Разложите на множители

[@andreiantonov7303]

(2x^2 + i)(2x^2 - i)

[@Daniil_Chu]

А потом надо эти 2 множителя разложить на 4, и выбрать из них пары которые при перемножении дадут 2 вещественных многочлена,

[@househall]

Приведём к a²+b². a² - это, очевидно, 1 и a=1, тогда b² - это -4x⁴, тогда b=2ix². Получаем 4x⁴+1=(1+2ix²)(1-2ix²)=(2x²+i)(2x²-i)

[@ilyashick3178]

a^2 = x^2 and b^2 = - (-1)(1^2) >>>>> a^2 - b^2 >>>>> (a - b)(a+b) >>>> (2x^2 -1)(2x^2 + 1) if it needs to finds how many roots which is 4 >>>> (2x^2 -1)(2x^2 +1) =0 >>> 2x^2 -1 = 0 >>> 2x^2=1 and x=(+ -) (1/2)^1/2 next 2x^2+1=0 >>> x = (+ -) i (1/2)^1/2

[@YuriiKostychov]

Доброго здоровья! Почему то я понимаю фразу "разложить на множители" как представить выражение (полином P(x)) как произведение P(x)=(x-x0)*(x-x1)*..*(x-xn), где xi - iый корень уравнения P(x)=0. Тут легко убедиться, заменой t=x^2, что t=+-0.5*i, поскольку sqrt(i)=(1+i)/sqrt(2), выходит x1=0.5(1+i); x2=-0.5(1+i);x3=0.5(i-1);x4=0.5(1-i). P(x)=[x-0.5(1+i)]*[x+0.5(1+i)]*[x-0.5(i-1)]*[x+0.5(i-1)]. Эта штука, очевидно, разность квадратов и может быть свернута [x^2-0.25(1+i)^2]*[x^2-0.25*(i-1)^2] ...тут чего то я вертел, вертел...не соображу как прийти к 2x^2+2x+1.... но план такой. Спасибо! :)

[@Игорь-е1я]

😊

[@АнатолийАндреич-к7ш]

а можно ещё раз обьяснить, почему не может быть линейных корней?

[@Fasalytch]

Если бы они были, было бы пересечение (или касание) с осью абсцисс, а функция y = x^4 + 1 вся лежит выше этой оси

[@АнатолийАндреич-к7ш]

@@Fasalytch понял,спасибо!

[@nickolaymerkin248]

Э, подождите-подождите, у полинома 4 степени - 4 корня. Надо продолжить. 4x4 + 1 = 0 x4 = -1/4 Корни - крестиком на комплексной плоскости, x = (±1±i)/2 4x4 + 1 = (2x-1-i)(2x-1+i)(2x+1-i)(2x+1+i)/4 Вот теперь идеально.

[@dee3mon]

Скобки с комплексно-сопряженными корнями можно попарно раскрыть и получить полиномы второй степени с действительными множителями

[@DmitriiSafonov]

(2x^2+i)(2x^2-i) и задача решена!

[@DenisD-d8f]

Вы правы, т.к. уравнение 4-го порядка, то и корней должно быть как минимум 4

[@Mikhail_Zaitsev]

непонятно насчёт множителей, обращающих в ноль. Если выражение не может обнулиться, при чём тут квадратичность множителей? (x^2) - множитель квадратичный, но в ноль обратит не хуже чем (x). Дело разве не в слагаемом в составе множителя?

[@karelalex]

Всё очень просто. Множителя линейного, то есть где старшая степень икса первая, быть не может, поскольку для такого множителя всегда найдётся икс, обнуляющий его. Значит в разложении могут участвовать только множители со старшей степенью не ниже двух. Очевидно, что тогда это должны быть два многочлена второй степени. Тот факт, что в принципе существуют многочлены второй степени, имеющие действительные корни, вышеуказанному рассуждению не противоречит. Просто если искомое разложение существует, то оно автоматически даст два многочлена второй степени без действительных корней.

[@Mikhail_Zaitsev]

@@karelalex (0*x+1) - не множитель первой степени? Или есть запрет на нулевой коэффициент?

[@karelalex]

@@Mikhail_Zaitsev нет, конечно, это множитель нулевой степени, то есть просто константа.

[@Mikhail_Zaitsev]

@@karelalex согласен, хотя формально оно тянет на любую степень! Вообще для лучшего понимания не хватает графического представления формул. В смысле, что нет натренированности представлять его из каждой формулы, поскольку школа не считала это нужным.

[@DenisD-d8f]

единица не является делителем, поэтому её и не применяют при разложении (см. некромантия , том первый). По сути же, нам надо предстасить выражение в виде произведения уже далее неупрощаемый многочлен на уже далее неупрощаемый многочлен, а (х*0+1) можно далее упростить.

[@АндрейШемигон-э1э]

А чё за линейные множители ?

[@Anti_During]

Я думаю, что это Икс в первой плюс число

[@Mikhail_Zaitsev]

@@Anti_During k*x+b

[@andreiantonov7303]

видимо имелся в виду полином первой степени

[@MichailLLevin]

тот случай, когда знание комплексных мешает)

[@natashok4346]

Нету смысла раскладывать на множители, если исходное по записи меньше, чем результат.

[@tufoed]

Ну чтобы решить задачу, поставленную таким образом, контекста явно недостаточно. Как полином над комплексным полем неправильно разложено например.