Самая КРАСИВАЯ задача с параметром на канале | симметрия графика кубического многочлена

Чтобы попасть на интенсив, пиши ЖЕСТЬ мне в лс: t.me/iBoolat93
Тг-канал о подготовке к ЕГЭ по профилю на 90+: t.me/ege_no_pain
Курс "44 задачи с параметром": stepik.org/a/184972
Курс "Основы Desmos" c 10%-ной скидкой: stepik.org/a/187149/pay?promo...
БЕСПЛАТНЫЙ курс по тригонометрии(с нуля до задачи 13): stepik.org/78569
iboolat.ru - сайт преподавателя
Подписывайся и готовься к ЕГЭ Без Боли!

[@elenakhazhinskaya3330]

Теорема Виета для кубического уравнения позволяет быстро придти к результату.

[@egebezboli]

Да, сейчас уже понял, что это мгновенный способ найти средний корень)) Согласен, что такой способ - самый быстрый

[@TankucT_AC]

Мне, кстати, этот способ также пришел в голову, когда я увидел подобное уравнение)

[@closer_to_the_unknown]

Задача скорее на теорему Виета. По свойству арифм. прогрессии 2a2 = a1 + a3, тогда пусть корни имеют вид x1 = x0 - d, x2 = x0 и x3 = x0 + d. Тогда по теореме Виета x1 + x2 + x3 = -b, в нашем случае 3x0 = -6, т.е. x0 = -2. Значит, один из корней обязан быть равным -2. С другой же стороны x1x2 + x2x3 + x1x3 = c, то есть (-2 - d)(-2) + (-2 + d)(-2) + (-2 - d)(-2 + d) = -4, и тогда d = +-4. В таком случае корни -6; -2; 2, а их произведение по теореме Виета равно -d, в нашем случае -a. Тогда a = -24 Вообще, эта задача чем-то напоминает задачу с ОММО-2020, где надо было найти значение параметра, при котором корни кубического многочлена образуют уже геометрическую прогрессию

[@egebezboli]

Да, спасибо! Постфактум уже понял, что тут так можно)) И даже нужно. Ну вот я сначала подумал о системе, решил, что как-то уж слишком громоздко и полез в графику, увидел, что там есть красивые идеи и сразу сделал разбор))

[@lukoc_yt9948]

Теомера виета для трех корней, x-d, x, x + d, как один из способов аналитики

[@nickkovaliov3525]

Если не теорема Виета, то проще анализировать функцию f(x) = x^3 + 6x^2 - 4x -a будет находиться между локальным минимумом и максимумом этой функции (т.е, где производная равна нулю и вторая имеет соответственные знаки).

[@tubikvjope14]

интересная задача

[@user-vc5nj9zd6i]

(x-+d) t=x-2 - т.е. решения будут одинаковыми.

[@georgiken]

а нельзя ли доказать, что это точка симметрии, просто сказав, что это нечётная функция, которая сдвинута на (-2,16) от (0,0)?

[@looopik]

В комментариях пишут непосредственно о самом решении, но у меня другой вопрос: а как вы сумели так быстро построить график y = x^2(x+6) ?) График кубической функции за пару секунд Можно так где-то научиться?)

[@egebezboli]

Я исходил из того, что график пересекает ось х в точке х=-6 и касается в точке х=0.

[@000Krevedka000]

чтоб так делать, надо получить высшее образование и еще много лет опыта работы)

[@looopik]

@@000Krevedka000 не оспорю! Просто бывают фишки, которым и школьник может научиться, вдруг, это был бы тот случай)

[@looopik]

@@egebezboli спасибо за ответ!

[@egebezboli]

@@000Krevedka000 не надо много лет образования, чтобы научиться понимать, где такая функция пересекает ось х :)

[@user-yt8oo1uw1y]

Такой вопрос, а точка перегиба и симметрия функции как-то взаимосвязаны? Просто впервые такое слышу :_

[@egebezboli]

Нет, в общем случае не взаимосвязаны) для графика кубической функции да

[@user-yt8oo1uw1y]

@@egebezboli спасибо!

[@baobabepta]

Здравствуйте, а можете объяснить почему ищем 2-ую производную?

[@egebezboli]

Чтобы найти точку перегиба) Она и является центром симметрии графика кубического многочлена

[@kamiloid11]

Надо ли доказывать, что решение будет единственное? Или это и так очевидно, потому что график симметричный?

[@skvier3708]

на егэ обязательно надо, я задавал этот вопрос репетитору своему, но, что касается олимпиад, не знаю

[@nak1k550]

Можно по теореме безу разложить на 3 скобочки, раскрыть скоьочки и получить систему уравненией на а, первый член прогрессии и шаг прогрессии

[@egebezboli]

В последний раз, когда я проверял, теорема Безу была об остатке от деления многочлена на двучлен. Соответственно, применяли ее в уравнениях, когда уже знали корень. Ты уверен, что хоршо продумал эту идею? Как тут на 3 скобочки разложить?))

[@egebezboli]

А, понял идею) но все равно вроде бы система, в кторой очень много придется алгебраичить)

[@nak1k550]

@@egebezboli ну я не очень грамотно написал, имелось в виду следствие из теоремы безу о единстве разложения многочлена. Да, счёт действительно неприятный. Довести пока что не смог

[@egebezboli]

@@nak1k550 ну там уже придумали через Виета)) Очень кратко выходит

[@nozhov]

красиво

[@dangenmaster4243]

a=-24,a=120

[@egebezboli]

А 120 как получилось?

[@alexandergogich1525]

Хорошее решение, но не очень понятно доказательства, что эта точка симметрии

[@egebezboli]

Так доказательства не было) я только идею вкинул) Доказательство требует подстановки и преобразований. А мне лень)

[@alexandergogich1525]

@@egebezboli ясно)

[@goyoy7221]

​@@egebezboliлень - двигатель прогресса