Systèmes dynamiques chaotiques: des concepts aux applications ( 22 sept 2020 )

Conférence donnée le 22 septembre 2020 par Christophe Letellier, Professeur des Universités. Université de Rouen Normandie, Chercheur au laboratoire CORIA, dans le cadre des Grands Séminaires de l'Observatoire Midi-Pyrénées.
Lorsqu’il aborde les systèmes dynamiques, Henri Poincaré ne s’attache pas à étudier une solution particulière mais plutôt à dégager des propriétés de l’ensemble des solutions : pour cela, il utilise des trajectoires représentatives de l’évolution du système dans l’espace des états. Il montre que les points singuliers structurent celles-ci. En étudiant le problème des trois corps, il suit une approche développée par George Hill pour sa théorie de la lune, et part d’une orbite périodique qui peut approcher autant qu’on le veut la solution apériodique étudiée : la stabilité de l’orbite période étudiée par l’intermédiaire d’une section transverse à la trajectoire. Poincaré étudie les solutions en développant ce qui est désigné aujourd’hui par « topologie ». Ce programme, Edward Lorenz le développe en introduisant ce que deviendra les surfaces branchées ou gabarit : cette possibilité est ouverte par le fait que le modèle de convection de Rayleigh-Bénard utilisé par Lorenz est dissipatif, contrairement au problème des trois corps qui est conservatif et, par conséquent, ne peut être décrit par une surface branchée. Otto Rössler se servira de ces surfaces branchées pour distinguer différents types de chaos.
Après avoir retracé ce parcours historique, trois applications de ces concepts seront traitées :
1. La notion d’espace des états sera détaillée dans le contexte particulier du chaos Lagrangien à l’aide du système de Lorenz et du modèle à deux tourbillons (double-gyre) ;
2. L’activité solaire, étudiée par l’intermédiaire des taches solaires, sera caractérisée par une surface branchée conduisant à du chaos ;
3. Un modèle pour le cancer de la prostate sera introduit et servira à optimiser un traitement intermittent.