Сумма ряда с числами Фибоначчи

Рет қаралды 7,078

3 жыл бұрын

Из этого видео вы узнаете, как найти сумму ряда Fn/2^n - здесь в числителе стоят числа Фибоначчи, а в знаменателе 2^n. Для решения воспользуемся формулой Бине, выражающей числа Фибоначчи в явном виде, а так же получим производящую функцию для чисел Фибоначчи. Это функция, коэффициенты в разложении которой в ряд Маклорена равны числам Фибоначчи.
Как получить формулу Бине можно посмотреть в этом видео: • Числа Фибоначчи: форму...
Сумма геометрической прогрессии найдена здесь: • Ряды (2/3)^n и 3^n/n! ...

Пікірлер: 22

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Очень интересно. Спасибо за подробное объяснение, что откуда берётся.

@yarolev7505 2 жыл бұрын

Спасибо за такую красоту! Очень приятно было понять откуда это получается.

@holyshit922 3 ай бұрын

Я бы вычислил это, используя производящие функции 1.Рассчитать производящую функцию последовательности Фибоначчи, решив рекуррентное соотношение. 2. Масштабируйте его 3. Если у вас есть производящая функция масштабированной последовательности Фибоначчи вычислить производящую функцию для последовательности частичных сумм 4. Выразить производящую функцию в виде суммы геометрических рядов. 5. Вычислить частичные суммы по производящей функции. 6. Получив последовательность частичных сумм, вычислите предел (Гугл-перевод)

@user-re9md6iy1p 9 ай бұрын

Удивительно.Сто лет преподаю математику,в первый раз увидела такие закономерности.

@a.osethkin55 2 жыл бұрын

Очень круто. Если надо вывести строку из чисел Фибоначчи, то пока это лучший метод (меньше вычислений).

@lamiral_as Жыл бұрын

Ай-ай. Надо было сначала на сходимость проверить!)) Задача понравилась. Лайк

@Hmath Жыл бұрын

так там как раз найдена область сходимости на 4ой минуте.

@robertmonroe9728 2 жыл бұрын

Посчитайте функцию для которой разложением в ряд Маклорена есть числа Фибоначчи.

@karomismatov6790 3 жыл бұрын

Очень красиво

@Hmath 3 жыл бұрын

рад, что понравилось :)

@alik4564 3 жыл бұрын

Спасибо большое! Удивительно, то что в конце при делении результата получается опять числа Фибоначчи, я подумал о том, что гипотетически предположим в будущем в каким-то практическим способом при делении и рассмотрении гена конкретнего человека будет виден как изображение его лицо, рост, итп и др характеристики (или же они будут даны математически)

@user-uu6dt8ub3t 2 жыл бұрын

Спасибо за видео! А откуда задачу эту взяли?

@Hmath 2 жыл бұрын

придумал, как пример использования формулы, полученной в предыдущем видео :)

@user-px6rb3xw8r 3 ай бұрын

Производящую функцию легко найти непосредственно из рекурсии F_n = F_{n-1} + F_{n-2}. Если сумма F_n x^n = S, то из рекурсии S-x-x^2 = x(S-x) + x^2 S, откуда S = x/(1-x-x^2). Фи и пси тут не нужны, поэтому они и "чудом" сократились.

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

Классно, и фи с пси неожиданно сократились в конце. Никогда бы не догадался суммировать числа Фибоначчи... Ой, куда то пропал мой прежний комментарий( А ряд обратных чисел Фибоначчи вроде бы еще не привели к точному ответу, только численно?

@Hmath 3 жыл бұрын

да, в википедии пишут, что не нашли точный ответ для ряда обратных чисел фибоначчи :) но еще много других интересных есть с ними, где ответ красивый получается :)

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

@@Hmath В принципе, есть ведь формулы, которые любые дискретные ряды преобразуют в точный непрерывный интеграл. Формула энного члена фибоначчи есть, значит ее можно сунуть под интеграл и посмотреть, что получится.

@Hmath 3 жыл бұрын

я только один способ перехода от рядов к интегралам знаю. но для нахождения суммы он обычно довольно бессмысленный, потому что интеграл оказывается найти сложнее, чем сумму ряда. Но поищите и попробуйте! :) я думаю, что за столько лет, уже давно бы нашли, если бы это было так просто :)

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

@@Hmath можно было бы еще снять видео, где суммируются ряды с Фибоначчи. Я нашел численно, что сумма Ф(i)/2^i равно 6/5 для i нечетное и 4/5 для i четное, вместе 2 (как у вас). Ф(i)^2/3^i дает 69/76 для i нечетное и 45/76 для i четное, вместе 3/2. Потом, Ф(i)^n/100..00^i дает последовательность Ф в степени n в десятичной записи. Больше ничего интересного не придумал, но может вы знаете.

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

@@Hmath я переводил ряды в интегралы очень много, но ни разу не пытался аналитически взять, только численно. В принципе, работает. Вообще, это чудо, как можно ступенчатую дрянь перевести в гладкий интеграл от той же самой функции, которая задает общий член ряда. Достойно отдельного ролика.