ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. PARTIE II

[@kassuskassus6263]

Merci beaucoup Mr Chermak. A 55 ans et 37 ans après mon bac, je saisi enfin tout sur les équations différentielles. Bravo à vous.

[@infomaths]

Génial !

[@PascalineIlboudo-rk8bt]

Merci beaucoup Mr , c'est compréhensible,si vous pouvez ajouter des formules dans vos vidéos, ça allait mieux nous avantagées.

[@dortejp]

Merci pour ces mathématiques pour tous, rien que du bonheur avec vos vidéo. A 75 ans je m'y suis remis avec plaisir grâce à vous

[@MrManigairie]

Merci, merci merci tellement !!! Partie 1 et 2 totalement intégrées et mises au propre, je vais maintenant (re)démarrer ce chapitre depuis mon manuel scolaire pour voir si les points d'incompréhensions sont levés

[@AboutAdamMahamat]

Les mots me manque grâce a vous que maintenant je comprend équation diff linéaire merci beaucoup vraiment merci

[@damiengerl8760]

Cette vidéo m'a permis de comprendre la méthode de la variation de la constante d'une manière vraiment plus rigoureuse. Merci beaucoup. Bien à vous .

[@KouassiNoeKoffi]

Merci professeur. J'avais vraiment besoin de cette explication

[@Zonedescience_PERSEVERANCE.TV_]

Félicitations ! Cette méthode m'a permis d'apprendre et de réapprendre.

[@damiengerl8760]

Bonjour cher Saïd. C'est avec grande richesse en vous retrouvant dans chacune de vos vidéos depuis l'origine que je découvre et/ou redécouvre les mathématiques notamment dans les aspects fondamentaux de la logique formelle cruciale tant pour résoudre les problèmes , tant pour élaborer les structures de la pensée logico-formelle et axiomatique. Une base fondamentale pour chacun trouve son compte, sachant qu'il existe des définitions et/axiomes qui dépassent notre perçu. A plus long terme, en prenant l'âge, je découvre les subtilités des mathématiques ou plutôt l'art mathématique qui ne consiste pas seulement à savoir calculer ou résoudre des problèmes mais aussi manipuler les objets axiomatiques tout en faisant ressortir les formes cachées et subtiles issu du raisonnement logico-formel adéquat.

[@Mouhamed1760]

Merci beaucoup professeur de tout mon cursus scolaire j'ai pas encore vu un professeur qui explique mieux que vous

[@hassnaha2181]

Très, très bien expliqué, ça m'a aidé énormément à comprendre cette méthode, merci beaucoup.

[@rabahchaouchi6604]

Bonsoir Un grand merci pour vos vidéos sur les équations différentielles. Bonne continuation

[@infomaths]

Merci à vous

[@MichelBoyer-g9b]

Merci Monsieur, vous me permettez un recyclage agréable pour ensuite aider mes petits enfants! Je ne suis pas sûr d'avoir aussi bien compris quand j'étais en math élem. je je me souviens plus... et d'ailleurs peut-être n'était-ce pas au programme!

[@lebrunzaou3300]

Merci 🙏🏾 pour cette séance de vidéo, mon pédagogue bien aimé 🥰. J’attendais depuis longtemps que vous fassiez une vidéo sur les Équations différentielles et l’Arithmétique.

[@Zonedescience_PERSEVERANCE.TV_]

Dans les prochaines vidéos, j'attends beaucoup plus de voir les équations différentielles du second ordre à coefficients constants.

[@mohameddiamond7833]

Ouais le père tu es très puissant 🌟🙂

[@hananezozo6968]

Meilleur professeur pour moi

[@fleurfleur4815]

salam Hannouna

[@florentinpefakouo505]

Merci beaucoup oooh grand Prof

[@infomaths]

Merci à vous

[@Yannaarsene]

Merci beaucoup Monsieur 🙏🏼

[@ludovicvasseur9278]

merci à vous ....si j'avais eu un prof comme vous...

[@wilfriedmbongo2600]

Mr je vous remercie

[@iriebijoelhamiltonjuniordj3704]

Très intéressant. Merci monsieur

[@dilanehounkpevi1996]

Mon gars tu es bon

[@diallodaouda7858]

Merci c'est bien claire doyen

[@mokhtarfezai2223]

Vraiment tu es un bon prof

[@tierryhounkonnou5603]

Merci beaucoup cher professeur.

[@infomaths]

Avec plaisir

[@manuelfalzoialcantara92]

les choix doivent suivre un critére, merci

[@idrissanabaloum-ne2bi]

vraiment c'est superbe

[@mugimoula763]

merci pour cette vidéo

[@yannickflashanlonsou3062]

Merçi merçi merçi merçi sir

[@infomaths]

De rien

[@houphouethilaireyao3606]

Excellente vidéo 👏👏👏

[@fleurfleur4815]

produit de deux fonctions = ( l'intégral de la fonction 1 différentielle de la fonction 2 ) + ( l'intégral de la fonction 2 différentielle de la fonction 1 ) , c'est l'intégrale par partie

[@oozindahouse295]

À quel moment aurait-il fallu procéder à une intégration par parties ? Dans l’exemple 1, dans l’exemple 2 ? Les bras m’en tombent ! C’est comme sortir un missile balistique intercontinental « LGA-3 Minuteman » pour tuer une mouche ! J’ai connu des gars au Lycée dégainer le discriminant Δ et le toutim pour résoudre une vulgaire équation du second degré, par exemple : x^2 + x - 6 = 0. Un rapide regard fait ressortir des racines évidentes : x = 2 ou x = -3. J’avais un Prof qui faisait perdre 0,5 point au gars qui se comporte comme ça.

[@brinaait8640]

merci🌼

[@jonathanvonghes3928]

Super !!! Merci beaucoup

[@infomaths]

De rien 😁

[@dylanboulingui9333]

bonsoir à vous monsieur Chermak! j'aime et j'apprécies énormément vos vidéos. Mais j'ai une question: Si la deuxième méthode de résolution se nome "variation de la constante", comment s'appel la première méthode de résolution? Merci

[@boutchoumoubarak8146]

Je pense que c'est la méthode de choix d'une solution particulière

[@YoucefKhellaf-y8n]

Excellent travail . Il y a juste une petite erreur de calcul.C=2/3 et non C=-2/3 .Merci professeur.

[@mednjfoyel7038]

Merci bien reçu

[@pierrelivoidieu1486]

Meci cher prof

[@fatoumatabinetoukane1022]

Merci

[@ousmanelom6274]

Merci prof

[@infomaths]

De rien

[@chibanoussama9283]

MERCI

[@zmdarchitectural348]

Merci grand prof!

[@infomaths]

Avec plaisir

[@Zonedescience_PERSEVERANCE.TV_]

Plutôt, autant pour moi, équations différentielles du second ordre à coefficients variables comme vous venez de le faire tout à l'heure. Merci bien

[@younesbeldjenna9825]

merci beaucoup

[@stel_x_sand]

Okay merci beaucoup à vous maintenant dans le cas où nous avons y’-y=co(2x) !?

[@oozindahouse295]

Résoudre : y' - y = cos⁡(2x) (E) 1) Solutions de l’équation Sans Second Membre (SSM) : y_H = C.e^x (1) 2) Recherchons une solution particulière par la méthode de la variation de la constante : Posons : C = h(x). Une solution particulière de (E) est : y_P = h(x).e^x y'_P = h' (x).e^x + h(x).e^x - y_P = - h(x).e^x y'_P - y_P = h' (x).e^x + 0 = cos⁡(2x) (par sommation des deux égalités ci-dessus) d’où : h' (x) = e^(-x).cos⁡(2x) H(x) = ∫ e^(-x).cos⁡(2x).dx (*) Nous allons procéder (deux fois) par une intégration par parties, H = ∫u'v = uv - ∫uv' Posons : (1) u' (x) = e^(-x) et v(x) = cos⁡(2x) ⇒ u(x) =-e^(-x) et v' (x) = - 2.sin⁡(2x) H = -e^(-x).cos⁡(2x) - 2.∫ e^(-x).sin⁡(2x).dx Intégrons ∫ e^(-x) .sin⁡(2x).dx par parties et posons : (2) u' (x) = e^(-x) et v(x) = sin⁡(2x) ⇒ u(x) = - e^(-x) et v' (x) = 2.sin⁡(2x) H = - e^(-x).cos⁡(2x) - 2.[ -e^(-x).sin⁡(2x) + 2. ∫ e^(-x).cos⁡(2x).dx ] ( notez que : ∫ e^(-x).cos⁡(2x), c'est H(x) ) H = - e^(-x).cos⁡(2x) + 2.e^(-x).sin⁡(2x) - 4H 5.H = 2.e^(-x).sin⁡(2x) - e^(-x).cos⁡(2x) H(x) = (2.e^(-x).sin⁡(2x))/5 - (e^(-x).cos⁡(2x))/5 + λ , λ un réel constant quelconque L’ensemble des solutions de (E), on l'appelle aussi "Solution Générale" : y = y_H + y_P = (2.e^(-x).sin⁡(2x))/5 - (e^(-x).cos⁡(2x))/5 + C.e^x y = 1/5.e^(-x). [ 2.sin⁡(2x) - cos⁡(2x) ] + C.e^x , C constante réelle quelconque.

[@fleurfleur4815]

8:55 j'ai utilisé l'intégral par partie mais j'ai trouvé que C = 2/3

[@damiengerl8760]

c=2/3 effectivement

[@oozindahouse295]

TssTss... Intégration par parties pour cette simple équation différentielle ! Une bombe Atomique pour tuer un moustique ! Hahahaaa....hahahaaaa. Les gens deviennent fous !

[@DramaneSourabié-v6q]

Cool

[@ghostaka7405]

Bonjour Mr Chermak Pouvez-vous imaginer un probleme du quotidien ou extraterrestre aboutissant à cette équation différentielle Merci beaucoup

[@oozindahouse295]

Beaucoup de phénomènes de la vie pratique sont modélisables (mathématiquement), par exemple, en électronique, le circuit RC (charge/décharge du Condensateur), RL, RLC, etc... Les démographes pour l'évolution de la population d'un pays, en Agriculture, en Sciences Économiques (étude de l'évolution des prix (inflation), la croissance économique, etc...

[@manuelfalzoialcantara92]

Bonsoir Monsieur Said : minute 2.42 pourquoi supposer yo = aexp(bx)? c ést un choix arbitraire? ou alors c ést convenir a un format de derivée perfect?

[@oozindahouse295]

Non ! C'est le fruit d'une réflexion approfondie (le Prof est futé !), il a parfaitement expliqué le pourquoi du comment dans la vidéo (timeline : 2:04). Mr CHERMAK observe que le terme du second membre de (E) est une fonction exponentielle dont le coefficient est 1 (une constante) et l'exposant de l'expo est une fonction linéaire de type (b.x). Il est tout à fait logique de rechercher une solution particulière du type : a.e^(b.x), a et b des réels non nuls (a priori). De toute manière, il aura judicieusement procéder à une vérification rapide que sa solution particulière y_0 colle bien à la réalité : (y'_0 - 2.y_0) donne bien ( e^(x) ) ! Il a dit aussi (quand une observation fut-fut ne permet pas de décider rapidement de la forme de la sol. particulière) de procéder à la méthode de la Variation de la Constante (MVC)... Rajouts ----------- y' + 2y = e^x (E) (E) a la forme : y' + a(x).y = f(x) avec a(x) = 2 d’où A(x) = 2x et f(x) = e^x y_H = C.e^(-A(x)) donc y_H = C.e^(-2x) Une solution particulière y_P de (E) est en quelque sorte une « boîte noire », on ne sait pas encore ce qu’il y a dedans mais on pourrait deviner un peu sa tête ! Cette tête est très voisine de ce que l’on voit dans le second membre de (E) : f(x) = P(x).e^x donc le produit d’un polynôme P(x) de degré 0 et de e^x. La situation se présente ainsi : ( boîte noire )' + 2.( boîte noire ) = e^x Question : « Qu’est-ce qu’on pourrait trouver dans cette « boîte noire » ? On cogite un peu (en fait, on n’a pas beaucoup de possibilités), le premier membre de (E) et son second membre doivent présenter à peu près la même tronche. C’est forcément une fonction de la forme : y_P = Q(x).e^bx sachant que deg(P(x)) = 0 = deg(Q(x)) donc Q(x) = a , a est une constante réelle quelconque et b une constante réelle quelconque. En effet : ( Q(x).e^bx )' + 2.( Q(x).e^bx ) = e^x Q' (x).e^bx + b.Q(x).e^x + 2.Q(x).e^bx = e^x ( a.e^bx )' + 2. a.e^bx ) = e^x 0 + a.b.e^bx + 2.a.e^bx = e^x (2a+ab).e^bx = 1.e^x Par identification : b = 1 et 2a+ab = 1 ⇒ b = 1 et 2a + a = 1 ⇒ b = 1 et a = 1/3 Une solution particulière de (E) est : y_P = Q(x).e^bx = 1/3.e^x La Solution Globale (les solutions avec les constantes non déterminées) : y = y_P + y_H y = 1/3 + C.e^x Nota Bene : Avouons que c’est un peu du bricolage, mais ça permet de se dépatouiller afin d’éviter la MVC (Méthode de la Variation de la Constante). En Maths, un comportement bien cultivé tout au long des apprentissages va « au plus court » (savamment distillé par nos Profs successifs depuis les Classes Primaires : « Ne Pas Abuser De La FORCE ! »). Quand une solution évidente apparaît, on ne s'embête pas, on la prend ! Post Scriptum : Dans cette même veine, il existe une autre « Méthode TRÈS précise » (autre que la VMC) qui ne doit rien au bricolage !

[@Widylebaoulé]

J'essaye de refair avec à la place de e^x, -5e^-2x mais mon résultat ne sort pas le même avec le corrigé pourtant le corrigé en questions je ne connaît pas la procédure ils ont juste donné le résultat final 💔

[@oozindahouse295]

Résoudre : y' + 2y = -5.e^(-2x) (E) Les solutions de l’équation Sans Second Membre (SSM ou homogène associée) : y_H = Ce^(-2x) (1) Recherchons une solution particulière (par la méthode de la variation de la constante) : On pose, C = h(x). Une solution particulière a la forme (Méthode de la Variation de la Constante) : y_P = h(x).e^(-2x) (2) Déterminons la fonction h : y'_P = h' (x).e^(-2x) - 2h(x).e^(-2x) + 2y_P = + 2h(x).e^(-2x) (E) s’écrira : -5.e^(-2x) = h' (x).e^(-2x) + 0 (en sommant membre à membre les égalités ci-dessus) h' (x) = (-5.e^(-2x))/e^(-2x) = -5 donc h(x) = -5x Par conséquent, (2) s’écrira : y_P = -5x.e^(-2x) L’ensemble des solutions de (E) est y = y_H + y_P : y = -5x.e^(-2x) + Ce^(-2x) ) soit y = (C - 5x).e^(-2x)

[@lemtrobleh-fk4sj]

Il ya une erreur de calcul

[@yoanlolo965]

Bonjour, vous avez fais une ERREUR au moment de t=8:55 parce que la constante C=2/3 et non pas votre valeur négative. En vous remerciant par avance de votre réponse ou du moins de votre explication.

[@ElvisOkoueme-gb6yb]

Pourquoi il n'y a pas la géométrie ?

[@lemtrobleh-fk4sj]

C=2/3

[@lekootow1313]

Bonjour, très bonne vidéo mais je crois qu'il y a eu une erreur, pour la première méthode vous avez calculé C = -2/3 alors que C = 2/3 (car 1-1/3 = 2/3 et non -2/3)

[@levrailiberateur2218]

Oui oui, c'est une erreur qu'il a fait. L'erreur est inhérent à l'homme. Bonne continuation cher professeur. 🎉🎉🎉

[@lekootow1313]

@@levrailiberateur2218 je n'ai jamais dit le contraire il me semble !

[@levrailiberateur2218]

@@lekootow1313 ,oui vous n'avez pas dit cela, excusez moi si je vous ai fait pensez cela.🙏🙏🙏

[@levrailiberateur2218]

@@lekootow1313 , je signale juste son erreur et je l'encourage comme vous !😇😇.

[@elmadaniamina4438]

svp j ai une qst pourquoi il a choisi y(0) = 1 ? parce que normalement dans la dernière equation si on met y a 0 donc a l a fin on a 0 = C+ 1/3 d ou C = 1/3

[@kaoutherdch4057]

Donc la méthode de la variation de la constante est utilisée quand on arrive pas à trouver la forme de y ?

[@oozindahouse295]

YES ! La MVC (Méthode de la Variation de la Constante) est rassurante ! ;)

[@stel_x_sand]

S’il vous plaît 🙏🏻🥺

[@IbrahimaSeck-e4v]

L'exemple y'+2xy=6x expliquez moi les 2xa=6x ???

[@oozindahouse295]

Mr CHERMAK l'a expliqué ! (Timeline : 19:05) Je vais le paraphraser donc. L'équation différentielle (E) est un polynôme de degré 1. Pourquoi ? Dans le second membre de (E), on a le terme (6x) qui est de degré 1. Dans le 1er membre de (E), on a (2x) qui est de degré1 aussi, par conséquent, le produit (2xy) ne doit pas excéder le degré 1 qui le degré du terme au second membre. Une solution particulière y_0 doit être de degré 0 : deg(2x) + deg(y_0) = 1 donc deg(y_0) = 1- deg(2x) = 1 - 1 = 0. Une solution particulière est donc y_0 = a (a un réel constant quelconque) dont la dérivée est nulle (CQFD)

[@mabatabamalama4197]

1-1/3 =2/3 et non-2/3

[@faycalmbion7432]

T

[@saindoudiarrassouba4793]

Merci beaucoup

[@meryem9049]

merci bcp

[@bileamoadaniel1768]

Merci prof