Решает УМНЫЙ и ЕЩЕ УМНЕЕ!

Из точки H два перпендикулярных отрезка 1 и 2 , и хорда длины 3, перпендикулярно отрезку 2. Найти длину окружности.

[@user-wj5vx7og4h]

Продолжим ВН до пересечения с окружностью. По свойству пересекающихся хорд получаем, что вторая часть хорды тоже равна 2. Следовательно AD диаметр.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@guzellavassimova1750]

Вы ничего не доказали.. Почему это 2?! По св-ву произведения отрезков хорд равны, а хорда не делится пополам...

[@user-wj5vx7og4h]

​@@guzellavassimova17504*1=2*х

[@user-wj5vx7og4h]

​@@guzellavassimova17504*1=2*х

[@user-wj5vx7og4h]

​@@guzellavassimova1750АН*НD=2*x

[@Olga-fv6jy]

К треугольнику ACD применим обратную теорему Пифагора. Сразу получим, что AD - диаметр. 2R=5, R=2,5.

[@AlexeyEvpalov]

Из подобия прямоугольных треугольников ABH и BDH, красный + синий угол 90°, то есть угол B прямой, гипотенуза AD=2R.

[@alexnikola7520]

продлеваем отрезок длиной 2 вниз и получаем прямоуг треуг с катетами 3 и 4. S=(5/2) 2пи

[@femalesworld2]

Если отрезок BH продолжить до окружности, получим прямоугольный треугольник, а его гипотенуза есть диаметр окружности. Один катет 3, второй 2 (BH) + X. X находится из произведения пересекающихся хорд 1*4 =2*X. X =2. Второй катет 2+2=4. Диаметр √3^2+4^2=√25=5. Радиус 5/2=2,5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@ds9633]

Можно на середине НК поставить точку О и найти расстояния до АВСД. Они будут равны, значит О - центр описанной окружности.

[@viktorviktor5820]

Довольно просто. Даже в уме решается. Достраиваем до трапеции и вычисляем радиус описанной около неё окружности. Решил как Никита.

[@user-yq4jh7sw1y]

Только подобия и Пифагор. Проводим серединные перпендикуляры КО из АВ и МО из ВС. Продлим СВ и ОК до пересечения в точке N. Треугольники ABH,KNB,ONM подобны. NB=5/2, NM=4, MO=2. OB=R=sqrt((3/2)^2+4)=5/2; C=2ℼ5/2=5ℼ.

[@FastStyx]

Назначаем начало координат в точку B. Для A,B,C - записываем уравнения окружности с центром (x,y) и радиусом r: x^2+y^2=r^2 (x-3)^2+y^2=r^2 (x+1)^2+(y+2)^2=r^2 Система достаточно просто решается (раскрываем скобки во втором и третьем, и в эти уравнения подставляем первое, все квадраты уходят. Получаем координаты центра (1.5;-2) Зная координаты центра и точки - находим радиус, и длину окружности. В принципе, можно было сразу координату x найти, как среднее между абсциссами двух точек хорды. BC.

[@yuriivanov4317]

Треугольник АВС углом С опирается на дугу АВ, значит угол С в 2 раза меньше угла О треугольника АВО опирающегося на ту же дугу. Стороны АО и ВО равны радиусу. Составляем два выражения через теорему косинусов и заменяем косинус двойного угла на 2cos^2a-1. Наверно самый сложный способ...

[@alexl6671]

Тут все проще. ABC. Высота 2, основание 3. S = 3. AB = sqrt(5), AC = 2sqrt(5) R = 2*5*3/12 = 5/2

[@borisboris6975]

Решается в уме

[@EWGENE2000]

Если в треугольнике произведения проекций двух сторон на третью равняется квадрату высоты, проведённой к ней, то такой треугольник является прямоугольным, а эта сторона - гипотенузой

[@galinaberlinova3896]

Методом координат. Длины AB, BC,AC. Формула Герона. Радиус через площадь.

[@santashmyakus8516]

Координатами. 3 точки на окружности определяют её полностью: a^2+b^2=r^2 (a-1)^2+(b-2)^2=r^2 (a-4)^2+(b-2)^2=r^2 Из 3-ого вычитаем 2-ое: а=2,5. Расписываем 2-ое с учётом 1-ого:b=0 Из первого: r=2,5. Ответ: L=5pi.

[@user-yq4jh7sw1y]

А Петя с 1 курса и аналитической геометрии считает, что уравнения серединных перпендикуляров к АВ и ВС y=2x-5/2 и y=3/2, координаты точки пересечения и окружности (2;3/2) и расстояние до центра координат равно 5/2 радиусу окружности.

[@santashmyakus8516]

Срединные перпендикуляры к хордам, так-то, в центре окружности пересекаются. (спойлер: Её центр лежит на AD). Нашли центр. Дальше Расстояние от него до А померили. Всё. У вас система отсчёта как-то извратно выбрана, что центр окружности в ней координаты(2;3/2) имеет.

[@user-yq4jh7sw1y]

@@santashmyakus8516 3 на ординате, 2 на абсциссе или наоборот, центр будет другой, результат тот же. Вот померить, это точно извратно.

[@user-jk9ne2nd9r]

Продолжим отрезок 2 до пересечения с окружностью длина которого будет 4 . Следовательно ,продолженный отрезок1 пройдет через центр окружности (диаметр) . Длина диаметра равняется 5 ( 1+3+1) ,а радиус 2,5 Длина окружности 5 п.

[@alexandershyfrin1195]

4 нужно доказать

[@andregvf4434]

Это при условии, что отрезок 2 равен продолженной части.

[@user-mn8io5xc2w]

теорема синусов в помощь, создаем треугольник и вперед

[@user-ek4cr3iu3r]

Я вот только не понимаю зачем здесь ещё приписывать двойку, если известно, что С=πD.

[@pojuellavid]

Продолжаем АН и ВН до окружности, опускаем СК на АД. Откуда одна хорда 1+4 и произведение отрезков 1*4=4, значит произведение отрезков другой хорды =4 и ее отрезки равны 2 и 2. В т В сходятся две хорды (катеты) = 3 и 4, значит гипотенуза (диаметр) =5 Ответ:5*π ,_______ .... значит, виртуальные мальчики не стали решать через свойство пересекающихся хорд ...

[@user-dp2qp6pt2t]

А я решал именно так, следует ли из этого то, что я не виртуальный? (Кстати и для решения ДЗ именно этот способ подходит, как нельзя лучше, там ответ Pi*5*sqrt(2).)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Удивительно!

[@user-bg5qn6ke7o]

Не проще было найти AC по теореме косинусов, предварительно найдя синус угла ABH и косинус угла ABC (по формуле приведения). Далее по теореме синусов - диаметр окружности как отношение AC к синусу угла ABC. (так как главная трудность в этой задаче - найти радиус (или диаметр) окружности).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Можно, но это 9 кл, а мы решали восьмым. Проще расссмотреть тр-к ACD, который вписан в окружность и применить a/sina=2R, где a=AC

[@alexnikola7520]

не, так просто не выйдет(. надо теор хорд впрягать

[@lanazakharova7699]

Можем из треугольника АСД сразу понять, что он прямоугольный, например, по теореме косинусов. А прямой угол опирается на диаметр

[@GeometriaValeriyKazakov]

Замечательно!

[@alexsokolov8009]

Соединяем АВ и AC, АС пусть пересекает BH в точке K. Треугольники AHK и KBC подобны, значит, стороны относятся как 1:3, откуда из BH = 2 находим KH = 1/2, BK = 3/2. По теореме Пифагора находим AB = sqrt(5), AC = sqrt(5)/2 + 3sqrt(5)/2 = 2sqrt(5). S(ABC) = 1/2*BH*BC = 3, значит, из R = AB*BC*AC/4S(ABC) = 5/2 => длина окружности равна 2piR = 5pi

[@GeometriaValeriyKazakov]

Потрясающе!

[@user-nd1pm9sn5h]

ДЗ. Длина окружности равна Sqrt(50) ×pi

[@alexsokolov8009]

ДЗ: 5sqrt(2)pi. В общем случае, если AH = a, BH = b, BC = c длина окружности равна pi*sqrt((a²+b²)((a+c)²+b²))/b

[@GeometriaValeriyKazakov]

Великолепно!

[@Globyls]

Чеее, я за минут решил, хотя я не бум бум в геоме. Тут можно дочертить BH до пересечения окружности в точке P, тогда BH=HP (можно провести радиусы, тогда этот треугольник р/б, где высота является медиана), а значит можно достроить квадрат, который вписан в окружности, где диагональ является диаметром т.к опирается на угол 90 и все, по теореме Пифагора находим диаметр и считаем ответ

[@P.S.Q.88]

Если ВН равен НР (а они равны по свойствам пересекающихся хорд), то квадрат рисовать уже не надо. Равенство ВН=НР уже указывает на то, что АН (а также АД) лежат на луче, проходящем через диаметр окружности, длину которого несложно сосчитать. А автор привёл не свои решения задачи, а решения, предложенные учениками.

[@andregvf4434]

А в условии разве сказано что отрезок 1лежит на радиусе?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Нет, не сказано. Мы это не используем в своем решении. Этот факт получается по ходу решения при данных числовых значених.

[@adept7474]

Тупо в лоб: АВ = √5, АС = 2√5. S вписанного АВС = 3 (Герон). R = abc/4S = 2,5. Наверное, есть что - то попроще.

[@Alexander--]

Есть проще. S вписанного можно посчитать не по Герону, а как полупроизведение основания на высоту: S = (1/2)•3•2 = 3.

[@adept7474]

@@Alexander-- Конечно, можно. Я написал навскидку, на коленке, без доп. построения.

[@Alexander--]

@@adept7474 да, и это тоже первое, что мне пришло в голову...

[@user-jo5lh5oj6o]

Нечеткая задача Где в условии сказано, чтр отрезок 1 перпендикулярен к окружности?

[@user-mf8fm9dj5m]

А никто и не говорил, что отрезок 1 перпендикулярен к окружности.

[@user-jr6ue7rk9p]

Когда 5= диаметру, задача решается в целых числах, (кроме числа пи)

[@-wx-78-]

Получается, высота разбивает треугольник на два подобных ⇔ он прямоугольный? Надо подумать если чевиана.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо! Решайте ледующую!

[@-wx-78-]

@@GeometriaValeriyKazakov Так я и решаю, просто канал подрос и приходящие мне в голову идеи обычно где-то в комментариях уже есть, не поспеваю поднять руку. 😉

[@user-hn1eu7gh1j]

Решал вторым способом

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@ridex9611]

ДЗ 5√2пи

[@user-gf5rd8zt4b]

Куда ты полез? Показать какой ты вумный? Нашел диаметр , всё, задача, считай, решена

[@P.S.Q.88]

У вас с головой всё хорошо? К кому ваш вопрос? К автору канала? Так он и не предлагал своего решения. Он нам пересказал решения, предложенные школьниками. А если ваши претензии к школьникам, то кто вы такой, чтобы делать замечания посторонним для вас детям? К тому же в такой беспардонной форме? Надеюсь, вы не учитель, в противном случае представить ваши уроки страшно.