Stetigkeitsbeweis für 1/x (Epsilon-Delta-Kriterium)

Ich hoffe, dass dieses Video dir geholfen hat. Gerne kannst du einen Like da lassen und auch den Kanal abonnieren, um weitere Videos zu diesem Thema nicht zu verpassen. Solltest du noch offene Fragen haben, kannst du diese gerne in den Kommentaren stellen.
Videowünsche? Wenn du einen Vorschlag oder eine Frage zu einem Thema aus dem Grundlagenbereich der Mathematik hast, wozu du gerne ein Video sehen würdest, dann kannst du mir gerne an [e-mail] schreiben.

[@LJ-ut2rb]

Wie kommst du auf delta

[@algebraba2911]

Das habe ich angenommen, damit sich damit letztlich 1/x abschätzen lässt. So lange man nur normale (also nicht gleichmäßige oder noch stärkere Stetigkeitsaussagen) zeigen will, darf das gefundene delta sowohl von epsilon als auch von x_0 abhängen. Selbst wenn man zwischendurch Einschränkungen macht (wie ich in dem Video) und dann anschließend delta als das Minumum dieser Einschränkungen definiert, ist dies erlaubt. Letztlich muss ja nur für epsilon>0 ein delta>0 gefunden werden, das die Stetigkeitsdefinition erfüllt. Ob dies künstlich verkleinert wird, spielt dabei keine Rolle, so lange es echt größer 0 ist.

[@LJ-ut2rb]

@@algebraba2911 danke

[@patrickdaly7876]

@@algebraba2911 wie bist du genau drauf gekommen, also du hast es angenommen aba wieso nicht zb delta größer 4*x0? muss man da einfach herumprobieren und schaun was geht?

[@algebraba2911]

@@patrickdaly7876 Dafür gibt es keine pauschale Antwort. Das wird jedes Mal anders sein und es gibt auch innerhalb einzelner Beweise verschiedene Ideen. Wie man auf die Idee kommt, kann man durch Ausprobieren testen, aber wichtiger ist meiner Meinung nach, dass man etwas Erfahrung sammelt, d.h. verschiedene Ideen an verschiedenen Funktionen gesehen hat und strukturiert überlegt, wie man zu dem gewünschten Ergebnis kommt. Hier in diesem Beweis war dies halt nützlich, um mithilfe der Folgerungen in rot das x aus dem Nenner raus zu bekommen. Auch hier hätte die Wahl anders aussehen können. Die Idee war einfach die Folgende: Ich würde gerne 1/x durch 1/x_0 abschätzen. Das ist äquivalent zu x>x_0. Auf der anderen Seite habe ich aber nur |x-x_0|

[@patrickdaly7876]

@@algebraba2911 vielen dank für die lange antwort, hat mir sehr geholfen!

[@voules1]

x0 und x sind positiv, d.h man teilt |x0-x| durch eine positive Zahl. kann man also nicht abschätzen, dass ser betrag |x0-x|/|x0x| =< |x0-x| ist und dann weiter abschätzen das dieser betrag =< delta ist?

[@algebraba2911]

Nein, das geht leider nicht, da x0 und x ja kleiner als 1 sein könnten. Dann wäre x0*x ebenfalls kleiner 1 und somit wäre in diesem Fall |x0-x|/|x0x|>|x0-x|.

[@luca.pfaffelmoser6083]

Ich hätte eine Frage : Was genau würde beim Beweis nicht klappen wenn die Funktion unstetig wäre? Kann man nicht bei jeder Funktion auf x-x0 umformeln und das kleiner als delta setzen? Das ist mein Denkfehler. Eine Antwort würde mich sehr freuen.

[@algebraba2911]

Danke für das Feedback. Ich werde dazu zeitnah noch ein Video machen. Aber um deine Frage schon mal zu beantworten: Nein, man kann nicht immer ein passendes delta finden. Betrachte beispielsweise die Funktion f mit f(0)=0 und f(x)=1 für alle x außer 0. Für x ungleich 0 ist |f(x)-f(0)|=1 und wir können mit epsilon=1/2 ein Epsilon angeben, unter das wir nicht drunter kommen, egal wie wir delta>0 wählen. (Achtung: Da delta>0 sein muss, können wir nicht von x=0 ausgehen, da immer auch andere x den Abstand |x-0|

[@luca.pfaffelmoser6083]

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt verstanden und tausend Dank für deine videos. Es gibt zum epsilon delta Kriterium viele videos auf yt aber niemand hat konkrete Beispiele dazu gemacht und dann auch noch so ausführlich erklärt wie du. Würde mich freuen wenn du weiterhin solche videos produzieren könntest, denn die würden mir im mathe Studium enorm helfen. m.f.G. Luca :)

[@algebraba2911]

Gern geschehen. Vielen Dank für das positive Feedback! Ich habe definitiv vor, den Kanal weiterhin zu füllen. Manchmal fehlt es mir etwas an Inspiration. Wenn du also mal eine Frage oder einen Themenwunsch hast, kannst du mir diesen gerne nennen. Du kannst dafür auch einfach an [e-mail] schreiben oder ein Foto schicken.

[@algebraba2911]

Hier findest du ein Video dazu: kzbin.info/www/bejne/m6OzkGt-m51gedU

[@rockorocko3028]

Warum kann ich nicht wie folgt abschätzen delta:x*x0

[@algebraba2911]

Delta darf nur von epsilon und x0, also der Stelle an der du die Stetigkeit zeigen willst abhängen, aber nicht von dem immernoch variablen x.

[@dragileinchen1485]

@@algebraba2911 deswegen hat er doch abgeschätzt. delta/(x*x0)

[@algebraba2911]

@@dragileinchen1485 Diese Abschätzung erzeugt aber auch eine Abhängigkeit für delta von x, die nicht erlaubt ist.

[@dragileinchen1485]

@@algebraba2911 Delta ist doch bei delta/x0=E nur noch von E und x0 abhängig, oder sehe ich das falsch? Es ist doch nicht von x abhängig. Oder! Würde es nur für x>1 gehen?

[@algebraba2911]

@@dragileinchen1485 Dieser Schritt "delta/(x*x0)

[@kartonrad]

Am ende hast du delta doch auf einen wert gesetzt der ganz offensichtlich größer sein muss als x0/2 Also verletzt du durch deine definition von delta doch die beschränkung mit der du delta versehen hast

[@algebraba2911]

Inwiefern ist das Minimum aus x0/2 und x0^2/2*eps größer als x0/2? Für hinreichend große x0 ist dieser Wert exakt x0/2 und falls x0 klein ist, ist x0^2/2*eps sogar kleiner als x0/2.

[@hanspetermeier1409]

Bullshit, wähle delta=epsilon das reicht

[@algebraba2911]

Bei einem anderen Definitionsbereich wäre das möglich, aber nicht bei (0, unendlich). Für beispielsweise epsilon=delta=1/10 hätten die Stellen 1/10 und 2/10 einen Abstand von 1/10, aber die Funktionswerte einen Abstand von 5. (Durch Werte die näher an 0 sind könnte man den Abstand der Funktionswerte sogar beliebig groß machen). Delta=epsilon geht also sehr offensichtlich nicht auf.