数学者も間違えた確率のパラドックス【ゆっくり解説】

[@nozomejin]

この無作為の不確実性が気づかずに利用された問題で、本来は解がいくつもあるのにも関わらず不正解になった生徒は不憫だな

[@れいぶおぶ]

これ好き

[@HideyukiWatanabe]

コルモゴロフによって現代の公理主義的確率論が確立されることによってこの問題は「どれも(とり決めによっては)正しい」すなわち最初の問題は「条件が抜けている」と解決された訳です。その条件は動画では「無限の事象に確率を割り当てる方法」と言っていますが、これは数学の用語では事象の空間と確率測度を定めると言います。 事象の数が有限の場合は各根源事象の確率を定義するのは直感的に一意でしたが、今回のように非可算無限の場合は根源事象1点での確率は0になるので確率は密度で考える必要があります。そして有限の場合の確率は根源事象の確率の和ですが、本題の場合は確率密度の積分になります。その密度の分布は円の弦をどうモデルリングするかによって異なるので、そのモデリングも問題の条件とすべし、というのが現代の確率理論です。

[@MM-qt2kx]

こういうのって確率0になるんじゃなかったけ?　有識者お願い

[@y_nene]

酷い例ですが、この問題の答えを0にすることもできます まず正三角形の頂点が左にくるように図を回して、その頂点を(0,0)とするように座標をとります。 ここに対してランダムな実数kを用意してy=kxの直線を引くと、これの一部が弦になります。 -1/√3 < k < 1/√3のとき弦は三角形の辺より長く、それ以外の時短くなりますね。 ところでkは全ての実数、つまり例えるなら-100兆から100兆よりもっと広い無限の範囲から選ばれるので、こんなに0に近いところにドンピシャで当たる確率は０となります。 (厳密な話をしたい人は-n

[@y_nene]

逆にこの図を90度回転させれば確率を１にすることも可能です 無作為ってなんでしょうね

[@宮原拓杜]

3つ目の解法、選んだ中点が円の中心だったときには、その線分が一意に定まらないから、誤答になると思うんですが

[@lndianaGmhensonJr]

確率の無作為の基準の設定に長さをとるか角度をとるか面積をとるかで確率が倍から変わってくるってことか。面白いね。

[@桜木秋水]

これは知らなかった･･･ なるほど分かり易かったです

[@談合坂]

どんな問題文なら正しくそれぞれの計算式が当てはめらるの？

[@odenmaster]

問題文を見た瞬間に違和感もったのが「これ無限のパターンあるだろ」だったんだよな。

[@ビスケンチー]

円の性質に影響されない確率1/2のやり方が一番無作為的

[@でーとる]

封筒のパラドックスとかは確率の全体を決められないから解けないのか

[@Canale0107MAN]

測度論的確率論を使えば説明がつきそう

[@しおどりかいと]

おもしろい話だった。

[@あうら-g2j]

私は「円周上にランダムな点を2点打つ」と解釈しました。 計算方法としては点を固定する2番目と似ていますが、そちらが「弦の円周角をランダムに取る」考え方なのに対して、こちらは「弦の中心角をランダムに取る」パターンとも言い換えられ、中心角は常に円周角の2倍であることから結局は同じ計算になって答えは1/3。 ちなみに1番目のパターンも、弦がある範囲に入る確率を弧の長さに比例すると考えると、上が1/3・中央が1/3・下が1/3になって答えは1/3になりますね。

[@superior_note]

ほかの方もコメントされていますが「ジェインズの解」によれば1/2が正しいとされています ただし「確率変数を導入する方法やメカニズムが明確に定義されない場合、確率がうまく定義できない場合がある」が最も支持されているようです 「ビュホンの針」方式を用いて1/πと解が導かれたらそれはそれで面白そうですね

[@あうら-g2j]

@@superior_note/videos 結局のところ、この辺は『弦』という単語の定義次第なんじゃないかと思うんですよね 1. 「弦は円と直線が交わる時に両者の交点が作る線分である」という定義であれば、分布が円の位置と大きさによらない（＝最大無知の原則を満たす）ためには直線が一様分布する必要があるので、1/2のみが適切な解となる 2. 「弦は円周上の2点を結ぶ線分である」という定義であれば、分布が円の位置と大きさによらないためには始終点の角度が[0, 2π)×[0, 2π)空間上で一様分布する必要があるため、1/3のみが適切な解となる 3. 「弦は円の内部の点を中点とし、両端点を円周上に持つ線分である」という定義であれば、分布が円の位置と大きさによらないためには中点が(x, y)平面上で一様分布する必要があるので、1/4のみが適切な解となる もちろん、他の定義でも円の位置と大きさによらず何らかの空間上に一様分布するパラメータを考慮でき、その時の解は1/2でも1/3でも1/4でもないものにできるでしょう ジェインズの解は1の「弦が一様分布である時、直線も一様分布する」という前提から導かれるものですが、2と3は「弦が一様分布である時、一様分布するのは直線ではなく別の空間内のパラメーターである（＝直線が一様分布していたとしたら弦は一様分布しているとは言えないので、ジェインズの前提が成り立たない）」という立場ですね そして私は2派

[@hihirose1137]

一様に無限個の線が引かれた中に円を置くってのがフェアかな ランダムな2点取ったら縁の中心近く通る線が減るやん 線の密度が濃いとこと薄いとこできたら無作為って感じしない

[@あうら-g2j]

@@hihirose1137/videos そこは感覚の相違ですねー……私は中心近くを通る線が減るよりも、中心角の狭い弦が減るほうが作為的に見えてしまうので

[@あうら-g2j]

でも一番無作為に見える分布は「弦の長さ分布が一様」つまり(2-√3)/2が解の時のような気もする

[@miho4106]

諦めるのが早いに同意w

[@梅昆布茶-x2u]

ジェインズの解まで一緒に解説して欲しかった

[@ackey_kirich]

10:13　パラドックスを目の当たりにして動揺しちゃんたのかな？

[@kutsu_]

タイトルに「ベルトランのパラドックス」って書いてよ！w

[@PBer_ippanzin]

確かにね

[@ああああ-j2y]

タグ付けしてるんじゃないの？

[@lee-q9j8s]

@@ああああ-j2yされてないですね

[@翔相川-y7f]

​@@lee-q9j8sアイコンが可愛いイラストレーターが誰か教えてください

[@daifuku-niki]

@@user-dq3ht8st5hベルトランのパラドックスで調べても出てきますよ

[@user-hs8xy5vy4z]

ちなみに実際に多数の線を引いていった場合どの値に収束していくのであろう？

[@ryojitakei71]

その場合も、結局線を描画するアルゴリズム（ここでは、コンピュータなどで実験可能な、繰り返し多数の線を引くための厳密な手順、ルールを意味すると考えてください）によります。 解法１～３の解である、1/2, 1/3, 1/4にそれぞれ対応させたアルゴリズムを作ることが可能です。 ただ、そのアルゴリズムを実現するような描画プログラムを作って実際に大量の弦を描画させてみると、内接三角形の一辺より長い弦が1/3や1/4になる場合は明らかに円の外側付近に多くの弦が描かれている（短い弦の割合が多くなるように線が引かれている）ことが視覚的に確認可能です。 そして、円という形状とは無関係に平面に一様にひかれたランダムな直線のうち、円の内部を通るものを弦とし、そのうち内接三角形の一辺より長い弦の割合を求める、というのであれば、その場合の確率は1/2となります。 なので、個人的には解法１の1/2を正解として推しています。ジェインズ派ですね。

[@なたな-u5d]

自分は、「円の中に1本の弦を引く」とあるので「無作為に選んだ円周上の点から、無作為な方向（後ろにいくと弦にならないので前側のみ）に線を伸ばしていく」イメージで考えました！ この書き方の場合だと二つ目のやり方の通り1/3ですね

[@SuperUnknownCitizen]

なつかしい。昔、矢野健太郎先生（漫画家じゃないよ数学者のほうだよ）の本の中でもこのことに関して書いてあるものがあり、すべての確率の回答はどれも正しいと書かれていたのだが、当時の自分の理解力ではどうしてすべて正しいのか理解できなかったけど、数十年来の疑問がやんわり理解できました。

[@toisaa]

なるほど。無作為と言いながら、各々の選択には偏りが出来てしまうのですね。 ジェインズの最大無知の原則に基づいた解、実験的に求めた解などの存在を知ると共に、 あらためて、注意を要する対象である事に留意したいと思います。

[@omusubi-gerorinn]

これ、面白いですね。直感的に感じるモノと数学的に納得するモノが違うんですもんね。因みに、自分は三角形の頂点から縦線を引いたらわかりやすくなりましたよ。

[@lipschitz0]

今回も分かりやすかったです！ 「確率の割り当て方の明確化」は本当に大事だと再認識させられた。 人間社会においても、価値や概念が定まっていないと議論にならないことがあるのと似ていると思った。

[@山田博也-p5p]

動画序盤のベルトランの写真がロバート秋山に見えてしまうのは私だけ?

[@カリフ制再興ちゃんねる]

うーん、足して2で割って、5/12だな！

[@糀谷浩一-x6v]

解答欄→書いとらん→ベルトラン と三段活用しとるし、フリもいい。 今日の地獄の空気は洗練されてるなぁ。

[@翔相川-y7f]

思った 正直今日の地獄は普通にレベル高い　テンポもいい

[@tts-th3mc]

乱数でも使って100万回くらいランダムに直線を引いてシミュレーションした結果の動画、どこかにないものか･･･🤔

[@試作遊戯]

コンピュータにやらせたら、結局乱数から直線を引くアルゴリズムに依存するだけだと思う。 人間にやらせないと。笑

[@佐藤A-b9n]

1000回シミュレーションなら9割が知らない〜〜のチャンネルに載ってるよ👍

[@白樺ホーン]

​@@佐藤A-b9n ちょうど気になってたので助かった すでにチャンネル登録してたので遡りやすかった ありがとう

[@シェフチェンコビッチ郎アレクサンドロ]

確率変数のとりかたが一意に決まらないのが理由というのはなんとなく分かるのですが、無限の事象に確率を割り当てる云々の話は、連続変数が特定の決まった値を取る確率が0になるというだけで、このパラドックスの本質とは無関係のように思ったのですがどうなんでしょうか？ 偉い人教えてほしいです

[@user-mb3vs8lf8i]

①、②、③、……の無限個の玉から1個を選ぶとき、①を選ぶ確率は？と訊かれているのに、勝手に例えばただし①〜⑳の玉から選ぶことにしている、みたいな感じ？

[@けんちゃん-y7v]

無作為で無限に線分作れるって事は集合の濃度と関連がある気がする。だとすると、濃度は同じだと思うので、確率は1になってしまう

[@ぐぐたす-c1i]

たしかに、「ランダム」の基準が明確にならんとだめなんだな、線を引くときに円の中心狙って腕振ったら、外側より内側に偏る 個人的には複合かな、弦が通る目標地点の点を面積全体に均等で決定、、その点毎に360度(180度)の弦ごとの比率を出す ・・・・これ、積分になる？じゃあ俺にはわからん

[@defabc2784]

1つ目の考え方は、回転して重なるパターンは全て同じとしてるのに、2つ目と3つ目は区別してる気がして、納得できない

[@ryojitakei71]

結局この問題は「無作為な線」を作り出すためのアルゴリズムによって内接3角形の1辺より長くなる確率が変わってしまうということかなと思いました。 言い換えれば、円の内部を通る無数の線の無作為性が、何を以て担保されていると判断するかによって、確率は変わってしまうのです。 例えば、とあるアルゴリズムでそれなりにたくさんひかれたすべての弦に対し、円の中心からの距離をとったとき、中心からの距離が0～半径までの間で均等にまんべんなく散らばっているならば、1番目の解法通り、内接三角形の1辺より長くなる確率は2分の1となるでしょう。 しかし、2番目の解法のように、円周上の固定点からの角度が均等にちらばるようにたくさんの線を引いた場合、先ほどのアルゴリズムと比べて中心から距離の離れた弦の割合が多くなるため、当然の結果としてより短い弦の割合が多くなります。例えば接線に対し0度から0.5°ずつずらして1°おきに0.5°、1.5°、2.5°・・・179.5°と、180本の線を引くと、近似的にですが、一応は確かに3分の1という確率が求まります。 ここで問題になるのは、どちらがより本当の意味で「無作為な線」をひくアルゴリズムと呼ぶにふさわしいかということです。 個人的には、円周上の固定点を中心に角度を変える、あるいは円周上の点をランダムに2点選ぶようなアルゴリズムは、円の内部を通りさえすればよいという条件に対して、真に自由に描いた線とは呼べないのではと考えます。なぜなら、このようなアルゴリズム（例：固定点を円周上にランダムに選ぶ⇒次にその点の接戦に対する角度を０~180°でランダムに選び、弦を描画する）で実際に大量の線を描画させてみるとわかるのですが、明らかに円の端に偏ってたくさんの線が引かれることになるからです。 さらに、第3の解法のように円内のランダムな点を弦の中点とする方法ではこの「弦が円の端に寄る」傾向はより顕著になり、見た目にも短い弦の割合が増えるのは当然と感じます。 これは言い換えれば、「意図的に」円の外側に近い場所に多くの弦が描かれるような方法を選んでいるとも言え、「無作為」とは対極の状態です。 したがって、私は1番目の解法による2分の1を正解として推したいです。

[@みかんかん-e2p]

個人の考え方の違いですが、シンプルに弦を引くなら円周上の二点をランダムにとって引くというのが一番自然だと思います。無作為な弦の話をしているのに、まず無作為な直線を考えているのはおかしいという気持ちです。

[@林A-w3r]

ビュホンの針は、無作為が絡んだ確率をきちんと扱え、実験でも正しいことがわかります。 この問題の実験での確率はどうなのでしょうか。 シュミレーターではなく、実世界でやってみたことのある人お返事下さい！！

[@piyashirikozo]

無作為　なのに、一点を固定とか正三角形の辺に並行とか、制限を加えてる時点で、

[@sunflour6765]

「円周上で任意に選択した2点が同様の位置に重なって、線分を引けない場合」を考えてみると、 ①の場合…事象数 2 ②の場合…事象数 1 ③の場合…事象数 無限個 となるので、そこだけでも結構、悪さをしていそうな感じ。

[@チョコボーイ山口-s5x]

1を無限分割した結果を小数点表示する事は出来なくとも1/∞という形で分数としては表現出来ます この概念が成立するから無限の扇状の連続配列を直線と見なせる訳だ いわゆる円周を無限分割して一直線に配列すれば直線近似出来るというアレ 1を無限分割不能というロジックは完全に間違いです

[@試作遊戯]

♾️って、少なくとも実数では定義されてないから1/♾️を"表現できている"というのは、何における定義なのかが曖昧な気がします。(自然数とか、有理数とか、実数とか、複素数とか、そういう話で。) 少なくとも複素数の範囲内で♾️が定義されているのは見たことがないし、群としては定義できないはず。

[@チョコボーイ山口-s5x]

@@試作遊戯 無限を正しく理解する為の基礎知識と正しい数覚が備わっていないようですね 3Blue1BrownJapanの「【面白い数学】衝突回数に円周率が現れる理由」を見て幾何と代数のベースをきちんと固めてから物を言いましょう 真実に到達している者に対し半端な数覚で論もどきをふっかけても恥をかくだけです 無限分割の基礎教材ですのでじっくり見て来て下さい

[@xy8078]

実際に適当に線を引く実験をしたらどの結果に一番近くなるんだ？

[@seiryu70]

Wikipediaからの引用ですが、 「どの手法で無作為に弦を引くか」によって、中点の分布や弦の分布が変化します。 結局、「どんな感じの無作為なのか」を決定しないと、答えは定まりません。 URL : ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%80%86%E8%AA%AC

[@sta8974]

その場合は「適当に線を引くルールをどう定めたか」によって変わるのでは？ 実際に人間が数万本も線を引くのは無理があるから、プログラミングすることになるだろうけど、 その時に「円周上に2点定めて長さを測る」かとか「1点は固定したままもう1点をランダムに決める」 とかのやり方によって変わってきそう。

[@xy8078]

@@sta8974 何万回と言わずとも、単に、人間が目をつぶって適当に線を引くのを100回ほどやれば、1/2か1/3か1/4かくらい、分かりそうなものだが…

[@hamunami]

線の向きも場所もランダムなら1/2以外ないでしょう。弧の反対側の点の位置や中点の位置は通常の無作為な直線の引き方ではランダムにはならない。

[@あうら-g2j]

⁠@@xy8078「2次元平面上に適当に線を引いて、偶然にも円と交差した場合の条件付き確率」として実験した場合は1/2になりますが、「円周上にランダムな2点を指定した場合の確率」だと1/3になります。 つまり、実験方法次第で変わります。

[@フロンテ-z7k]

チャンネル登録のハードル高くない？

[@sakaemysawa]

円の直径が4のとき、内接する正三角形の一辺の長さは2√3。 線分の長さが０~4で均等な確率で現れるなら、2√3以上になる確率は4-2√3/4で、約13.4㌫。 って計算しましたわ。

[@sigfo1]

問題をパッと聞いて浮かんだ解放は②の1/3だった。 でも、1点から見て1度ずつ（0.1度ずつでも）にしか分布しないというのは偏ってるなと考えを改めた。 今は全ての中点を網羅する③の1/4寄りで考えている。 ①は弧を線で考えており、②は弧を円周上の2点で考えており、③は弧を円の中に必ず有る弧の中点で考えている。 ①は一番精度が荒い気がしているけど、それが正解とされているのか。。。 無限のものをどう有限に網羅するかという話で凄く感銘を受けた。

[@xero9xero]

解法1もよくよく考えれば1/3だな

[@ころぢ]

コンピューター使って円周上にランダムに点を打って確率を求めれば正確に出るような気がするが，それだとダメなのだろうか。

[@peacefuljapans6286]

初見では、 「もし、『横軸に平行な弦を引く』というのを、左右どちらかの半円周上からランダムに1点選んで、その点と縦軸に関して対称な点とを結ぶ」と解釈すれば、1番目の考え方でも1/3にならない？？とか思いましたねw 何を「同様に確からしい事象」とするかで、答えが変わるというのは面白いです！ 個人的には、有限個でも、例えば「モンティホール問題」とか、「選びなおすと2/3になるというのが本当に唯一の正解なの？？」とか勝手に考えてしまいますww

[@user-ds1bu2gk1b]

いちこめ

[@seisinkougaku]

これって、量子力学の未来の結果に「意識」が作用する ということと同じなのではないかと感じます 量子論って、数学的には無限に分割できる空間上の長さをある極限の長さ以下に分割しようとすると矛盾を生じ、その矛盾の原因は人間の意識に起因するっていうことでしょう 数学においにも、恣意的な問題の解釈で答えが異なるというのは、これに似ていると思います