Résous ce problème d'Olympiade grâce à cette astuce

Résous ce problème d'Olympiade grâce à cette astuce - BMO 2011

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Күн бұрын

Je partage des problèmes de mathématiques et des sujets provenant de concours connus, d'examens, ainsi que des spectateurs du monde entier. En plus de partager des solutions à ces problèmes, je partage également mes intuitions et mes premières réflexions lorsque j'ai essayé de les résoudre.
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Пікірлер: 10

@WahranRai Ай бұрын

Le choix de la couleur jaune n'est pas judicieux !

@meSaj6luDaeL6pR Ай бұрын

Lourd!

@ItalixPubg Ай бұрын

On peut quand même faire plus propre. On commence par chercher les points fixes de la fonction composée. On s'intéresse donc à l'équation f(f(x))-x=0 On écrit que pour x quelconque f(f(x))-x=x²-2x+1 et donc que f(f(x))-x=0 (x-1)²=0 et on en déduit que f(f(x))=x x=1 (1) On écrit ensuite f(f(f(1))) de deux manières. D'abord, (1) => f(f(f(1)))=f(1) Ensuite, l'énoncé dit que f(f(f(1)))=f(1)²-f(1)+1. On a donc l'égalité f(1)=f(1)²-f(1)+1 soit f(1)²-2f(1)+1=0 soit f(1)=1 (2) On écrit maintenant f(f(f(0))) de deux manières. D'abord, vu que f(f(0))=1, f(f(f(0)))=f(1)=1 Ensuite, on applique la formule de l'énoncé à f(0) pour obtenir : f(f(f(0)))=f(0)²-f(0)+1 On en déduit donc que f(0)²-f(0)=0 soit f(0)=0 ou f(0)=1 On peut ensuite voir que f(0) ne peut pas être nul de deux manières : d'une part parce que si 0 est point fixe de f, alors il est aussi point fixe de la composée et on a vu que 1 était le seul point fixe, et d'autre part parce qu'on sait que f(f(0))=1. Il ne reste plus qu'une seule valeur possible : f(0)=1 Par contre, grosse critique sur l'exercice : on n'a aucune idée de l'expression de f et on ne sait même pas si une telle fonction existe réellement. Tout ce qu'on obtient ici c'est une condition NECESSAIRE sur la valeur de f(0). Et je ne vois guère de méthode qui permette de trouver l'expression de f pour x quelconque. L'énoncé aurait donc dû être rédigé autrement : "On suppose qu'il existe une fonction f telle que (...) Déterminer la seule valeur possible pour f(0)"

@problemesimplifie Ай бұрын

Même s'il n'existe pas de fonction vérifiant cette condition, cela n'a pas d'importance pour l'exercice

@ItalixPubg Ай бұрын

@@problemesimplifie Ben si quand même. On te demande un objet mathématique qui est f(0), qui se réfère donc à une fonction f dont on ne sait pas si elle est définie. C'est un peu du même ordre que quand un élève écrit une limite d'une fonction avant d'avoir démontré qu'il y en avait bien une au point considéré. Si j'avais posé l'exercice je l'aurais présenté comme ça : Soit f une fonction définie sur un ensemble D de R incluant 0 et 1, et ayant pour propriété : pour tout x appartenant à D, f(f(x))=x²-x+1. Déterminer la valeur de f(0).

@alivecodes2583 Ай бұрын

La couleur jaune n'est pas bien visible. La couleur rouge serait mieux à sa place. Bon travail

@problemesimplifie Ай бұрын

@@alivecodes2583 j’ai malheureusement remarqué après avoir publié la vidéo…

@alivecodes2583 Ай бұрын

@@problemesimplifieProchainement alors @problemesimplifie

@fabricesolaris4294 Ай бұрын

De f(f(f(1))) = f²(1) - f(1) + 1 = f(1) , on tire que f(1) = 1. Et comme f(f(0)) = f(f(1)) = 1 => [f(f(f(0)) = f²(0) - f(0) + 1 = f(1) = 1] => f(0)(f(0) - 1) = 0 d'où f(0) = 0 ou 1, et comme f(f(0)) =1, f(0) = 1.