Сумма кубов натуральных чисел 1^3+2^3+3^3+...+n^3

[@ЯнинаГеннадьевна]

Как всегда приятно следить за полетом мысли!😊

[@БорисРыбкин-п3м]

Очень понравилось и понятно! На уроках решали такие задачи: дано равенство без вывода, нужно доказать его методом полной математической индукции

[@servenserov]

Суммирование рядов - красивейшие математические упражнения! 👍

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за оригинальное решение.

[@СерахметЕрденов-у9м]

Супер! Как всегда! Даже не уверен, что смогу решить самостоятельно

[@Fili229]

предлагаю не мелочится и найти сразу сумму 1^m+2^m+3^m+...+n^m

[@Fili229]

m и n натуральные числа

[@sempaidebil8532]

0,5m(n+1). Мб я тупой, но тут же m просто за скобки, а в скобках прогрессия натуральных чисел

[@qazwsx-4237]

Давай, но для начала скажи, как ты будешь раскладывать скобку по треугольнику, если для этого нужно знать степень скобки? Я к тому, что каждая следующая строка степени в треугольнике подразумевает знание степени суммы, т.е. числа в скобках. Пример: (х+1)^2 = х²+2х+1; (х+1)^4 = х⁴+4х³+6х²+4х+1; (х+1)^n = ? Ты не сможешь так разложить по формуле. К тому же сравни сумму натуральных чисел от 1 до n с суммой квадратов натуральных чисел от 1 до n. Надеюсь был понят, готов разъяснить, если непонятно

[@romansharafutdinov5262]

@@qazwsx-4237 Есть такой прекрасный бином Ньютона

[@levskomorovsky1762]

Если рассмотреть последовательность чисел N в кубе для N = 1,2,3,4,5..., получим - 1, 8,27, 64, 125 и сумму S(N)^3 соответственно равную - 1, 9, 36, 100, 225... т.е. представляющую собой квадраты чисел К =1, 3, 6, 10, 15... где К = N[1+0,5(N-1)]. Сумма кубов чисел 1+2+3+...+N = К^2, т.е. {N[1+0,5(N-1)]}^2 = 0.5N^2 + 0.5N Докажем это методом мат. индукции. Для N=2 или, например, для N=3 эта сумма соотв. составит 3^2 и 6^2. Докажем, что S(N+1) = 0.5(N+1)^2 + 0.5(N+1), при условии, что S(N) = 0.5N^2 + 0.5N. S(N+1)^3 = S(N)^3 + (N+1)^3 = 0.5(N^2 +N)^2 + (N+1)^3 = 0.25N^4 + 1,5N^3 + 3,25N^2 + 3N + 1 (1) В то же время: S(N+1)^3 = {0.5[(N+1)^2 + (N+1)]}^2 = (0.5N^2 + 1.5N + 1)^2. Легко увидеть, что полученный результат равен тому же, что и в формуле (1).

[@golddim]

Спасибо. Давно искал доказательство, что сумма кубов равна квадрату суммы.

[@albjes9766]

Всегда радуют новые темы от канала !!!

[@VECTOR918]

Супер! Очень развивает ум!

[@danpul9300]

Валерий Волков я офигел оттого настолько похоже мое решение на ваше.Я решил эту задачу по подобию с суммой квадратов n натуральных чисел.Я подумал что я неправильно решил,поскольку предположил что сумма натуральных n чисел в степени k,будет иметь в знаменателе факториал от k.Но я получил тот же ответ и теперь я спокоен

[@cheloveker]

Гениально! Восторг.

[@sagovsagov1458]

1, 9, 36, 100, 225...хм похоже на полные квадраты... ответ должен быть порядка n^4 может это (n(n+1)/2)^2? докажем мат индукцией...

[@gregorysadofyev3981]

Очень грамотное обоснование. Отличный разбор

[@mirzaqelendarggddgsa3391]

блогодарю Валери

[@СенСимон-т7х]

Отлично. Спасибо.

[@НуржанЖахин-ь9ъ]

Большое спасибо)

[@sergeyblindt9500]

приятные упражнения для мозга). Спасибо

[@trolltrollskiy]

Отличное видео. Спасибо

[@AmirgabYT2185]

Класс 😊

[@nestav160833]

Красиво! Спасибо!

[@kabidenakhmetov2391]

Фантастика!

[@gamesandthoughts2388]

Классное видео! Спасибо огромное!

[@alexandergretskiy5595]

Давным-давно решал эту задачу иначе: поскольку для суммы кубов решением является полином четвертой степени от n, то подставляя в него значения от 1 до 5 вместо n, получим систему из пяти линейных уравнений относительно коэффициентов полинома. Далее останется свернуть его для получения компактного вида n**2(n+1)**2/4, но это уже необязательная эстетика

[@8702Сейтенов]

По-моему, эту формулу нашел в детстве Колмогоров. Может быть, эта формула была известна и ранее, но формулу приписывают Колмогорову, с чем я согласен.

[@andreisergeyev273]

Ясно, что при больших n должно быть (1/4)*n^4 плюс малые члены, то есть в самом общем виде ответ 1/4*(n^4 + a*n^3+b*n^2+c*n). Вычисляя этот ответ для n= 1, 2, и 3 находим a,b, и c.

[@tufoed]

Там еще теоретически может быть свободный член (в данном случае он равен нулю, но это не очевидно), так что будет 4 переменных и 4 уравнения. Система заранее известно, что невырожденная, но коэффициенты безбожно большие. Плюса два: не нужно помнить формулу суммы квадратов, и метод годится для вывода формулы суммы произвольной натуральной степени.

[@abrakadabrov6919]

Здорово. Сумма кубов натуральных чисел равна квадрату суммы натуральных чисел👍. Интересно, а дальше так работает?

[@АлександрИванов-в8к4щ]

Круто

[@АндрейШахов-д3р]

респект братан

[@zzz942]

Ну в силу того что в кубе разности кубы с минусом можно обойтись и без четвертой степени

[@tira1394]

в конце формулы 2^4+3^4+....+(n+1)^4=....... +n должно быть n+1 вместо просто +n

[@muroma3088]

нет, все верно, в точности n равенств

[@Pandunasihat]

*ЗДРАВСТВУЙТЕ* В КОКОЕ ПРОГРАММА ВЫ ПИШИТЕ

[@НуржанЖахин-ь9ъ]

Почему мы изначально рассматриваем именно (к+1) ^4?

[@Galaxy-111]

Здравствуйте, а нет ли где доказательства, что первообразная функции это площадь под кривой(предел интегральных сумм)?

[@mathbyautistdimag.9330]

Это следует из определения, и первообразная это не площадь.

[@ЛапчукХамчуков]

площадь под графиком это определённый интеграл. производная возрастания площади (первообразной) - и есть функция. разберитесь

[@Galaxy-111]

@@ЛапчукХамчуков Да я написал глупость, конечно я имел в виду определенный интеграл. Но ответа я не увидел. Как сформулировали определение, что определенный интеграл, является пределом интегральной суммы. То есть у меня есть проблема как связать площадь и первообразную. Формула Ньютона-Лейбница связывает первообразную и опр. интеграл. Интегральнау сумму функции можно представить как площадь под графиком этой функции. А почему интегральная сумма это опред. интеграл мне не очень понятно. Я понимаю, что это по определению, но оно не просто так взято же. Например, с производными мне была понятна вся логика.

[@ЛапчукХамчуков]

@@Galaxy-111 Вам надо чуток вникнуть. возьмите площадь под графиком от нуля до точки х и до х+dх. разница между ними поделенная на dх и будет стремиться к f(х)

[@ЛапчукХамчуков]

@@Galaxy-111 то есть производная от возрастающей площади S(x) и есть функция f(x). а возрастающая площадь это первообразная. это нестрого но интуитивно понятней. читайте Фихтенгольца вместо детектива и всё легко поймёте. рекомендую

[@flamehowk]

Это была сумма кубов или сумма четвертых степеней? Похоже кто-то что-то перепутал.

[@AS_tutor]

А я придумал другой способ для решения подобных задачек: kzbin.info/www/bejne/jX_Ji2CIlr2ooZY Буквально 5 минут, думаю думаю будет интересно)

[@ДмитрийАндреев-ф3х]

Бомба

[@cotlim]

А давай вот такую сумму: 1^k+2^k+3^k+...+n^k Возможно ли такую сумму найти?

[@mathbyautistdimag.9330]

Конечно можно, но трудновато. Если мы хотим просто общую формулу,которая позволит нам вычислять сумму, если мы все предыдущие суммы знаем, то это просто, если же хотем, чтобы сумма была задана многочленом от k, n это уже довольно непросто

[@mathphys685]

@@mathbyautistdimag.9330 Так все-таки можно получить общую нерекурсивную формулу? Где можно посмотреть?

[@mathbyautistdimag.9330]

@@mathphys685 Тебе нужна именно комбинаторная или не важно?

[@zzz942]

Можно вроде задать реккурентно и через производящую функцию

[@mathphys685]

@@mathbyautistdimag.9330 Да не важно :)

[@poseidon1346]

То за етим способом можна найти суму натуральних чисел в степени х где х у нас может бить каким хоч натуральним числом

[@TheBishop_2051]

т.е. Сумма кубов чисел равна квадрату суммы этих чисел? О_о

[@Tezla0]

Почему (k+1)^4, если нужно найти сумму кубов чисел?

[@barackobama2910]

опять же общее решение. Ясно что это полином 4-й степени от n надо только угадать коэффициенты по первым членам а далее доказать индукцией.

[@koleso1v]

Несколько слов.

[@mrnaboka8350]

не пойму почему n^4 исчезло после переноса все в другую часть

[@gdmitry78]

Иной раз какую-то фигню так подробно автор расписывает, а тут я тоже не понял, куда делось 2^4 и та самая n^4

[@ЛёваМнацаканян-м2в]

Перед (n+1)^4 стоит n^4, а перед ней стоит (n-1)^4 и так далее. И вот именно на это n^4 и сократилось.

[@nitromir]

Есть гораздо легче решение

[@ГеоргийЧеркесов]

А зачем эта сумма кубов мне понадобится??? Вот над этим сейчас я ломаю себе голову!

[@sagovsagov1458]

Сумма кубов может и не понадобится, а вот научиться решать задачи в жизни пригодиться может. Помню у меня сын офигел, когда я через квадратное уравнение рассчитал расстояние для расположения доводчика от края двери (в инструкции конечно это цифра тоже была, но сверлить лишнюю дырку в том случае, если те гоблины ошиблись не хотелось)

[@ouTube20]

Неа, в конце напутал.

[@Дмитрий-я4ц8ю]

Ставлю жирный дизлайк за недостоверную информацию в названии. Потому, что формула работает именно с арифметической прогрессии кубов начиная с ноля или единицы.

[@desirius1953]

По ходу потерял n

[@sablezubshruz9811]

Недетская крутизна.

[@pavelusenko25]

Математические наперстки)

[@ДаніілШевченко-и9у]

Классно