선형변환과 행렬표현(Linear Transformations and Matrix Representation)

[@busbug5457]

선형대수 독학하다 우연히 보았는데 이해에 많은 도움이 됐습니다. 감사합니다

[@karojae]

진짜 개잘가르켜주시네요 감사합니다

[@물꼬기-l3l]

ㅠㅜ 선생님 정말 설명 잘해주셨는데 영어로 해서 하나도ㅠㅜ 모르겠습니다. 좌표공간, 전단사, 행렬표현 이렇게 용어들을 한글로 배워서 어떻게 따라가야 될지 모르겠습니다.

[@마도로스J-f4o]

며칠 사이에 프사가 바뀌었네요. 항상 감사합니다! ㅋㅋ

[@jennykim1584]

와... 이 채널을 이제 알다니ㅠㅠ 설명도 너무 잘해주시고 영상도 정성가득하네요!! 만들어주셔서 감사합니다 진짜 많이 도움되었어요!!

[@이재현-r4y]

지린다 고맙슴다

[@nameshutupnick]

학부생 입장에서는 서울대 교수님들 보다 훨씬 잘 가르쳐주십니다.. 사랑합니다

[@MyPaseMyLife]

좋은 영상 감사합니다. 그런데 13:01에서 어차피 벡터공간 v나 R^n이나 서로 isormorphic인데 왜 굳이 저렇게 표현하는건가요?

[@프린키피아-d6i]

Coordinate vector의 표현을 말씀 하시는건가요?

[@MyPaseMyLife]

@@프린키피아-d6i 네네 굳이 coordinate vector로 사용하지 않고 V 벡터공간에서의 벡터들을 그대로 사용해도 되지 않나 싶어서요..! 저가 선알못이라 죄송합니다 ㅜㅜ

[@프린키피아-d6i]

@@MyPaseMyLife 일단 coordinate vector를 사용하는 이유는 임의의 선형 변환을 행렬로 이해하기 위해서 입니다. 그러기 위해서는 벡터 또한 열벡터로 이해를 해야 하는데 그 열벡터가 바로 coordinate vector입니다. 만약에 행렬을 이용할 것이 아니라면 굳이 coordinate vector도 이용할 필요가 없습니다. 그냥 벡터공간 V의 벡터를 주어진 선형 변환 T로 계산하면 됩니다. x의 coordinate vector의 표기를 똑같이 x가 아닌 [x]alpha식으로 표기하는 이유를 묻는 것이라면 일단 두 개는 엄연히 서로 다른 벡터이기 때문입니다. 벡터 공간 V의 벡터 x의 coordinate vector를 똑같이 x로 표기하면 이게 V의 벡터 x인지 Rn의 열벡터인지 구분이 안됩니다. 따라서 [x]alpha (alpha는 V의 basis) 식으로 구분해서 표기하는 것입니다. 또한 coordinate vector는 basis에 의존하므로 저런식으로 basis도 표기해주는 것이구요. 함수 관계로 말하면 natural isomorphism에 의한 x의 image가 x의 coordinate vector입니다. isomorphic이 말하는 수학적 구조가 같다는 의미는 두 벡터공간이 일대일 대응 관계라는 의미이지 두 벡터 공간이 수학적인 등호관계라는 의미는 아닙니다. 예를 들어 함수와 열벡터는 엄연히 다릅니다. 그렇기 때문에 함수와 열벡터는 등호로 놓을 수 없고 위에서 언급했듯이 isomorphism에 의한 함수 관계로 연관지어야 합니다.

[@MyPaseMyLife]

@@프린키피아-d6i 오 그렇군요 선형변환이 행렬이라고 생각했던 제가 잘못 이해했던 거네요. 선형변환을 행렬로 사용하기 위해 coordinate vector를 사용하는 거였군요...ㄷㄷ.. 날카롭고 정확한 설명 감사합니다 많은 도움이 되었어요 :)

[@프린키피아-d6i]

​@@MyPaseMyLife 행렬은 선형변환이지만 선형변환이라고 해서 모두 행렬인 것은 아닙니다. 미분 연산자 같이 선형성을 만족하는 행렬이 아닌 변환들은 무수히 많습니다. 그렇지만 m차원 벡터 공간 V에서 n차원 벡터 공간 W로 가는 모든 선형변환을 모은 집합과 m by n 행렬 집합은(두 집합은 모두 벡터공간입니다) 서로 isomorphic이라는 사실이 수학적으로 증명이 되어 있습니다. 즉 선형변환과 행렬은 서로 일대일 대응 관계에 있고 따라서 모든 선형변환은 항상 행렬로 표현이 가능하기 때문에 사실 '거의' 같은 것으로 취급 할 수 있습니다. 행렬과 선형변환의 관계를 쉽게 설명하기 위해서 둘이 거의 같다는 말을 사용했지만 때때로 이러한 설명 방식은 본질을 오도하기도 합니다. 여기서 말하는 거의 같다는 말의 정확한 수학적 의미는 isomorphic입니다.

[@kevinpark1340]

17:33 그럼 행렬 (2,6)을 [D]B,a 로 바꾸는 것도 가능하겠네요..?

[@프린키피아-d6i]

미안해요. 질문을 잘 이해하지 못했어요ㅠㅠ

[@김성준-e5x]

벡터 공간 V에 (2,1) 이라는 벡터는 어떻게 기저를 설정하느냐에 따라서 (1,4)가 될 수도 있고 (3,1)이 될 수도 있다고 이해해도 될까요? 그리고 같은 벡터 공간 W에 존재하는 두 벡터를 더한다고 하면 ( 예를 들어 (2,1)+(1,3) ) 표준기저를 기저로한 좌표의 합으로 볼 수도 있다고 생각하면 될까요? (윗댓글에서 말씀하신 것처럼 근본적으로 좌표와 벡터가 다르단 건 이해했습니다 감사합니다)

[@김성준-e5x]

두 번째 질문에서 꼭 표준기저가 아니라 두 벡터를 합한다는 건 같은 기저(꼭 표준기저가 아니더라도) 로 표현된 좌표를 더한다고 생각해도 오류가 없냐는 질문입니다!

[@프린키피아-d6i]

말씀하신 (2, 1)이 벡터 공간 V의 어떤 벡터의 좌표 벡터를 의미한다면 맞습니다. 일단 벡터는 기저의 선택과 상관없이 불변입니다. 단지 기저가 바뀌면 주어진 벡터를 기저로 전개했을 때 선형결합 계수가 바뀌게 되고 따라서 이에 대응하는 좌표 벡터가 바뀌게 됩니다. 예를 들어 벡터공간 V의 벡터 x가 기저 {a, b}로 전개했을 때 x=2a+1b이고, 기저 {c, d}로 전개했을 때 x=1c+4d이고, 기저 {e, f}로 전개했을 때 x=3e+1f라면 x=2a+1b=1c+4d=3e+1f로 모두 같은 벡터 x를 나타냅니다. 단지 이에 대응하는 유클리드 공간의 좌표 벡터가 각각 (2, 1), (1, 4), (3, 1)로 다르다는 뜻입니다. 두번째 질문이 벡터의 더하기를 좌표 벡터의 더하기로 이해해도 괜찮은가를 물으신거라면 맞습니다. 예를 들어 V의 두 벡터 2a+1b와 1a+3b의 합인 (2a+1b)+(1a+3b)=(2+1)a+(1+3)b를 좌표 벡터의 합인 (2, 1)+(1, 3)=(2+1, 1+3)으로 이해할 수 있습니다.

[@김성준-e5x]

@@프린키피아-d6i 개떡같이 질문했는데 너무 잘 답변해주셔서 감사합니다 읽으면서 눈물 흘리면서 주먹 입에 넣고 읽었습니다 선생님..

[@김성준-e5x]

@@프린키피아-d6i 교수님 벡터 공간에 존재하는 x는 ( = (3,1) )가 표준기저로 했을 때의 좌표 표현이 우연찮게 (3,1)인 거고 x는 벡터 그 자체로 (3,1)인 거죠? 계속 벡터와 좌표벡터을 구분없이 사용했는데 그러면 좌표벡터가 아닌 벡터 자체로 x의 성분 3과 1은 어떤 의미가 있는 건가요 예전엔 x축으로 3 y축으로 1 이런식으로 생각했는데 이렇게 생각하는 순간 벡터 (3,1)이 아닌 표준기저를 통한 좌표 백터 표현 (3,1)이 되어버리는 거 아닌가요..? 시간차 질문 죄송합니다..

[@프린키피아-d6i]

@@김성준-e5x 일단 (3, 1)의 표현은 보통 우리가 몇 콤마 몇 이라고 읽는 2차원 유클리드 공간의 한 점(좌표)을 의미합니다. 위치벡터라고도 부르고 화살표로 나타내는 그러한 벡터이죠. 유클리드 공간이 아닌 일반적인 벡터공간의 벡터를 표기할 때 (x, y) 식의 표현이 사용되지 않습니다. 일반적인 벡터를 표현하는 방법은 basis의 선형결합 꼴로 나타내는 것입니다. 벡터공간이라는 용어를 사용할 때 벡터공간은 유클리드 공간 뿐만 아니라 일반적인 임의의 벡터공간을 의미합니다. 벡터공간의 벡터 x를 (3, 1)식의 유클리드 공간의 벡터 표기를 하게 되면 언급한 벡터공간이 유클리드 공간을 의미하는 것으로 해석이 될 수 있습니다. 유클리드 공간의 벡터 (3, 1)은 표준기저에 의한 벡터 표현이므로 그 자체로 좌표 벡터가 됩니다. 대충 쉽게 설명하면 좌표벡터란것 자체가 어떤 벡터를 유클리드 공간의 벡터에 대응 시킨 개념인데 벡터 (3, 1) 자체가 유클리드 공간의 벡터이므로 자기 자신에 대응되는 것입니다.

[@kevinpark1340]

어질어질 하네요.. 왤캐 어렵죠?