Сумма квадратов натуральных чисел

[@Zergsch]

Мне уже немало лет и сейчас наблюдая, как вы последовательно раскрываете весь замысел решения задачи, вновь убеждаюсь, что математика для думающего человека не может быть нудным занятием. Спасибо вам, вы показали, что, если задача сложна и у неё есть решение, то оно обязательно будет красивым.

[@ФилиппТеренц]

Таких "обьяснителей" нужно гнать из обоазования сцаными тряпками

[@НинаМайорова-ъ3с]

Даже голос учителя поспособствовал полному принятию объяснения! Благодарю!

[@rejeporazmetow3930]

Спасибо.я всегда восхищаюсь вашим простотой объяснением.вот бы мне такого учителя. Желаю вам здоровья и удачи.

[@СеменГорбунков-Февральский]

Только что посмотрел тот же самый вывод у другого автора - ни хрена не понял. У вас то же самое и все изумительно понятно. Браво. Все непонятки буду разбирать только у вас.

[@user-v2304]

Спасбо. По прошествии почти 30 лет очень увлекательно опять окунутся в мир точного понимания вещей. Жаль, что во всем остальном мире нельзя также точно приводить сложное к простому.

[@Nikita-ii2cx]

Очень круто:) Огромное спасибо за ваши объяснения! Всё становится в миг понятно)

[@AlexeyEvpalov]

Необычный способ вывода формулы. Большое спасибо.

[@СергейИванович-о9п]

И ежу понятно когда уже решенное смотришь, как бы самому допереть, огромное спасибо

[@BEHZOD71]

Спасибо огромное, просто и понятно. Успехов Вам!!!

[@БашШа]

Как и сумма кубов равна квадрату суммы, так и эта сумма выглядит красиво. Да вообще, математика прекрасна.

[@Juventino-hb3yg]

Очень красиво. Казалось изначально причём тут куб суммы...

[@robasti6826]

Там Юве 0:2 слил

[@AnuarLife]

Опять пригодилось

[@augustjohnny1913]

i guess I am quite off topic but does anybody know a good site to watch newly released movies online?

[@quentinkian2434]

@August Johnny try FlixZone. You can find it on google :)

[@wyattlandyn5458]

@Quentin Kian yea, been using Flixzone for years myself =)

[@sirkuspelle9785]

у меня на первом курсе сейчас такая штуковинка выпала, пару проболел, ничего не понял, гптшку наводил на такое решение, он не смог, нашёл вас - а вы сразу как на паре-практике и сделали. спасибо

[@alexanderpetrenko8052]

Все понятно и доступно , как всегда

[@Abdulhamidov_A.S.]

Хороший вывод формулы суммы квадратов натуральных чисел.

[@andreyanisimov4043]

Формула хорошо доказывается математической индукцией.

[@garryoldman8040]

Всегда интересно смотреть подобные видео,спасибо

[@VECTOR918]

Вы очень понятно рассказываете. Мне 34 и с удовольствием смотрю ваши уроки

[@VitalySarychev]

Как это всё красиво когда знаешь как делать и как мучительно, когда пытаешься сидя на Олимпиаде сам придумать что то подобное и ничего в башку не лезет

[@elemath]

иногда надо увидеть некоторые ходы и методы, а потом уже и сами будете решать и придумывать

[@elemath]

@Турбиникарпус Калопсис не, не бесконечное))) Было бы бесконечное - не было бы науки. А "про куб" - такой путь избрал автор видоса. Возможно, другое изложение сабжа не оставило бы вопросов...

[@АлександрФомин-ъ5т]

Самому на олимпиаде понадобилось найти сумму квадратов от 1 до 100 что ли, чет пытался, пытался, в итоге забил подумал бред какой-то, так и не решил)

[@madiyardauletiyarov4559]

@@elemath какие книги вы рекомендуете? для решения подобных красивых задач школьному олимпиаднику

[@romualdaszapolskasromualda4249]

Нашёл Ваше доказательство, что биссекктриса l=sqrt(ab-cd). Понравилось. Но мне всё таки больше нравится доказательство используя теорему синусов, нахождения площадей по треугольниках и теоремы косинусов. Это очень просто доказывается. Но, как говорится, каждому своё.

[@ValeryVolkov]

Кому интересно, эта формула для биссектрисы получена здесь: kzbin.info/www/bejne/bHeUe6moppZ8jNE

[@НиниКуракина]

Умница! Ничего не скажешь!

[@ДаніілШевченко-и9у]

Класс, думаю, что это можно и как-то по-другому вывести, но данный способ очень красивый.

[@ЛюцияХафизова-щ2ш]

Очень интересно и понятно.Спасибо.

[@garou.2894]

Это просто великолепно!

[@АйказПочикян]

Просто гениально.! Спасибо..

[@ІгорСапунов]

Есть универсальный способ, не опирающийся на выведенные формулы: вспомнив интегральное исчисление, можно предположить что сумма вида 1^k+...+n^k является многочленом степени k+1. Далее P степени k+1 (n+1)=P(k+1)(n)+(n+1)^k и методом неопределенных коэффициентов находим многочлен, не забыв учесть что его значение в единице равно единице

[@mathcoach99]

Здравствуйте, интересно в Вашем (как всегда лучшем) исполнении увидеть про н-ную степень такого ряда

[@НиколайКпнев]

Та ты шо! Красотишша!!! Особенно вступительная интрига с кубами...

[@ilonmask5958]

Кстати , есть рекуррентная формула между функциями суммы 1^s+2^3+...n^s и 1^(s+1)+...n^(s+1) и площадь под графиками этих функциях от -1 до 0 будет равно значению дзета функции в точке -s и -s-1 соответственно, например если взять 1+2+...n=n(n+1)/2 интеграл от -1 до 0 будет равен -1/12.

[@twentyncarantino3049]

Офигеть не встать....Мне бы такого препода лет 50 назад...

[@Dmitriy-Akimov]

То же самое выражение, что и в задаче 2 из "Сборника задач и упражнений по математическому анализу" Демидовича! Но задание там проще, там уже написано, что 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 равно n(n+1)(2n+1)/6 , требуется только доказать справедливость этого равенства [используя метод математической индукции].

[@NikolayMishin]

Спасибо, отличное обьяснение!

[@ТимофейПономарев-л1я]

Решил геометрически, получилось красиво и занятно, надо всего лишь знать формулу объёма пирамиды, ну и суммы арифметической прогрессии)

[@madiyardauletiyarov4559]

интересно было бы посмотреть

[@user-v2304]

С точки зрения ммм (методьі математ моделирования) задача должна ставится в общем случае, тоесть квадрат заменить любьім числом k. 1^k+...+n^k. Тогда надо организовать два цьікла по вьічислению (n-1)^k и суммьі Sn-1+Sn. Для современньіх пк ето составит доли секунд. Хотя найти красивое общее решение - радость для математика.

[@АсанАта-э3б]

Кто то же выдумал это решение!)))))

[@ДИваннаСусанина]

Непонятен подход, точнее как он выбирался. Я уже неоднократно встречаюсь с тем, что через сумму чисел более высоких степеней выводят формулу, но хотелось бы более очевидную связь увидеть, как приходит эта мысль и почему?

[@catzionist8845]

Наверное, некая эвристическая гипотеза. Побольше решайте задач, чтобы такое появилось и у вас.

[@egor_dergunov]

Красиво) Спасибо за объяснение

[@putyavka]

Забавно, что вывод этой формулы есть в учебнике Пискунова "Дифференциальное и интегральное счисление для вузов". Но есть и другой способ: предположить формулу в виде An^3+Bn^2+Cn, потом подставить первые 3 частных случая 1, 2, 3 и из полученной системы найти неизвестные коеффициенты A, B, C... правда формально нужно ещё индукцию применить для произвольного n :)

[@СалимаАлиева-ч5ф]

Спасибо большое!

[@alexandergretskiy5595]

Очевидно, что сумма членов натурального ряда степени k является полиномом степени k+1. Коэффициенты этого полинома определяются решением системы линейных уравнений, получающихся при n, принимающим значения от 1 до k+1. Полученный многочлен можно разложить на множители исключительно для красоты.

[@ПавелЛокшин-й4р]

метод неопределенных коэффициентов универсальный для вывода любой суммы натуральных степеней чисел натурального ряда. Для суммы квадратов чисел натурального ряда. Некоторый многочлен третьей степени от n минус тот же многочлен от n+1.коффиннты при всех ступенях nкроме второй, равны нулю. При квадрате тройка.

[@Golimko]

Нам в универе показывали ещё один метод: сумма чисел от 1 до n квадратично зависит от n, поэтому можно ожидать, что сумма квадратов - кубически, то есть можно записать, что 1^2+2^2+...+n^2 = An^3 + Bn^2 + Cn^1 + D получается 4 неизвестных можно записать 4 уравнения для n=1,2,3,4 и определить коэффициенты)

[@viktarkrylov5604]

проще подставить n=0, тогда D=0 ;)

[@bartsimpson81]

Красотища 👍👍👍

[@lukaskamin755]

а теперь нужно отдельное видео, как до такого вывода додуматься

[@svetlanagalkin1615]

Замечательно! Спасибо.

[@ОксанаКубан-о3э]

ДЯКУЮ

[@jonik_s526]

Спасибо большое

[@white_master.]

Здорово!!

[@user-yk4bf8vi8o]

Здорово, но как догадаться пойти от куба суммы?! Не решил бы.

[@danilbutygin238]

Иногда в математике доказательства вылазят в неожиданных местах

[@Malmazm]

Василий Купцов тоже в жизни бы не догадался делать именно так. Надеюсь есть и другие способы)

[@nighthunter28]

в этом вся суть математики) ответ может выползти откуда угодно.

[@stepansamankov7129]

@@Malmazm есть один , через таблицу трудную размером n на 2n-1

[@nikitadenisyuk8004]

Сдался на 4 день ковыряний

[@DenisD3his]

Блын. Я вывел эту сумму. Но сложно. Первый раз выводил чисто напрямую. Буквально. Разложил каждый квадрат на сумму натуральных чисел. Типа, 3² = 3 + 3 + 3. И так для всех. Второй раз вывел с помощью формулы, которую я вывел. Эта формула позволяет находить сумму любого степенного ряда, если степень натуральная. Для пятой, десятой, хоть сотой можно. Один минус. Чем больше степень, тем сложнее вычисления. А ваш способ гораздо легче моих

[@ГребельныйВладимир]

Для того чтобы найти формулу для суммы любой последовательности, а не только для указанной можно найти используя следующий метод: Я буду искать значения для енного члена суммы квадратов нечётных чисел. Для начала записываем значения суммы в столбик, я буду писать в строчку, так как это удобнее. 1 10 35 84 165 286 Я записал 6 значений, но возможно, Вам потребуется больше. Сколько именно, поймёте из дальнейшего решения Далее нужно найти разность членов получившегося ряда. Записываем их в следующий столбик 1 9 25 49 81 121 И опять производим вычитание, получаем следующий столбец 8 16 24 32 40 И ещё раз повторяем процедуру 8 8 8 8 Далее вычитать уже бессмысленно. Так как мы проделали три вычитания то ответ нужно искать в виде A*N^3+B*N^2+C*N+D=E Где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты, а Е - сумма ряда для соответствующего N. Получаем систему уравнений A+B+C+D=1 8A+4B+2C+D=10 27A+9B+3C+D=35 64A+16B+4C+D=84 Решаем систему, получаем коэффициенты. И все, решение готово. Этим методом можно искать уравнения для энного члена любой последовательности, а не только суммы, если только такое решение имеется.

[@СефаеАблаева-ш9ж]

Красиво!

[@Seraf2201]

Сделайте видос про сумму квадратов обратных натуральных чисел)

[@putyavka]

Пожалуй вывод такой формулы будет для очень продвинутых школьников

[@servenserov]

Недавно проверял сходимость ряда 1+1/2²+1/3²+1/4²... Предел суммы его π²/6. Попытался вычислить π, но приемлемая точность (два знака после запятой) достигается при кол-ве членов =500. То есть, ряд сходится очень медленно. Проверял, конечно, не на калькуляторе; в интернете есть удобный online-калькулятор рядов. Точность обалденная!

[@ДанилаДемидовЕвгеньевич]

@@servenserov Wolfram alpha? ))

[@servenserov]

@@ДанилаДемидовЕвгеньевич Извините, про вольфрам не понял.Sorry, I didn’t understand about wolfram.

[@nedwizard]

@@servenserov вольфрам альфа это такой онлайн калькулятор

[@POLITZIANRAVOV]

А почему мы взяли куб суммы? Как прийти к этой логике? Потому что слагаемые в квадрате? Это надо интуитивно словить? Или методом долгой эмпирики?

[@dimitryrusu4022]

Не очень понятно, почему на 3:17 сначала выражают (n+1)³, а не сразу выражают то, что нам нужно в итоге

[@veniqma]

Круто!

[@АнтонДудкевич]

Класс )

[@c.technology3021]

It was really good explained.

[@Vadim_Ozheredov]

А если рассматривать (k+1)^2 вместо куба, не проще получится?

[@koszmic3526]

Интересно

[@nodir.rassulov]

спасибо, как раз искал эту сумму

[@MinisterDorado]

Спасибо!

[@АндрейШахов-д3р]

респект братан

[@qwertysss3831]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, в каком классе эту тему проходят?

[@Leleka2310]

А почему не работает( (1+y)*y)/2 ? Казалось бы - какая разница для формулы - n там или y=n² ?

[@ННн-ш2ю]

Здорово. Вот только каким местом догадаться, что сумма квадратов вылезет из куба суммы?)))

[@stivemstive407]

Почему в правой части после приведения подобных остаётся единица,а где n^3?

[@mikaelhakobyan9363]

2^3 + 3^3 + ... + n^3 переносили в правую часть, все они уничтожаются соответственными.

[@ДмитрийБережной-в1и]

Спасибо за видео) наверно это все можно и обобщить для случая разной степени :) Вроде как подобные суммы можно находить решая какие то дифф уравнения.. так же?

[@bakytturdiev1626]

Здорово

[@SaarSergey]

Данная теорема гораздо прозе доказывается через математическую индукцию

[@ВасилийПетрович-ц5н]

Красиво

[@МихаилФилатов-н2к]

Выложите видос о том что если n -> очеееень далеко то сумма = -1/12. Считаю эти вещи надо сразу в молодом возрасте прививать чтобы кругозор был на нестандартные вещи заточен :)

[@isting4741]

Это не нестандартные вещи, а неправильные вещи. Не более чем красивый парадокс для тех, кто не совсем хорошо понимает математику. Так что не надо такие вещи прививать

[@СергейЯковченко-ю1к]

Это не совсем равно. Это математическое допущение для возможности решить конкретную задачу.

[@servenserov]

Оригинальный вывод формулы. До такого сам не додумаешься. Сама формула довольно странная, думал, получится что-нибудь покрасивее.

[@putyavka]

Сумма кубов оказалась красивой, когда пробовал такой подход для них

[@Кирилл-щ9ж1у]

непонятет логический прыжок к формуле куба суммы

[@leonidsamoylov2485]

Интересно к чему стремится формула при n к бесконечности: n^3/3. )))

[@Malmazm]

Leonid Samoylov видимо к бесконечности и стримится)

[@n1tr0xs]

к бесконечности

[@gh8499]

По той же схеме можно вывести сумму кубов?

[@ValeryVolkov]

Да, только нужно будет использовать вместо куба суммы формулу для 4-ой степени суммы.

[@ДанилаШаманов-щ2ф]

1+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

[@mironemiron2454]

Можно вывести суммы n-ных степеней, только там формула, вроде, страшная

[@МаксимИмамалиев-е4г]

Я сначала подумал что тут формула суммы будет похожа на интеграл, n^3/3. И вправду, при стремлении n к бесконечности, будет стремиться к трети эн в кубе.

[@АндрейРейф-м4о]

Как посчитать сумму последовательности от 1/50,1/49,1/48 и до 1.Может формула есть для подсчета

[@Galaxy-111]

Это называется гармонический ряд. Формула есть, но она нетривиальная.

[@АндрейРейф-м4о]

@@Galaxy-111 я пробовал посчитать у меня расчеты больше единицы не уходили.Опытные люди говорят ответ больше 6

[@slshr]

Ну вот как на Олимпиаде я мог додуматься, что сумму квадратов нужно искать через сумму кубов? Я пошел по данному и ничего так и не вышло

[@wladislawortlieb8992]

Как самому до этого догадаться?

[@One-androgyne]

Я нашел через интерполяционный многочлен Ньютона, подставил вместо n= 1, 2, 3,... численным методом

[@ВалентинаХристенко-ы6э]

n^3 куда делось с первой строчки справа?

[@НавуходоносорВавилонский-ф3х]

Валентина Христенко сократилось, т. к. перед (n+1)^3 будет n^3

[@ДенисЛаптев-щ4ы]

Круто

[@persivald2148]

Доказать методом мат. индукции можно было ещё, на верочку так сказать

[@АлександрФооф]

Belyashik Play по сути здесь вывели формулу, которую бы доказывали методом индукции; не равносильно

[@АрсенийМаркович-щ4з]

Все понятно, не понятно только как до этого додуматься. Нужно придумывать универсальные алгоритмы додумывания.

[@АрсенийМаркович-щ4з]

@@yurikrus454 Я немножко не про то. А про универсальный алгоритм который позволяет рано или поздно найти решение для любой задачи. При этом на каждом шаге должно быть понятно что делать и как. А то пока работа математика это больше похоже на попытку тыкать в небо пальцем, попал молодец не попал и еще 300 лет никто не попадет.

[@poseidon1346]

Ваше класна

[@pavelmelentiev7791]

Можно гораздо проще, если знать что последовательность квадратов натуральных чисел является последовательностью нечетных чисел.

[@ДмитроПрищепа-д3я]

Последний раз, когда я проверял, возведение в квадрат не меняло четность числа, поэтому в этом ряде встречаются как четные, так и нечетные числа, при чем в равном количестве.

[@backoffer3228]

Вот это поворот. Значит ли это, что можно найти сумму какой угодно степени последовательности?

[@ilyaafminskilyaafminsk6268]

Да. Это арифметическая прогрессия n-того порядка.

[@eurry5445]

Арифметической прогрессией было бы легче

[@ИгорьВагров]

скоро школы и институты для ежедневных занятий по гуманитарным наукам будут не нужны, включил стрим на ютубе, ученики подключились и провел урок)))

[@ДанилаШаманов-щ2ф]

Кстати: 1+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

[@ValeryVolkov]

Да, доказательство этой формулы смотрите здесь: kzbin.info/www/bejne/oJXHe2t-f6qDr7M

[@ВалентинаХристенко-ы6э]

Может кто-то пояснить, куда делось n^3 (первая строка справа)?

[@ValeryVolkov]

У нас в левой части было 2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3, мы перенесли вправо с противоположными знаками всё кроме (n+1)^3, поэтому n^3-n^3=0

[@PavelTopalA]

Круто, но сложно

[@СеменСемечкин-у6ь]

А математической индукцией не проще?

[@cheloveker]

Пришел сюда с кубов. А методология-то одинаковая для всех?

[@mikemelnik9155]

Сначала думал, будет какая-то магия вроде 1+2+3+...=-1/12

[@zzz942]

Можно задать рекуррентно и найти нули функции

[@НавуходоносорВавилонский-ф3х]

GetReadyNow браво, поумничал, молодец 👍🏼

[@zzz942]

@@НавуходоносорВавилонский-ф3х ну спасибо. А еще можно представить n² в системе счисления 2n а потом считать все столбиком. Еще раз спасибо

[@ОлегКопырин-р3о]

Сегодня ничего не понял .когда ты тыкаешь ,вроде бы . А ТАК НИЧЕГО НЕ ПОНЯЛ ,вроде в/о есть а ничего не понял. Как после этого объяснять???

[@ТИГРАмурский-з9з]

2.1.20. Дела-а...

[@markiito5375]

несколько слов

[@СветланаМезенцева-ж6н]

Там же все в квадрате при чем здесь куб?!

[@ilyaafminskilyaafminsk6268]

Представьте себе, что последовательность вида a(i) = а2*i^2+a1*i+a0 , где i € N , сумму некоторого количества первых членов a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)=S(n) вы ищете, может быть пролучена из последовательности более высокого порядка, например, вида b(i)=b3*i^3+b2*i^2+b1*i+b0 по следующей формуле a(i)=b(i+1)-b(i). Т.е., например, последовательность a(i)=i^2 , которую здесь рассматривают: 1^2; 2^2; 3^2; ... , можно представить как бы образованной из разностей i+1 вого и i того членов последовательности более высокого (на один порядок) порядка. Тогда для последовательности a(i) будем иметь вместо а(1); а(2); а(3); ...; а(n) вот такую последовательность : b(2)-b(1); b(3)-b(2); b(4)-b(3); ...; b(n+1)-b(n). Т.е. a(1)=b(2)-b(1); ...; a(n)=b(n+1)-b(n). Спросите зачем весь этого гемор? Отвечаю: если просуммировать теперь a(1)+...+a(n)=b(2)-b(1)+b(3)-b(2)+b(4)-b(3)+...+b(n+1)-b(n) = b(n+1)-b(1). Т.к. мы можем при нахождении вида последовательности b(i) задать, что b(1)=0, то тогда сумма первых n членов последовательности a(i) будет равна b(n+1) вому члену последовательности более высокого (на 1) порядка, такой, для которой последовательность первых разностей ее членов будет образовывать последовательность a(i). Чтобы было прнятнее посмотрим на примере из этого видео. Имеем 1^2=b(2)-b(1); 2^2=b(3)-b(2); 3^2=b(4)-b(3); .... ну и т.д. Т.к. мы свободны в выборе и договорились (для удобства) считать, что b(1)=0, то b(2)=1^2-b(1)=1; b(3)=2^2-b(2)=4-1=3; b(4)=3^2-b(3)=9-3=6; ... ну и т.д. Т.к. b(i)=b3*i^3+b2*i^2+b1*i+b0, то легко получим систему уравнений для нахождения неизвестных нам b3, b2, b1 и b0 : b(1)=b3+b2+b1+b0=0; b(2)=b3*8+b2*4+b1*2+b0=1 b(3)=b3*27+b2*9+b1*3+b0=3; b(4)=b3*64+b2*16+b1*4+b0=6. Решать дальше уже не буду. Находите коэффициенты b3, b2, b1 и b0 , подставляете в формулу для b(i) и находите чему будет равняться b(n+1) вый член получившейся последовательности, это и будет формула для нахождения искомой суммы 1^2+2^2+...+n^2

[@minecraftsuperpromaxlitesm8077]

Несколько слов