, muchas gracias por considerar el ejercicio que recomendé❣. Me gusta mucho el tema de hiper-operaciones e hiper-factoriales, quizas a futuro sería interesante un video sobre sus propiedades y aplicaciones numéricas 😊

[@MathVitae]

Es un placer, estoy muy agradecido por sus excelentes recomendaciones. Abrazos!!!

[@maxwellarregui814]

Buenas noches Señores. agradeciéndoles su comentario. Éxitos.

[@lourdesvillamayor-nu5ld]

Gracias profe 🎉

[@MathVitae]

Con mucho gusto. Gracias a usted por su apoyo. Abrazos!!!

[@danielguajardo986]

Un detalle pequeño, pero relevante. Faltó demostrar que la sucesión es convergente. Si la sucesión no hubiese sido convergente, la artimaña aquí empleada para calcular el límite hubiese estado errada.

[@MathVitae]

Hola, muy buena observación. Gracias por compartir sus conocimientos!!!

[@datpusilanime1]

Buenas tardes profe. Muchas gracias por sus videos. Tengo una pregunta, como se demuestra que ese limite efectivamente existe? Mas alla de calcularlo directamente

[@danielguajardo986]

Exactamente. Si no existiese el límite, ese truco estaría mal. Pero para probar que esa sucesión converge, bastaría sólo probar que esta sucesión es monótona y acotada.

[@danielguajardo986]

@@datpusilanime1 actualización: Al parecer la sucesión es acotada (quizá), pero no es para nada monótona. Quizá habría que probar otra cosa. Probar que toda subsucesión converge al mismo valor.

[@danielguajardo986]

Otro detalle que acabo de notar. La subsucesión formada por los valores pares de n es decreciente, mientras que la formada por los valores impares es creciente. Quizá eso sea de ayuda. Edit: De hecho, demostrando que estas dos subsucesiones convergen a lo mismo, demuestras que la sucesión entera converge. De no converger, lo que probaríamos es que la sucesión tiene dos puntos de acumulación.

[@datpusilanime1]

@@danielguajardo986 Gracias, intentare por alli. Mas que nada queria saber si hay tecnicas o estrategias exclusivas para trabajar con tetraciones

[@danielguajardo986]

​@@datpusilanime1 me causaste una duda. ¿Hablas de "técnicas para trabajar con tetraciones" a nivel general o sólo para efectos de calcular esta clase de límites en particular?

[@maxwellarregui814]

Buenos días Señores. Reciban un cordial saludo. Tengo una inquietud, en este desarrollo con la aplicación de la W. de Lambert se está mostrando la manera de encontrar las raíces reales ( x = 1/2 ) o complejas de la ecuación; pero nos piden el límite de la función, ¿ es igual en la función su límite a su raíz o raíces ?. Es importante su acertado comentario. Gracias por la atención que me brinde y Éxitos.

[@MathVitae]

Efectivamente, el límite en este caso equivale a la solución de la ecuación mostrada en el video, aunque no siempre es así, este método suele usarse para determinar el límite por ejemplo de series infinitas. Espero le sea de ayuda.

[@cerm88]

x= 1/2

[@nicolascamargo8339]

Wow

[@parsaaghdam8501]

Para que me sirve eso?

[@sebastianmt02]

que aplicacion tiene un calculo de tetracion?

[@MathVitae]

Una de sus principales aplicaciones es la oportunidad que nos brinda para expresar números muy grandes. Un saludo!!

[@alexandercromo7182]

- Grafique la función y se corta exactamente en x=0.5 - x= 0.5 (resuelto en la calculadora HP48GX) - Método Newton Raphson x=0.5 - find_root((1/4)^x-x, x, -10, 10) (ejecutado en CAS maxima) =0.5 - (lambert_w (log(4))/log(4)),numer; (ejecutado en CAS maxima) =0.5 - LambertW(ln(4))/ln(4) (ejecutado en WolframAlpha) =0.5 Quería hacerlo en Maple, luego en MathCad y mas... pero mi RAM se quemo 😂😂😂. La PC ya murió 😇😇😇.

[@MathVitae]

Excelente respuesta, es tal y como describes, resulta que w(ln4)=ln2 luego ln2 / ln4 es igual a 1/2. Gracias por su comentario, espero que recuperes pronto la PC!!! Saludos.

[@latefoolstalk676]

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