【数学オリンピック】 有名な整数問題

こんにちは！マルチーズ先生です。あの有名な定理を使います！
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

[@自由律俳句とかいう無法地]

なるほど。その着目した自然数と互いに素でない項が、少なくとも1つ存在することを示せばOKってことか。 （偶数はa₁、3の倍数はa₂、5の倍数はa₁、pの倍数はaₚ₋₂を例示している）

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

はい、その通りです！

[@NASHIaziirohasu]

積サーでみたやつだ！

[@niydgydiwgm]

うわ！自分もです笑

[@ぱんけーき-t5k]

でんがん！

[@勲-h4p]

小定理の証明が完全にまちがえですよね もっとシンプルに有名な証明あるし、場合分けいらない

[@gintama1029]

この証明方法であれば場合分けが必要だと思いましたが、具体的にどの部分が間違いなのでしょうか？ ご教示いただけますと幸いです。

[@saundersN]

失礼．先のこちらのコメントも勘違いでした． コメントをみて間違い探しをしてみたけど動画の証明で間違ってないようです． 場合分けはaが自然数の範囲ではなく整数とする場合の証明なのでそうしただけでしょう.

[@gintama1029]

@@saundersNご丁寧にお返事下さりありがとうございます！

[@勲-h4p]

@@saundersN aとpは互いに素ですね。 a=kで成立を仮定するとa=k+1でも成立しているのが帰納法 aを整数として負の数まで考えると言うことは、すべての整数での成立を証明しようとしている？ すべての整数はpと互いに素？違いますよね kとpが互いに素ならばk+1とpも互いに素と言っていますね。これはダメ 帰納法使いたいなら整数だから負も考える云々ではなく kとk+1が共にpと互いに素でなければならないのでは? 負を吟味する必要はないです。 pが2のときは自明なので、pは３以上の素数 k、k+1が共にpと互いに素となるようにaの範囲を１からp-2にして合同式で考えるのが正しい手順かと

[@小川康幸-x1o]

フェルマーの小定理の証明ですけど「aを任意の整数」と、きちんと説明すれば問題はなさそうです。 「任意の整数の範囲で正しいのなら、pと互いに素な場合も正しい」ということでしょう。 ただ負の整数についての説明は、個人的には完全に蛇足だと感じます。