Quel est le chiffre des unités de 2023^2024 ?

[@user-larbi-delphi]

Bref, vous êtes génial et génie 😊

[@BosseTesMaths]

C’est gentil merci !

[@erictrefeu5041]

exercice intéressant et amusant qui pourrait éventuellement permettre l'introduction de l'indicateur d'Euler (qui généralise le petit théorème de Fermat) et qui indique que 23^400 est congru à 1 modulo 1000. ce qui permet de préciser que le nombre 2023^2024 se termine par ....041.

[@BosseTesMaths]

Pas mal du tout !!

[@erictrefeu5041]

@@BosseTesMaths ....c'est seulement trois chiffres sur un nombre qui s'écrit avec 6692 chiffres

[@erictrefeu5041]

@@BosseTesMaths 💡 dans le domaine des congruences je suggère une idée de vidéo : combien y a t'il, au plus et au moins, de vendredi 13 dans une année ? et si l'année est bissextile?

[@BosseTesMaths]

@@erictrefeu5041 c’est super bien déjà d’avoir 3 chiffres !

[@fabrice9252]

Observons le chiffre des unités des premières puissances de 2023 : 2023² --> 9 2023³ --> 9 x 3 --> 7 2023⁴ --> 7 x 3 --> 1 C'est gagné car du coup 2023⁴ ≡ 1 (10) [ 2023⁴ est congru à 1 modulo 10] Dit autrement, le reste de sa division par 10 est 1. Or, 2023²⁰²⁴ = (2023⁴)⁵⁰⁶ donc (2023⁴)⁵⁰⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ (10) ≡ 1 (10) [si a ≡ b (10) alors a^n ≡ b^n (10)] 2023²⁰²⁴ est donc congru à 1 modulo 10. Cela signifie que le reste de sa division par 10 est 1 Le chiffre des unités de 2023²⁰²⁴ est donc 1. 🌹

[@BosseTesMaths]

Tout-à-fait !

[@Admira_ein]

On fait la congruance en quel classe ?

[@BosseTesMaths]

En terminale option maths expertes actuellement

[@Admira_ein]

@@BosseTesMaths ça l'air vraiment difficile 😱

[@BosseTesMaths]

@@Admira_ein oui ce n’est pas du tout évident au début mais ça vient en pratiquant (comme tout le reste en fait !), tu es en quelle classe ?

[@Admira_ein]

@@BosseTesMaths 1er et je fais la spé maths

[@BosseTesMaths]

@@Admira_ein ben si tu fais maths expertes tu découvriras le monde merveilleux de l’arithmétique et donc les congruences

[@Prypak]

Bah euh 2023 c'est comme 3 modulo 10, donc c'est le même chiffre à la fin que 3^2024, ensuite on remarque que c'est cyclique 3 9 7 1 3 donc cycle de 4, comme 2024 est 506*4, et que 3⁰=1, ça finit, le chiffre des unités c'est 1

[@Prypak]

Oui pardon c'est 2023 qui est congru à 3 modulo 10, mais globalement ça change pas mon raisonnement

[@Prypak]

Oh je suis pas mal j'ai réussi

[@selcano0575]

On peut faire autrement et cela me paraît même plus simple. Pour 2^1 on a 3x3 donne 9 Pour 2^2 on a 9x3 donne 7 Pour 2^3 on a 7x3 donne 1 Pour 2^4 on a 1x3 = 3 pour 2^5 on a 3x3 donne 9 on est donc revenu comme pour 2^1 Donc pour 2^5=32 on revient comme si on faisait par 2^1 Il suffit donc de savoir combien j'ai de 2^5=32 dans 2024 2024=63x32+8=2016+8 Donc 2023^2016 donne 9 comme chiffre des unités.2023^2024=2023^(2016+8)= (2023^2016)x(2023^8) et comme 8=2^3, le chiffre des unités est 1.

[@BosseTesMaths]

Oui ça fonctionne mais comme moi tu fais des congruences (sans le dire)

[@user-larbi-delphi]

Même avec ce résultat je ne saurai deviner le chiffre des unités

[@Alain-Lariotte]

Directement, 2024 est divisible par 4 donc le même chiffre des unités que 2023^4, c'est à dire 1🤔 2023^2024 quelle Euler à calculer, le prof donne ce calcul pour être tranquille pendant un trimestre😂😂😂 Le résultat tient sur 3 pages recto/verso😂😂😂

[@BosseTesMaths]

Bien vu 👍

[@user-larbi-delphi]

😂😂😂😂 je suis nul 😅😅😅😅

[@BosseTesMaths]

Tu peux progresser 👍