Infinity or -1/12? Casimir effect

1+2+3+……=-1/12？有何含义？隐藏在卡西米尔效应中的无穷大

[@王星晨-d9g]

和李永乐老师的区别就是，李永乐老师就像个成熟的老师，讲的时候绝不超纲。这里则像个刨根问底的学生，没完没了的捣线团越捣越多，但是我喜欢啊。

[@CK-fr6ow]

王星晨 我也觉得就是这么回事，李永乐老师是想给你说明白什么，妈咪说就是要跟你理论到底的一样。但我也都喜欢

[@ciri4kgaming7]

王星晨 還有一個區別，媽咪說的版書比較草。

[@aoyamamerucari]

李永乐老师讲的严谨，没有错误。妈咪说错误比较多，解释得也不严谨，主要是收集材料的时候由于基础不够，搜集不全面吧

[@ciri4kgaming7]

@@aoyamamerucari 原來有這樣的差別，我看李老師看得多，最近才看媽咪說。說實在，我就算被矇了也不曉得。

[@jingyuanchen7572]

@@aoyamamerucari毕竟李老师讲的知识都比较简单，而现代物理的很多东西确实很难严谨地表达

[@jedywei]

問你問題的同學會不會和李永樂的小朋友是同一位?

[@dong03]

李永乐？是永乐大帝还是发视频的李永乐呀！

[@user-ZaneHwang]

這是我聽過最好最完整的解說！謝謝您！

[@heedong2012]

这期听的下巴都掉了，原来 -1/12 真有对应的实验。。。还区分了康托尔的集合论和发散级数求和，太精辟了。感觉把以前听过的零散知识都联系了起来。

[@向死而生-s4e]

去看拉馬努金強行求和法就知道了（btw這個拉馬努金是自學數學喔

[@ucswiftz]

還是有它應用的特定條件。

[@鄭睦融-z6z]

@@向死而生-s4e 每當有事情跟黎曼函數聯繫上，事情總是變的神祕...! 我當時看到費曼在量子力學中用到了一種稱為"重整化"的"數學把戲"，強行將許多發散的級數收斂到一個有意義的物理數值，一直隱約的覺得這個重整化的數學操作，也許隱含著一種全新的描述無窮級數的方式....太深奧了!

[@TomSayCheese]

路转粉了～妈咪说这个名字让我推迟了一周才订阅该频道～～妈咪叔口才很好，把枯燥的物理和数学讲得很生动，极大地激发观众的兴趣和求知欲，值得很多物理/数学老师学习～～～

[@yanhxadv888]

科学家真正的厉害之处在于不被自己的知识和认知的框架所束缚。

[@df140]

完全相反

[@dentice83]

過譽了

[@tomlin4179]

@@df140 請問閣下的意思是指科學家厲害之處是被自己的知識和認知的框架所束縛,還是指科學家因為被自己的知識和認知的框架所束縛,所以不厲害 ？

[@lch99310]

每次都很欣賞這種天才的浪漫 嚴謹的思維

[@Jasper-jy9hb]

卡西米尔效应讲得太好了 真是通俗易懂啊！❤❤

[@user-dm5ji6vi1l]

其實無窮級數不管是收斂或是發散的 本來就是無意義的 因為加法本來的設定就是針對有限個數字的運算 因此無窮個數字相加本來就是無意義的 然而由於為了因應人們的需要才會去設計一套概念去定義原本這些無意義的東西 比方說數學家柯西發明了極限(ε-δ语言)這種概念 我們定義1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+...=2 但那只是在利用極限(ε-δ语言)這種概念才有的定義 不然實際上以上這個級數無論加到第幾項永遠不會等於2 並且隨著最後一項的不同 其值也會有所改變 再來我們將能使用這套概念定義出來的無窮級數稱之為收斂級數 然而對於其他不能用這套概念定義出來的發散級數 為何不能再另外開發其他數學概念來定義其值呢? 所以才有了切薩羅求和 拉馬努金求和或阿貝爾求和等等 然而無論是針對收斂級數所使用的柯西的極限定義 還是針對發散級數所使用的切薩羅求和 拉馬努金求和或阿貝爾求和 這些都是額外建立的數學體系 實際上無窮級數本來應該是無意義的

[@aiji5927]

我觉得"本来就是无意义的"不用特别强调在这里, 因为就像节目中的原话, 数学运算的"意义"本来就是人为定义的. 最初只有正整数时, 相同的两个正整数做减法就无意义, 数域扩充加入了0就有意义了; 然后再引入负数比较小的数就可以减比较大的数了, 什么分数小数无理数复数级数都是这么来的. 换句话说, 学特别是代数学的整个发展史, 就是通过对已有规则以外的领域去制定新规, 新规延伸到的领域就有了"意义". 这个发散级数的意义之所以现在没被数学界普遍接受, 个人感觉是因为其和数学的其他领域还没很好的统一起来

[@wweishi]

收敛的至少不会大于2 怎么一样了

[@qwed13579]

《本來應該是無意義》這句話本身就是被人定義的 本來 何為本？ 應該 何說應該？ 出道題你想想看 從地球算起每100光年會有1顆行星每200光年會有4顆行星 宇宙共有幾顆行星 你在答案紙上會寫下無窮級數然後無意義 但事實上宇宙確實無限大 行星也無限多 是不是宇宙是無意義的？ 還有你的人生也一樣？

[@YM-cw8so]

​@@qwed13579 甚麼叫事實上宇宙無限大，你有證明嗎

[@DollartoMDollar]

妈咪叔真的是非常专业的，比起youtube很多民科好多了。。只是订阅上不去。。。可能大家更喜欢娱乐性质的吧。。。。

[@路遥-w5w]

是啊，娱乐新闻好看，好喷。。。。。。。

[@awdxs123654]

太晚發現這個優質頻道了 繼續加油 影片做得非常出色

[@zacelliot8029]

看這頻道不如看李永樂老師的頻道！又快又有實際圖解釋！1+2＋3＋...=-1/12 這問題李老師早在去年8月就搶先播出了！ kzbin.info/www/bejne/imqWhJSvjc2qaNk

[@廁所讀物-g6p]

Kian Lee 我早就发现了

[@廁所讀物-g6p]

Kian Lee 嘻嘻

[@rachhtw]

1729想到拉馬努金，叔你的忠實粉上。

[@magiceam]

數學家跟物理學家思維真的不同～XDDD 之前看李老師頻道說，自然數之合=-1/12是特定條件下成立，不代表數學家就認為自然數之合為-1/12 物理學家則表示：管他的！能用就好。

[@moregirl4585]

两个都减掉了一个无穷

[@gypsyzz]

数学里对于关于无穷大或者无穷小的计算都有很多条件。但是在物理里，不太需要管这些，因为约束的条件基本上都是自然满足的。

[@blackbow0724]

加油加油 一定要繼續做下去!!

[@jyfuxc]

明白个球球，我是来体验 妈咪叔 颜值+智力 双重碾压的感受的。

[@miduck2941]

感谢UP主架构了一座座让普通人逐步接近真理的桥梁，再也不需要呛着水游过去了

[@spacefreedom]

回顾视频，讲的太好了

[@scott2837]

你的1729 我很喜歡 10^3+9^3 或 1^3+12^3 拉馬努金

[@p.s.design4338]

喜欢这种硬核科普！

[@maboroshi0327]

看了很多媽咪說的影片似乎讓我對數學產生了興趣。

[@tomlin4179]

11:52 「相當于」意思是不是指並非指的是真正的真相？而是類似於平均值的概念 ？之前的前提是提到絕對零度也須符合量子力學的原理,但那是實驗結果嗎？亦即在其上的溫度,我們是用什麼工具(抱歉,已忘😅)來偵測量子的運動狀態,但到了絕對溫度的境界,該偵測工具還是沒產生變化,最重要的是還是不影響結果嗎？媽咪叔說,題目中的等號不是一般算術中的等號,相當於取極限值(？)那種等號,但我們知道取極限值時,它一定要寫出lim這個字,否則也只能無限逼近這個極限值而已 ! 所以題目的表示法是否漏寫了什麼呢？但即使已嚴格化表述,但加越大值的無窮多項的正數相加,其結果應該是正的無窮大才對啊 !？而且是否也無法取到無限值？但我想到一句成語,或許可以用來形容這種情形,那就是「物極必反」😅 !?

[@tomlin4179]

請教有什麼著名例子是用複數域來解釋物理現象的 ？

[@tomlin4179]

補充 : 另外找到一部五年前的影片,標題是「真空下的量子漲落-Empty space is not Empty」(林祉均 上傳),其中2: 24有提到真正的真空,我在那裏留言說,真正的真空是否存在卡西米爾效應 ？若網友知道答案,也請不吝賜教 !

[@流何]

你出名了，杨老师

[@胡宸溍-g7w]

1+1=2，1+1=10。這倆個答案都對。 只是兩個1的意思有部分一樣，但定義域不是百分百一樣。一個是10進位的1一個是二進位的1。 科普的盛行讓有些不是很專精的人把定義不一樣的東西講成一團。

[@沈明德-f5i]

你沒標示就是同個進位系統，不然誰會知道？就好像說，說這水果是香蕉也對，說這水果是banana 也對。這不是廢話？本來就對，它們只是不同表示方法。你要同樣10進位系統還能合理解釋才讓人跌破眼鏡，如果他們是不同進位系統，它們都成立是天經地義有啥好大驚小怪？

[@胡宸溍-g7w]

是啊！所以才會把「自然數」跟後面-1/12說成一樣。好像講2=10。

[@mcfly-lz9hm]

0.99999=1是严格意义的相等不是极限，涉及到康托尔的实数定义

[@kennethkan3252]

00:25 幾何問題，用幾何証明方法（點，線，面），規尺作圖解決，並不是用代數,數值決定。 因此三等分角，以圓正方，並不是不能解決，取決於是否接受一個無限小數位後的誤差，等於零。 我可以做到証明。

[@路遥-w5w]

讲得太好了

[@didierlee8672]

我比較好奇的是， 第一，這兩塊板子假設可以極度靠近但不碰觸，是否能夠找到與"普朗克長度"等長的波？ 第二，假設無法找到這樣的波，那麼在極度靠近但無接觸的的情況下，是否中間的壓力，將會成為真正的0？或者說，其能量會成為真正的0能量呢？ 如果有任何朋友能夠回答，感激不盡

[@胡渤-l5o]

首先，你要做到两块板子间距到达普朗克长度是不可能的，因为在这个尺度下，位置测不准，不论是什么材料做的板子，在这样的条件下，间距是没有意义的。对于第二点，假设一个思想实验这样做了，答案还是无穷大，因为普朗克长度是说测不准，比这个长度小的距离没有意义，而不是说这个长度下就没有空间，更不是说空间就像由这样大小的空间块堆砌而成的。实际上，在这样的尺度下，空间更像是各种形态的空间卷曲按概率整合的混合体，因为测不准，所以都可能。

[@Arnoldyt200346]

有深度啊!!

[@jangshuaj7957]

物理上用-1/12，是因为算式里面两个自然级数抵消了吗，如果是抵消的话等于多少都无所谓了

[@HappyLeeHL]

讲得很好，感谢强调了其中的等号不是通常意义上的等号。不过我最关心的是为什么当那个物理实验出现无穷大减无穷大后代入-1/12就能算对，假如不代入一个类似-1/12的值应该也有办法求出准确的最终值吧？

[@zhoudongou]

颠覆我的认知啊，我还是停留在小学三年级的知识

[@shuehjohn]

真空中二片金屬之間的吸力不是萬有引力，那為何也不是凡得瓦爾力呢？

[@葉洪均]

無理的時鐘問題？甚麼是零點時分？ 23:59.99....無限 = 00:00 24 x 60 = 1440 (分) 因此，換算定義： 1439.999....無限(分) = 0 (分) 看似無理，但天天卻得看著時鐘過日子……

[@worldking5059]

除非你找到一個物理量,可以等於這個規律,也就是它必而是整數,而且這個數越大它會趨於0,有這種物理現象?!弦論就在講這種?!但是弦並非一個級數和(即有物體是由全部弦的總合而得的,那是什麼弦?!),而是單個個體的弦數,其數越大其弦長趨於0!!

[@hayama2363]

黑洞

[@hwangchakkui3800]

赵峥老师是北示范的嘛？

[@awakening5967]

在“某种”发散级数求和的定义。这个“某种”究竟是什么？我觉得这需要一个“不按套路出牌”的“小朋友”给大家一个满意的答案。

[@小江-j1i]

可不可以告訴我們你為啥這麼牛逼

[@杨宁-b6p]

这个对于我这个艺术生来说太难了，很多基础的东西都不知道

[@bbn4046]

绝对真空不应该有温度嘛？

[@butabuta564]

卡西米尔效应解的时候，全体自然数之和只要等于任意一个负数就可以消去了。不一定非要等与-1/12

[@xuewu1027]

这有没有可能是分子间作用力呢？

[@無限制者]

數學家一開始就已認定-1/12是錯的，然後才把“無限級數求和”的意義塑造成他們“需要”的樣子，這才是此事的邏輯順序。

[@hsiehjerry2276]

要是你的字跟李永樂老師一樣 我就會每部都看了

[@moregirl4585]

两个金属板互相吸引是不是电荷吸引排斥？

[@ewdlop1]

有 但重點不是那個

[@frankliao059]

我好想問個蠢問題... 如果有兩條鐵軌 一條鐵軌上 有1個人 另條鐵軌上 有 1+2+3+4... +n +(n+1) + ... 看不到盡頭 你現在開著火車 只能決定撞死1個人 還是撞死後面這群人 看來撞死後面這群人比較好 因為他的總數是 -1/12 我還是很懷疑解析延拓啊

[@worl2160]

他無視定義域所求出來的值並不是真的自然數和，所以套用上去不是真的等值，而是內涵其他因子，當在計算時以此帶入的目的是消去。簡單來說無限和間的運算以此帶入可以排除無限之間無法計算的問題，也就是能求得兩個無限間的差，但還是算不出個別值。

[@b2m2022]

虽然没完全听懂，但要点赞

[@RAY83729]

說話步調放慢了，舒服多了，也更能在欣賞視頻時理解主題，並思考原式框架條件，引發更多的思維探討。

[@明灯-g1i]

虽然听不懂感觉很厉害的样子

[@沐謙林]

講授數學的時候每一個步驟都要嚴謹，不能夠東拼西湊，發散的東西不能夠加減乘除來搞，建議版主好好學習一下數學

[@cu35468]

量子物理實驗其實並沒有證明無窮大會等於-1/12。 不論是這個-1/12還是虛數，在物理上都沒有真正對應的東西，應該說這些都只是方便計算而人為定義出來的代號。

[@raymondzhao9557]

有意思

[@snowbaby6232]

真空有万有引力么

[@一尾魚-p7s]

有個疑問,可是在5:37的時候寫的方程式是S(-1)=1-2+3-4+...=-1/12 並非自然數之和吧!?

[@向死而生-s4e]

一尾魚 是啊 首先先把1-2+3-4+5變成1+（-2+3）+（-4+5）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯會變成1+1+1+1+1⋯⋯⋯⋯⋯之後集合成1+（1+1）+（1+1+1）+（1+1+1+1）不就變成1+2+3+4了嗎？

[@MingruiCHENG]

@@向死而生-s4e ？？？我觉得你需要再听听讲

[@向死而生-s4e]

程名锐 求解喔

[@utavinzo9481]

你没看明白，函数ξ(-1)才是自然数之和， 1-2+3-4…=(1/4) 是恒等数列， ξ(-1)=(1/4)/(-3)=(-1/12) 表示：(自然数之和)=(-1/12) 一般数学书写不规范的都会像他这样写得乱七八糟

[@MingruiCHENG]

@@向死而生-s4e 我回复层主的话你看下啊

[@刘大锤-v9y]

神：算什么算，这是我做的题。

[@江曉智]

1729代表什麼？自然哲學的數學原理英文版？

[@fangxu2]

一句话总结，全体自然数之和等于-1/12，这个等号的意义不同于通常意义上的相等，这个等号的意义很复杂很抽象，而这个视频偏偏没交代

[@tiejunma7971]

似懂非懂呀，，，，但赞是不能少的。我一直很纳闷，给妈咪说点“不喜欢”的是些什么人呢？

[@userBBB]

其實我不明白為什麼頻道名字是媽咪說MommyTalk

[@jeffhuang2518]

BBB 你看他的胸就明白了

[@youknowwho8925]

人們都在說這個

[@thorchen3605]

看他絮絮叨叨的样子，估计被人取了绰号叫做“Mommy”。

[@userBBB]

@@thorchen3605 hahahaha

[@Mingming_Studio]

嗯，這是不是個 世界是台超強電腦計算創造出了的 的證據之一呢？ (重點偏

[@CuteLittleMiku]

前半段数学看不懂后半段物理看懂了💦

[@wandademolition]

我在想妈咪说的智商是多少？大概140？

[@chenwilliam5176]

無窮大不是數， 無窮大+1 ?

[@lawyal]

还赶时髦穿个1729。

[@崔海啸]

哈哈

[@merleailvar4703]

虛數，432頻率，12進制，-1/12，總之感覺牛逼。

[@turbomeavel]

为什么后来似乎说的是1-2+3-4……=-1/12 但题目说的是1加2加3加4……？

[@老賈先生]

1-2+3-4…………=1/4

[@poggyh1148]

你没看完吧

[@turbomeavel]

Poggy H 唉，你说我没看完，实际上是看完了，但没看懂吧！例如另一篇的黄金比例那期，最后还是是在纸上演算了一遍才懂了。光看视频哪会懂。

[@pillowl6898]

太深奥了也😂听不太明白了

[@reaixuexideqichebozhu]

牛逼

[@tomhuang88888]

恭喜你的视频有广告了

[@shuyangzhang7661]

看不懂

[@easonchen9365]

我是真的看不懂@@" 1+2+3+4+......這樣我怎麼算都是無限大啊@@"

[@王泰山-r6z]

14:43

[@jimmyyep1776]

听懂了，但又没完全懂😔

[@ewdlop1]

重整化這麼聽起來不科學阿!

[@gjlmotea]

越看越覺得玄

[@高靖智-g5z]

暗示了強子理論 一堆無限大 兩個相減 就是真空了XD

[@linkenhuang]

正數+正數=負數？根本是錯的

[@xili4334]

点赞

[@gaosan]

听得脑洞大开！

[@chenwilliam5176]

「所有自然的和」是沒有意義的命題 ， 無需討論了 😅

[@tingchou1554]

文科生看不懂 希望有天能看懂

[@zhenyaogu6938]

是bo 不是be 😂😂😂

[@BH19940]

歐拉歐拉歐拉歐拉歐拉歐拉歐拉

[@foochinyee3017]

我膨胀了，我竟然把我看不懂的视频给看完了

[@marco68016]

我是智商下降了？我记得我原来看得懂啊哈哈哈哈

[@贫下中农-r7u]

一脸懵逼的进来，又一脸懵逼的出去。

[@谷哥-s4e]

沙发🛋️

[@italohuang5496]

还真实神奇呢，自然数之和可以“= -1/12”并且在物理实验用取得有效的运用。越是去了解越是觉得我们所存在的宇宙是建立在一个精致的模型之上。

[@frankwan4121]

泡利，那个脾气臭闻名学界的学霸，情商是负值

[@whisperwind9905]

一脸懵逼进来, 一脸懵逼出去.

[@louiswu6300]

其实了解到数学和物理领域，我反而觉得中国人并不聪明，或者说缺少天才。尤其是数学，只是个人就可以贡献的领域。中国的成就和西方白人没法比。这具体怎么回事。很值得重视。所以我一直很反对全球说中国人数学好。算术好，口算好，和高等数学好是两回事。中国在后者几乎就是白纸一张。

[@jieyong3899]

杨振宁老先生表示不服

[@xinyucao6906]

章口就莱，杨振宁的贡献了解下，丘成桐也不差了

[@louiswu6300]

@@xinyucao6906 按照人口比例。这时候你应该举出50个例子。

[@louiswu6300]

@@jieyong3899 理论物理还需要实验室条件。中国差一点可以理解。但是数学完全就是个人行为。为什么这几百年。或者说这三百年。中国完全没有可以和欧拉等并列的数学家。

[@lingxuzhao9386]

Louis Wu 这和文化有很大关系。你既然这么了解西方自然科学史 应该知道西方这方面是如何发展起来的 很多科普内容视频也多多少少会讲到这。这么简单道理想不明白嘛。再对比古代中国思想方面是如何发展的 到最后儒术一家独大 有谁会研究这些纯理论。

[@SolarEclipse-l6y]

这个显然是不对的，计算过程有谬误。

[@aochen1792]

头歪的 好难受

[@weixiaoer3723]

妈咪叔的胸是不是偏大了点😂

[@梅伟雄]

不知道为什么，同样的内容，您讲得没李永乐老师通俗易懂，老实说，您说的视频我是一个都没能看懂，因为无缘无故跑出来的理论和数字跟主题表面上一点关联都没有，也没有解释为啥需要用到那些理论或者公式之类的，不知道看视频的人是否真的有人能看得懂，但是看不懂的评论倒是很多....

[@佩服真]

既然李永乐讲的视频您都听明白了，那您对全体自然数之和为-1/12以及解析延拓之类的问题有了很深的了解了吧，为什么还会有不明白的地方呢？

[@梅伟雄]

我说的不是这个视频，而是其他很多的视频都一样，突然间抛出一大堆理论，完全看不出关联在哪里，也没详细解释那个理论和公式跟主题有啥关联，比如那个华容道的视频，无缘无故跑去说三角形的旋转和翻转，完全没看明白到底是怎么回事，还有那个农民难倒清华大学生什么的视频也一样，那些奇数点偶数点什么的完全没去解释怎么算是奇数点，怎么算是偶数点(幸好看过李永乐的视频，不然还真的完全不知道是怎么回事)...而且评论里面好多人都说看不明白，所以个人觉得视频的讲解方式存在一定的缺陷...

[@飞哥大-m3o]

李永乐的视频做的不错，不过走的是大众路线。妈咪说的视频每个我都看好几遍。你举的这两个例子都是很简单的概念，如果你看不明白，又不愿动脑经思考，纯粹指望靠听能掌握这些知识，那么妈咪说的大多数视频都不适合你。即使是李永乐老师的视频，如果想学到点东西，也不是看一遍就能掌握的，浮于表面的话除了学到几个名词，还能得到什么？

[@ddchen337]

因为他很少写公式…

[@梅伟雄]

其实也不是公式问题，而是内容跨度太大，头尾不呼应，妈咪说的是假如给你一个一元一次方程，然后直接一步直接给你个答案，至于答案是怎么得出得，过程省略掉了，而李永乐老师的方式是给你一个一元一次方程，然后把每步计算过程都做给你看，讲解你听，直到得出答案，这就是我觉得妈咪说的视频最大的败笔，因为评论里实在是太多人说看不懂了，妈咪说的主题都是我喜欢的类型，奈何如果没看过李永乐老师的相同主题的话，绝对看不懂妈咪说的视频....

[@charlieyu3277]

还想听妈咪叔说一说我国古代的数学家

[@BBP0227]

夏嗎？

[@sheldonwu1285]

很遗憾，讲到高等数学，确实没有中国数学家的什么事。怪就怪当年闭关锁国吧。

[@ouoh1]

Sheldon Wu 怪不到闭关锁国，整个中国历史对数学都没多少贡献，最大的贡献还是在近现代。

[@heedong2012]

可能太讲应用了吧。而数学居然是先天的。只能感叹，古希腊人受到了神明的眷顾，这一般人谁能想到数学是先天的。

[@sheldonwu1285]

@@heedong2012 算术和高等数学之间还是有一道鸿沟的。善于发明各种数学符号、不拘泥于文字，而且摆脱生活实用目的，才有可能上升到比较高级的代数乃至高等数学。

[@干则成]

补充一点：妈咪叔说的 物理学家发现不管用什么方法消掉无穷大，得到结果都一样，这是有数学严格保证的。就是解析函数的唯一性定理。

[@沈明德-f5i]

只是概念沒有具体的東西要怎麼用正常計算去消滅？原則上不能拿概念性物件來作計算。無窮大用0去乘 可以讓它變0(無窮多的0還是0)。只有用概念能消滅掉另一個概念。你定義負無窮大，負無窮大＋正無窮大＝0。如果 無窮大＝無窮大，那無窮大-無窮大＝0。你定義出來的東西再用另一個定義去消滅它這有什麼困難？

[@彭立发-i6z]

没看懂

[@robertchen542]

每部都看不懂，但卻一部接一部，還看得津津有味

[@cheungshusing]

我也是，哈哈

[@zacelliot8029]

看李永樂老師的頻道，會比這台頻道快上好幾個月，而且還有圖解釋更清晰易懂！ kzbin.info/www/bejne/imqWhJSvjc2qaNk 去年8月李老師就把這集影片給播過了！

[@oikingwong2767]

重点是看不懂，但觉得自己离数学家又进一步

[@Weii23]

@@zacelliot8029 在別人的頻道推銷其他人的頻道很不尊重哦,假如你今天發了一部影片別人在留言區推銷其他yt說比你好看,你感受如何？有點素質好嗎

[@whisperwind9905]

我也是喔,

[@kwongfatchan955]

全體自然數之和是負數，是由於推導時S取了定義以外的值。但卻在物理中有其合理性。有沒有可能，有其它發散的級數也有這種現象，而且由此可推導出一些驚世定理，解決現世難題，如核聚變，超導體等。

[@NicolasYoung-o7k]

最多也就是推导出弦理论的高维公式