【二項係数の攻略】合否を分けた1行入試問題（慶應義塾大）

[@mattchan10]

大学受験からは少し脱線しますが、二項分布の確率分布からの期待値分散の求め方とほぼ同様ですね

[@illumina6057]

k nCkなら階乗で表すだけでnを外に出せるので、k(kｰ1)+2kにすれば普通に計算できる

[@kjn2142]

(n+1)C(k+1)=nCk+nC(k+1) から求めるのもありだね 受験生はコンビネーションの式変形有名なもの2つを覚えておこうね(上のやつがひとつ)

[@mathseeker2718]

解けました。 k(k+1)をkとk-1で表すことができるかどうか、あとは二項係数に慣れているかどうかの問題ですね！

[@medjed_kk]

微分とかより真っ先に↓を思いついた (nCk)(kCr)=(nCr)(n-rCk-r)を用いると k(k+1)nCk =k(k-1)nCk+2k(nCk) =2(nCk)(kC2)+2(kC1)(nCk) =2(nC2)(n-2Ck-2) +2(nC1)(n-1Ck-1) =n(n-1)(n-2Ck-2)+2n(n-1Ck-1) よって Σ[k=0,n]k(k+1)nCk =0×1×nC0+1×2×nC1+Σ[k=2,n]{n(n-1)(n-2Ck-2)+2n(n-1Ck-1)} =2n+n(n-1)2^(n-2)+2n×2^(n-1)-2n ={n(n-1)+4n}2^(n-2) =n(n+3)2^(n-2)

[@ojamesi8683]

別解を思いついたので共有します（微分を考えないやり方です）。以下、nCk をBinom(n,k)と表記します。 まず二項係数を階乗の積で表すことにより Σ[k=0,n] k Binom(n,k) = Σ[k=0,n] k n!/{ k! (n-k)!} = Σ[k=1,n] n (n-1)!/{ (k-1)! (n-k)!} = n Σ[k=1,n] Binom(n-1,k-1) = n 2^(n-1) となります。同様な考えはΣ[k=0,n] k(k-1) Binom(n,k) の計算にも応用でき、この値は n(n-1) 2^(n-2) となります。したがって 与式 = Σ[k=0,n] {k(k-1)+2k} Binom(n,k) = Σ[k=0,n] k(k-1)Binom(n,k) + 2 Σ[k=0,n] k Binom(n,k) = n 2^(n-1) + 2 n(n-1) 2^(n-2) = 2^(n-2) n (n+3) と求めることができます。ちなみにMisson問題についても「1/(k+1) を使って(nの式)×二項係数の形にする」意識で変形するとうまく行きます。

[@なそ-m1x]

こっちが定石だと思ってたから微分の解法知らなかった😢

[@山本-h2f]

数式をTeXで作成するとサムネがより美しく見えますよ！

[@00_second]

xかけて2回微分してx=1代入でできませんかね？2項係数とk(k+1)を見たらΣnCk x^(k+1) とその2階微分Σk(k+1) nCk x^(k-1) が思いつくので。

[@くま-j2p5b]

宿題のやつは積分するのかな？

[@愛してるゴンザレス]

ベルヌーイ数みたいやな

[@____._.imomgmg]

ｍｅｍｏ nが出てきたら検算する まずは具体的に考える 使おうが使わまいがしっかり考えてあげて、実験や検算に使える 困ったら原理原則に基づく(公式をしっかり書く) 代入なのか微分なのか それ以外か