ÉQUATIONS FONCTIONNELLES : la ruse "intégrer pour dériver" (sup/L1)

(J'espère que vous avez la ref sur Senku...)
Sur cet oral centrale universitaire 2020, on va parler d'une ruse appelée "intégrer pour dériver", qui peut s'appliquer à pas mal d'équations fonctionnelles. Elle permet de passer d'une hypothèse de continuité à une hypothèse de dérivabilité !
00:00 Introduction
01:12 Énoncé
01:48 Solution (début)
05:48 Méthode "intégrer pour dériver" sur l'équation de Cauchy
13:25 Application à l'oral de Centrale
25:06 Une ruse diabolique

[@Ayman-sc3fk]

lâche pas tes vidéos sont géniales ! ta bonne humeur est communicative

[@lululegende]

Clické pour la ref Resté pour le cours très intéressant

[@meddark3795]

Force à ce monsieur, il prend soin de nous❤

[@CassouMathPrepa]

Merci 🙏

[@meddark3795]

@@CassouMathPrepa non, nous vous remercions ❤️❤️

[@michelbernard9092]

J'ai beaucoup apprécié... et en plus quand c'est fait avec humour, c'est vraiment top ! Merci

[@CassouMathPrepa]

🙏🙏🙏

[@naylpoirot1262]

Excellente vidéo, l'astuce est jolie.

[@wasabissu5020]

J'ai fait un exo d'équation fonctionnelle sur des matrices qui utilisait la même méthode: On cherche les fonctions A continues tel que A(x+y) = A(x)*A(y) ou A est une fonction de R dans Mn(R) A l'époque on m'avait indiqué de faire la technique intégrer pour dériver mais je comprenais rien à ce que je faisais j'avais l'impression que ça tombait du ciel un peu, finalement je comprends mieux maintenant

[@CassouMathPrepa]

Ah oui OK. Et à ma fin du coup tu retrouves A(x)=B.exp(xC) ou B et C sont des matrices tq B^2=B et peut être B et C commutent j'imagine... 🤔

[@wasabissu5020]

​@@CassouMathPrepaj'ai pas souvenir du B on avait peut être supposé A(0) inversible donc qui vaut In

[@sheebzy205]

Tu le mérites ton petit pouce bleu ne t'en fais pas. Continue tes vidéos t'es un goat

[@CassouMathPrepa]

Merci du soutien 😅

[@m9l0m6nmelkior7]

Je sais pas si tu passes par là, mais ce qu'on remarque, comme x et y sont non-nuls, c'est qu'en divisant de chaque côté par xy, on retrouve f(xy)/xy = f(y)/y + f(x)/x, ce qui donne envie de penser que g(x) = f(x)/x est un morphisme de (R+*,*) dans (R,+), c'est à dire de la forme Kln(x), donc f(x) est de la forme K x ln(x)… Donc on a bien un espace vectoriel, mais de dimension 1, est-ce que c'est attendu, je pense, mais peut-être que je me trompe en disant que les *seuls* morphismes entre ces deux groupes sont de cette forme… je vais regarder la vidéo.! Yey, j'ai trouvé juste ! Bon la méthode intégrer pour dériver valait quand même le détour.

[@m9l0m6nmelkior7]

Bon, quand même, pour montrer que mon analyse est correcte je vais intégrer de 1 à 2 f(xy)/xy dy, ce qui donne ∫f(xy)/xy dy = (2-1)f(x)/x + K donc avec t = xy, dt = xdy, on intègre donc de x à 2x : (1/x)∫f(t)/t dt = (2-1)f(x)/x + K, donc blablabla f(x)/x de classe C1. Donc : x(f(xy)/xy)' = (f(y)/y)', en particulier pour y = 1, on a x(f(x)/x)' = K Donc on a bien cette fois ci (f(x)/x)' = C/x, soit f(x)/x = Kln(x) + B, or en 1 on trouve 0 donc B = 0, et f(x) = K x ln(x) ✨ Edit : J'ai bien fait de passer par f(x)/x, ça évite tout le travail sur une equa diff pas si dur mais trop long.

[@christophebal1692]

J'allais indiquer la même modification : l'idée étant ici de "symétriser la formule". Ensuite, on tombe sur l'équation fonctionnelle "classique" g(xy) = g(x) + g(y).

[@m9l0m6nmelkior7]

@@christophebal1692 exactement !

[@christophebal1692]

@@m9l0m6nmelkior7Poser g(x) = f(x) / x simplifie le raisonnement.

[@m9l0m6nmelkior7]

@@christophebal1692 l'écriture plutôt, le raisonnement est le même (si on parle de ce que j'ai fait).

[@alexandrejanot1044]

Belle vidéo. A noter que l'astuce intégrer pour dériver est utilisée en traitement du signal pour avoir une meilleure robustesse aux bruits hautes fréquences. Pour l'équation f(x+y) = f(x) + f(y), on peut trouver plus rapidement la solution par les morphismes linéaires non ?

[@CassouMathPrepa]

Cool pour les utilisations, je savais pas du tout 😄 Par les morphismes lineaires et la densité de Q, je l'évoque dans la vidéo, c'est à connaître, mais je trouve que c'est un peu plus long. Ça dépend le niveau de l'étudiant.

[@m9l0m6nmelkior7]

Spoiler pour l'exo : l'équation fonctionnelle est linéaire, donc évidemment toute la droite vectorielle est solution (il suffit de prendre ln(x) et de multiplier de chaque côté par alpha quelconque pour s'en convaincre).

[@julianross22]

Ouais

[@vegetossgss1114]

Petite question : combien y'a t'il d'exercices différents en tout en sup et en spé, en tenant compte de l'intégralité des chapitres a ctuellement dans le programme, sans compter les probas, en maths? 5000? 10 000? puis-je tous les faire / comprendre / apprendre ou cela vous paraît-il humainement impossible? (je fais ça pour le plaisir dans mon temps libre)

[@CassouMathPrepa]

🤣 ... je me souviens que mon prof de spé nous parlait du Grand Livre Sacré avec la correction de tous les exos existant 😁😁... pour nous chambrer bien sur !! Tout le monde peut créer des exos en se.posant des questions de math Donc on ne peut dénombrer les exos... En revanche plus tu en fais, plus tu réfléchis, plus tu en trouves, et plus tu es fort !!

[@dakcom-mk6mp]

Nice

[@incla6440]

Super vidéo et explications, au top !

[@CassouMathPrepa]

Merci à toi 👍

[@UnNimois]

La miniature !!! 😂👏👍 (J'ai la ref.)

[@CassouMathPrepa]

😅 j'ai tripé, j'avoue ...

[@CassouMathPrepa]

En fait j'adore ce personnage fou de sciences. C'est excellent d'avoir un shonen avec un garçon tout maigrelet et dont toute la force est dans sa science. Ça change des héros qui bastonnent dans tous les sens. En tout cas ça a donne envie à mes petits de faire de la science, et ça c'est cool 😁

[@UnNimois]

​@@CassouMathPrepaJ'ai peur que ça soit un peu trop violent pour mes propres petits... peut-être que je suis trop papa poule !

[@leam1734]

​@@UnNimois certes quelques passages un peu violents, mais franchement ça attise surtout la curiosité, moi en regardant la version animée, lorsque Senku fait ses schémas de 100 étapes pour avoir un produit final, ça me donne envie de faire la même chose

[@UnNimois]

​@@leam1734Je n'ai pas vu l'anime mais j'ai les 17 premiers tomes à la maison (j'ai pris un peu de retard).

[@camille94380]

15:23 : il me semble qu'il manque le facteur x Int( f(t) dt/x ) = x K1 + K2 f(x) même si cela ne change rien à la conclusion C1

[@CassouMathPrepa]

Ah oui mince. Tout à fait . C'est x.K1, merci !

[@VernetLoic]

Bonsoir je comprends où est passé le x devant le K1

[@CassouMathPrepa]

Coquille... je l'ai zappé... mais bon ça change rien 😅

[@vegetossgss1114]

en fait f est même C infini....

[@pepito_5815]

Est-il toujours vrai que la fonction est C1 ? Ou dans certains cas seulement ?

[@christophebal1692]

Cela devient une conséquence du raisonnement.

[@CassouMathPrepa]

Il faut voir si ca marche quand même. Déjà il fait 2 variables. Et puis même savoir si on peut isoler f(x) en fonction de qq chose de C1