순환소수에 대한 진실 (feat. 무리수가 수로 취급된 배경)

영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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안녕하세요. 이번 영상에서는 중학교 2학년 교과과정에 등장하는 순환소수라는 개념을 살펴보게 되었습니다. 신기하게도 우리는 순환소수를 중학교 2학년 때 처음 배운 후에, 그 이후로는 거의 사용하지 않는 개념입니다. 그렇다면 도대체 왜 이런 순환소수라는 것은 배우게 되는 것일까요?
사실 저 역시도 중학교 때 이 개념을 배우면서 이런 의문을 품게 되었지만, 누구도 그것을 속시원하게 얘기해주지는 못했습니다. 그러나 지금에 와서 생각하는 것은, 그것에 대한 대답을 듣지 못하는 것이 당연할 수 밖에 없다는 생각입니다. 왜냐하면 그것을 이해하기 위해서는 역사 속에서 진행되었던 수학의 복잡한 전개과정을 알아야 하기 때문입니다.
따라서 이 부분에 대한 속시원한 대답을 알고 싶으시다면 오늘 영상을 통해 어느 정도 대답을 들으실 수 있을 것이라고 생각합니다. 또한 이 영상은 특별히 저번 영상 "(기하학에서) 무파이와 같은 무리수가 생기는 진짜 이유"( • 역설 위에 세워진 기하학 (feat. 무... )와 내용이 있어지는 것이기 때문에, 조금 더 포괄적인 이해를 원하신다면 지난 영상을 보고 오셔도 좋을 것 같습니다. 감사합니다 ^^
#순환소수, #무리수, #무한소수

[@정제이슨-i1f]

이유를 확실하게 알았습니다. 명쾌해지네요. 결국 어떤 수학적 개념이든간에 설명하기 어려운 어떤 난관에 봉착하면 수학자들이 고민해서 기존 개념을 포괄하되 더 확장시킨 새로운 정의를 다시 내놓음으로써 수학적으로 설명가능하게 하는 일관성을 확보하게 되고 그런식으로 진화하는 인간들의 논리체계가 수학인거네요. 삼각비의 경우도 처음엔 직각삼각형의 비율로 정의를 하다가 둔각인 삼각형,원도 이런식으로 규명을 해서 논리적 일관성을 유지하겠다는 목적 하에 삼각함수로 진화하게 된거고요. 1사분면의 경우 중학교때의 삼각비로 정의가능해도 2,3,4사분면의 경우엔 확장된 정의로 새로 태어나는거네요.

[@mathandenglish]

굉장히 정확하게 잘 파악하신 것 같습니다. 결국 수학이라는 것 역시 인간들이 어떻게 정의하기 나름인 체계라고 할 수 있습니다. 다른 말로 하면 만약 어떤 특정한 수학자가 존재하지 않았다면 수학은 얼마든지 다른 방향으로 전개될 수도 있다는 것입니다.

[@정제이슨-i1f]

@mathandenglish 그렇다기보다는 본질님이 올리신 영상 내용자체가 제가 평소에,예전부터 궁금해해왔었지만 누가 속시원히 말해주지 않았던 부분들만 골라서 정확히 말해주니까 그 이유를 알게되어서 가려운부분 긁어주는 느낌이어서 그런것같습니다. 전 수포자였었고 나이도 들고 스타강사들이 킬러문제 빨리푸는거 보면서 감탄할 나이도 지났는데 문제를 푸는것보다 수학의 개념이 왜이렇게 정해진건지 언제 누가 어떤 필요성에 의해 왜? 라는 궁금증을 무의식중에 가지고 있었던것같네요. 그런부분들 정확히 짚어주시는 영상을 보고 개념을 설명할 수 있게 되는데에 스스로 만족감이 생기는것 같습니다.

[@정제이슨-i1f]

@@mathandenglish 그리고 본질님덕분에 확실하게 깨닫게 된 사실은 수학이라는게 절대 자연현상 그 자체의 언어가 아니라 그것을 설명하기 위한 완벽하지 못한 인간들이 노력한 최선의 논리체계란 사실을 알게됐습니다. 그리고 개념이 처음부터 완성된 상태로 태어나는게 아니라 마치 웹툰처럼 초창기 그림체랑 후반부그림체가 다르듯 계속해서 확장이된다는 사실도요. 이 사실을 알고있었으면 직관적으로 이해 못한다고 머리나쁘다고 좌절하지 않았어도 되지 않았을까 싶어 그게 아쉬울 따름입니다.

[@mathandenglish]

@@정제이슨-i1f 사실 저도 수학을 공부하면서 수학자들이 말하는 것과 같이 수학이 진실에 근거한다고 믿었습니다. 왜냐하면 그런 해석밖에는 들은 게 없었기 때문에 그렇습니다. 그러나 성경이 그것에 대한 의심을 계속 일으켰고, 대학을 졸업하기 직전에 읽었던 책인 Morris Kline의 '수학의 확실성'이라는 책이 그 의심이 맞다는 것을 확인시켜주었습니다. 사실 수학이 자연현상을 설명하기 위한 '최선의 논리체계'만 되어도 다행입니다. 그러나 제가 볼 때 수학은 거의 공상소설 수준입니다. (물론 그것의 유용성은 논외로 하구요.) 그것이 왜 공상소설인지는 제 다른 유튜브 채널을 통해 차차 소개할 예정입니다.

[@정제이슨-i1f]

Truth & Foundation 채널 역시 흥미롭습니다. 수학의 확실성을 읽고 서울대 수학과 재학중이던 일묵스님이 출가를 한 결정적 계기가 됐다고 알고있습니다. 그로텐디크나 폰노이만이나 지적능력이 비상한걸로 유명했던 분들도 결국 말년에 진리를 탐구하다가 신을 믿었다는 사례도 꽤 되는걸로 알고있습니다. 사실 저같은 현실주의형 범인의 경우 단지 b와 d사이의 c와 같이 태어났으니 마지못해 그냥 사는것이고 존재론적 의문이나 신의 존재에 궁금증을 품어본 경험은 크게 없었던것같습니다. 그래도 수학이나 과학이 자연현상을 설명하고 이해하는 도구로써 작동하는 인류의 위대한 학문이다라는 생각은 가지고 있었는데 그런것들이 사실상 다 판타지수준의 논리라는 이야기는 그런 저조차도 꽤나 급진적이면서 놀라운 이야기라서 조금은 거부감이 들기도 하더라고요 그래도 본질님의 논리에 반박을 하긴 힘들정도로 내용이 좋았었고 어찌되었든 저는 수학 과학이 판타지치고는 꽤나 유용하고 흥미롭다라는것에 만족하고 있습니다. Truth & Foundation 이 소개하는 내용들이 칸토어의 수학처럼 언젠간 주류로 인정받을 날이 오지 않을까 싶습니다. 좋은영상 감사드립니다.

[@byegoogle-ij1kj]

제 성격상 수학 공부를 하면서 공식이 나오면 증명해보고 개념 공부를 할 때도 그 개념이 왜 그렇게 나오는 지를 찾아보면서 하는 학생입니다. 어느 순간 당연하게 넘기던 “분수의 나눗셈은 역수를 곱한다”, “음수 곱하기 음수는 양수다”, “유리수는 정수, 유한소수, 순환소수이다“ 같은 것들에 왜 라는 질문이 생겼습니다. 책도 찾아보고 하는데 도저히 뭔가 명쾌한 그런 느낌의 설명이 없는 거 같아서 헤매고 있다가 이 채널을 알게 됐습니다. 우선은 고맙습니다. 내가 범접할 수 없는 것들과 당연시해서 넘기던 것들을 찾아보고 보면서 끙끙거리고 있었구나 라는 것을 알게 해주셔서. 수능 수학을 공부하면서도 왜라는 것이 필요하다고 평소에 생각했고 그렇게 듣기도 해서 찾아보던 것들이 너무 본질로 들어가는 내용이었다는 것을. 수능 수학은 알려준 지식을 활용하는 시험이지 지식을 탐구하는 시험이 아니라는 생각이 듭니다. 물론 아직 궁금한 것들이 많지만 어느 정도 궁금증과 타협해야 할 지 감이 잡힌 거 같습니다. 감사합니다.

[@mathandenglish]

정성스런 답글과 생각을 나누어주셔서 감사합니다. 수능수학도 본질적인 방법으로 가르칠 수는 있지만 그렇게 하지 못하는데는 크게 두 가지 이유가 있다고 생각합니다. 1) 고등학교 미적분 내용의 증명(실수와 관련된 내용 포함)은 대학 수학과 전공 중에 해석학을 제대로 공부해야만 할 수 있습니다. 2) 고등수학을 가르치는 분들 중에 이것을 제대로 알고 있는 선생님이 거의 없다는 것입니다. 그러다보니 말씀하신 것처럼 지식을 활용하는 수준에서 그치게 되는 것 같고, 실제 답만 잘 맞추면 되는 것이니 더 이상 알 필요를 느끼지 못하는 것 같습니다. ^^

[@옼케발]

순환하지 않는 무한소수가 순환하지 않는 지 어떻게 알죠?

[@mathandenglish]

좋은 질문이십니다 ^^ 일단 루트2나 파이와 같이, 규칙에 의해 그 무한소수 표현을 찾을 수 있는 수들은 그 규칙에 의거하여 그것이 순환하지 않는다는 것을 알 수가 있습니다. 그러나 그렇지 않는 무한소수는 알 수가 없습니다. 그냥 순환하지 않는다고 말할 뿐인데, 우리는 그 수가 무슨 수인지도 알 수가 없습니다. 그렇기 때문에 이러한 수에 대해서는 수많은 논쟁이 있어왔습니다. 물론 이와 같은 문제는 루트 2와 같은 수에도 나타납니다. 우리는 루트2가 순환소수가 아니라는 것은 알고 있지만, 만약 '루트2의 무한소수 표현에 12345678901234567890 이라는 표현이 나타나는가?'라고 물어보면 그것이 나타나는 것을 확인하기 전까지 아무도 대답할 수가 없습니다. 결국 이것은 무한이라는 허구적 실체가 개입되기 때문에 발생하는 일이라고 할 수 있습니다. ^^

[@game-of-legend]

정확한 내용은 아니지만, 대략적인 증명 흐름을 "순환하는 무한소수은 모두 유리수이다" 라는 내용을 증명하면 "실수중에서 유리수가 아닌 수(무리수)는 ""순환하지 않는"" 무한소수이다" 를 증명할 수 있을 것 같은데요. 즉, 순환한다면 유리수이므로 순환하지 않는다. 순환할때 유리수가 되는 것은 순환무한소수를 분수로 변환 하는 방법으로 증명하면 될 것 같고요.