台灣vs美國因式分解一元二次三項式的方法

[@bprptw]

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[@玻璃-k9u]

還沒有看過人家用過我的算法ㄟ哈哈 假設X=10 Example: When X=10 4X^2-5X-6=344 用344做因數分解 344=2*172=4*86=8*43 因為今天要分為一元二次所以後面兩組較可能正確 再來 因為X=10 1. 考慮4*86 4=X-6 86=8X+6 乘起來不等於原式 2. 考慮8*43 8=X-2 43=4X+3 乘起來等於原式 因此得因式分解 Tips 通常其實不用一個一個慢慢找 用類似牛頓法的方法去湊因式的首數(A)或尾數(B)相乘會等於原式 像這裡的4*86 的86只能湊成9X-4或是8X+6 另外一邊的4只能湊成X-6 尾數相乘明顯錯誤 結論： 我這個方法大概是我國中發現的，一直沒看過有人提出，所以想分享給大家，不過我自己也知道這方法應該是比較適合有一定計算基礎的人使用，因為牛頓法的概念以及計算量比影片上的五種方法還要多。

[@leona7138]

我比較喜歡第四個方式，而且它一點也不奇怪，回頭看第一個解法就會知道為什麼了

[@yutinlai]

it's a nice way, too. thx guy.@@玻璃-k9u

[@shawnakshivakumar]

POV: You are searching for the only English comment.

[@seanchao6218]

其實滿佩服第二法的，其實就是小學比例的觀念活用，a:b=c:d =>bc=ad，坦白說憑小聰明拆項我行，但這種系統化的做法，沒人教的話我自認是想不出這種作法的，謝謝老師讓我開眼界

[@bprptw]

😃 也謝謝你收看我的影片！

[@wau812]

小學不會教交叉相乘，國中有二元之後才會教。

[@Tenshilee]

台灣的方法其實就是一個輔助腦袋思考，快速計算出結果的方式，主要是因為每個人的IQ差異問題，IQ很高的人，可以直接在腦袋就計算出結果，而沒辦法的人，就用輔助工具。 而第2~4的方式雖然也能解出答案，但卻只是在玩數學遊戲而已，而且還把問題複雜化，而沒讓人用最簡單，最直接的思考方式。 當然對於不懂數學的人，第2~4的方式對他們來說，或許就是一個能幫助他們計算出結果的模式，他們在乎的是能計算出結果，而不是道理。畢竟能懂因式分解道理的人，應該更願意用第一種方式吧。

[@柚子-i9i]

看完影片，我想到一種特殊的解法。可以參考看看 因式分解題目Q：4x^2 - 5x - 6 (a=4, b=-5, c=-6) Q = (1/4a)[2ax+(b+√Δ)][2ax+(b-√Δ)] | b 2c | Δ = | 2a b | = 121 , √Δ = 11 (-5) ± 11 = (-16) ⋁ (+6) Q = (1/16)*(8x+?)*(8x+?) = (1/16)*(8x-16)*(8x+6) = (x-2)(4x+3)

[@石孟玄-v3g]

十字交乘法，不是這樣教的，他是分配律(ax+b)(cx+d)的直式方法， 觀察ㄧ次項5，(不考慮+-)，是奇數，4必拆成4，1，再配上6，及奇十偶=奇，很快就完成，國中生很易學，也沒空虛感!實際教學上，奇，偶數很關鍵

[@a1771100]

我是台灣人，所以我當然也是用十字交乘法、公式解((-b+-根號(b^2-4ac))/2a)。我的作法是先觀察，像這題數字很簡單的就配配看，配得出來就可以直接十字交乘法，配不出來就公式解。我覺得十字交乘法很好啊！其實就是配方法的精神，又快又方便，10秒鐘就得到答案了。反而是美國的教法，雖然我也看得懂，但我覺得好浪費時間。 我覺得十字交乘法並非沒有系統性(systematical)，他其實就是(ax+b)(cx+d)將其乘開的概念。我覺得最大的關鍵是，似乎亞洲人與歐美人對「數學」的理解方式不同，台灣鄰近的亞洲國家也會使用十字交乘法來算一元二次方程式。我還是覺得十字交乘法和公式解最好用，且最方便。

[@snipesjuanr7762]

基本上只是因為你還沒有熟練新方法 我自己是用第二個方法的 熟練之後很多時候一眼就看得出 所以其實沒差多少 還更容易理解

[@timchen9263]

十字交乘法的guess & check需要更多對數字的直覺， 或許是因為這樣需要更大量的題目練習吧（然後碰到奇怪的數字就更多學生死掉

[@WalterHZDC]

我覺得十字交乘放在國中的時候可以順便培養學生對數字的敏感度

[@蔡-m8p]

第一個方法很好延伸去做心算 其他的一定要寫出來

[@zhlonny3489]

我是大陆的，我也喜欢用十字相乘这个最简单的方法做因式分解，配得出的话不用一分钟就得出2个解，配不出再用求根公式或者配方法，老美的方法我觉得多一个步骤。另外我们小时候会玩一种游戏叫【算24点】，用任意4张数字牌排列起来，用数学方法看谁先找出结果为24的计算方法，这个对十字相乘解题有很大的帮助

[@grason0011]

我全部的方式只會第一種國中教的,第2到第4不習慣用 還有另一種我們高中教的,長除法 或是綜合除法也可以 看最後尾數整數部份,-6的因數有+-1 +-2 +-3 +-6,就代長除法x-1 x-2...這樣除看看 使用長除法/綜合除法可以降一階,在解3次以上很好用,綜合除法會比較快 尤其到大學教到算矩陣特徵向量,3*3矩陣有1元3次方程式,要解3個特徵向量 把它用綜合除法降到2階,再用十字交乘法分解 不過也不能說美國教的不好,可以解出來最重要

[@bprptw]

忘了提到有人還會要我先用 x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) 把根找出來 4x^2-5x-6=0 => x= -3/4, x=2 然後就可得到 (4x+3)(x-2) 他們的說法是這樣就完全不用猜 所以看你怎麼覺得 可以在下面我們一起討論

[@李疾風]

但都知道解了就不用因式分解了吧

[@yeejianlim4463]

@@李疾風 如果题目只要求找factor后的expression可能可以用这个方法

[@AllanPoeLover]

我還是覺得第一種也就是台灣教法最直覺最好懂也最快 把 X^2 的係數及常數項做因數分解組合出 X 的係數為什麼會不懂呢？

[@bprptw]

@@AllanPoeLover 我也覺得 如果你查查英文的影片”how to factor a trinomial” or “how to factor ax^2+bx+c” 你會發現幾乎沒人那樣教

[@randint]

猜不到的時候很好用 有時我會因式分解卡很久，一直懷疑是不是沒辦法分解成整數 就用這個公式

[@WaterBear63485]

其實對數字有感覺的話，5個方法本質是一樣的，都在湊數，方法本身都沒有說明原因，但要講原因也很簡單，列出(ax+b)*(cx+d)乘開對應就很容易理解，因為題目設計過，一定可以解開整數解，真正有系統性的解法是ax^2+bx+c=0的二元一次方程式解，邏輯完備，沒有任何湊數的過程，但也最麻煩。

[@zoeliu6072]

我學的是這種耶，剛看題目是想到這個啊，難不成有新方法嗎？湊數的我不學，真奇怪是在學應付考試還什麼的嗎大陸那邊特別多，看了我爆氣。😂😁

[@wyiynhd]

​​@@zoeliu6072 不只應付考試喔！ 在作學術研究、業界研發的過程中常常需要作二次式因式分解，如果只會利用解方程式來分解的話，必然能找出答案，但會比較慢。如果會湊數字的話，在很多時候真的能夠加速這些重要但無聊的計算過程，對於做研究或研發確實有幫助。 至少在我比要熟悉的工程、物理、數學這幾個領域中，我知道研究人員普遍會使用此類湊數字的方法來幫助自己作因式分解，也就加速了研究的進行。至於其他領域，我沒那麼了解，但我猜只要會用到因式分解的研究工作，採用此類湊數字法應該都是很常見的。 我覺得方法本身沒有好壞，學一個新方法要花時間，但學會了之後你就能使用它來幫助你完成許多事。就端看你是否有那個需求，以及那個需求是否值得你花那個時間去學而已。湊數字聽起來好像不夠有系統性，但它就確實有助於加速計算，並不是一個壞東西。 真正有好壞之別的是人的觀念，如果今天某人學一個方法時只是抱持應付考試的心態，那這個方法對這個人而言就只有應付考試的功能；但如果某人知道要把一個方法應用到自己實際需要做的事情之上，那這個方法就確實能發揮那個功能。

[@suncongdesyn6361]

ax*cx + b*cx+d*ax + d*b

[@李疾風]

第五種就是把第一種的交乘相加移到中間而已啊XD 我還是喜歡十字交乘 2 3 4 可以說是越來越奇怪了

[@MrKiar1611]

其實都有個前提, 就是這一題必須是試題, 數字不能大還要能整拆才行 1到5其實都一樣是靠猜, 只不過是格式上寫多寫少的區別 現實中的應用基本上是拆不開整的, 更多的是收集一堆數據後用一個function 來描述整個set

[@yyt1285]

有理，我看完也有這種感覺，其實從1到5都一樣是猜出一個解答，重點還是找到令X一次項可以符合的兩個因式，這五個方法仔細想想還真就只是圖案畫得不一樣，還是比不上公式解可以直接求出答案來得容易！ 不過在教育學生的方面，或許不同的畫圖方法可以讓每位學生都各自掌握適合自己的方法，畢竟每個人解同一道題目的思考順序/習慣會有所不同，總的來說對於可以輕鬆用十字交乘法找到答案的人來說沒有幫助，但如果有人從中受益因此對於一元二次方程式開竅的話，我還是覺得這是一個很棒的影片👍

[@fishlovecat]

謝謝老師分享，我覺得第四種是這樣看的： 4x^2-5x-6=(ax+b)(cx+d) x^2-5x-24=x^2+(ad+bc)x+(abcd) (x-8)(x+3)=(x+ad)(x+bc) 除以4的部份(x+ad/ac)(x+bc/ac)=(x+d/c)(x+b/a)分母抓到一次項得(cx+d)(ax+b) 真的是一個很巧妙的方法耶！

[@便隨-j9x]

謝謝你分享一般化的分析，影片中都沒提到！

[@AshLaboratory]

解釋得很好^^

[@tonyjames1858]

你才是高手。我想让孩子自己想出来这个原理可怎么也不成功，最后还是死记十字相乘法了

[@star_rainfall]

儘管他巧妙，可惜不夠嚴謹，只能算是投機取巧。因為這等於是用了另一個同解的方程式來因式分解，最後再調整係數成原式。實際上，兩條式子依舊是不同的，不能相提並論。 你們要知道【4x^2-5x-6】跟【x^2-5x-24】終歸是兩條不同的函數。

[@arthurhuang6160]

(ax+b)(cx+d)＝ac*x^2 +(ad+bc)*x + bd 若 x 平方項系數是 1 就容易十字交乘，(常數項) 乘 ( x平方項常數） 剛好配對成 x 一次項常數 若將方程式改為 x^2 +(ad+bc)*x + abcd --> (x+ad)(x+bc) 對比 原式 (ax+b)(cx+d) 把 (x+ad) 項的 a ，移到 (x+bc) 項中的 x ，(x+bc) 項的 c ，移到 (x+ad) 項中的 x 這基本上是一個對比出來的技巧， 從通式上是可以運用， 不過 ac*x^2 +(ad+bc)*x + bd 與 x^2 +(ad+bc)*x + abcd 畢竟是兩個不同的方程式，幾何上的曲線也不一樣。

[@ihady2]

第四種方法也是第一次聽到，個人理解為：「創造了新的不同方程式，用以解析原方程式。」 以公式解分別去觀察ax2+bx+c=0與x2+bx+ac=0 會發現答案差了a倍，但是判別式是一樣的。 因為判別式一樣，所以當原本的有解，創造出來的新的肯定有解，反之亦然。 所以利用比較好解的創造出來的新方程式，去求原本方程式差了a倍的解， 這是有理論根據且完全能打的漂亮解法。 那些不高興的數學老師應該是懷疑理論根據，跟他們說一下道理應該就能懂了。

[@star_rainfall]

但是第四種方法有個但書，就是abc不能有最大公因數，意味著該法並不適用所有因式分解。而且，這個方法沒有證明，只是用另一個同根的方程式來作解，然後再把係數找回來。除非他能提供完整的證明，否則這只能算是偷巧的方法，算不上正規正統的嚴謹方法。

[@ihady2]

已經完整證明了唷 😁

[@趙世民-u5m]

前半部用方法二，後半部用方法一。 先用方法二得到 (-8, 3)，所以 4x^2-8x => (約分) x-2，抓到一組解。然後就可以套回方法一: 台灣一般的十字交乘法。

[@luke74143181]

方法2和方法3，重點在那個ac組成的 " 邏輯 " 也就是這個算式 " 關鍵心法 " ，一樣是要學生學會個心法，為什麼要去推導ac，比直接教學生十字交乘的 " why " 更有邏輯性，有邏輯性就可以遵循，對教學為目的而言，對學的人來說比較好理解 說真的，以一個已經38歲的大人來說，我更希望當初學的是方法2和方法3，好像讓數學更有趣

[@anna-marialiu9467]

在數學教育學領域，這個二次方程的因式分解的教學方法與理論可以上升到碩士論文等級，每年的每學期都有成百上千人就這個問題來寫學期期末論文或甚至畢業專題論文。

[@陳冠霖-f3o]

Have been watching your channel to solve my problems since I was studying in the US. Never occurred to me that you come from Taiwan too! Wow!

[@2688jojo]

對人類來說，觀察垂直和水平方向的直線，比起觀察斜線容易許多，斜線難度就會高一些，第五種方法畫成表格的形式，就會把斜線變成直線，於是大腦比較輕鬆處理問題。

[@TheAZ689]

youtube演算法推我來這，很棒的教學因為對於數字不敏感的我而言，使用第2種與第5種分解法能夠理解數字的來源與分配(拆解後的數子與正負)，我討厭十字交乘法因為當數字很奇怪或很大的時候，對數字敏感的心算優秀的同學很快得到答案，我討厭需要依靠個人素質的公式，有些人說提高演算題目就能增進敏感度，那不好意思要我比喻烹飪的少許、適量這種需要個人敏感度的東西，就是有人無法被培養出來(廚房殺手)，老師的一句話為什麼你算不出來?這很打擊人....因為我就是數學麻瓜沒有靈感

[@bprptw]

老師很不應該這樣跟學生說的 我希望你好好加油 好好努力 我祝你進步成功

[@DreamYeh]

第五個方法跟台灣熟知的十字相乘法其實根本一樣，只是台灣十字相乘法自然地省略x的書寫。這幾個方法我比覺得地四個amazon法看起來比較不同。 最後說一下這一題對台灣數學能力強的人用十字交乘法是秒殺題，因為4不能拆成2x2，否則中間必為偶數，拆出4,1後，後面只有1,6和3,2兩種拆法，但看到5這個不大不小的數，大概就能猜到3,2。這是一種有點數學直覺的感覺。 同理我們可玩玩看 12x^2 + x - 20，比較幾種方法。可驚奇發現十字交乘法仍差不多秒殺，第二種方法需要多寫一點，第三種是第二種的簡化，但第四種方法就會失效了，主要就是240太多因數拆法了，很難馬上想到16*15這組解。

[@chinchang5117]

在新加波， 我们有一种按记算鸡的方法。要用 casio 96sg. 如果记算鸡给你 -3/4， 那就是 （4x + 3).如果记算鸡给你 2， 那就是 （x - 2). 如果记算鸡给你 7/9， 那就是 （9x - 7). 记算鸡给正数， （） 里面就是 -. 记算鸡给负数， （） 里面就是 +. 有一点肚烂。

[@parhelian]

I don't know about TW vs US. I learned the first method (FOIL) thirty years ago when I first got into quadratic equations in the USA. I also had some reference TW books at the time, which were similar to what was taught here in the late 80s. Once I learned the proof for the quadratic formula, all the properties I learned about quadratic equations became obsolete, unfortunately. Perhaps, things have changed nowadays.

[@s96167]

第一種適合心算強的人使用，所以華人普遍會這樣教是因為已經培養出良好的數字感，第二種就是很標準的建構式教學法，第五種就是把中間過程到最終結果實體化，但第一步到中間過程還是需要try& error，數字感差的人還是第二種比較適合，只能說因材施教很重要

[@TIME0414]

第五個很厲害 直接把公式表格化 讓人更輕易看懂

[@pashaw8380]

台灣學生學到的第一種方法是缺少系統嚴謹性的方法，用inspection去“判斷”再猜測出結果。這種方法很有限，屬於局部的方法而非global的方法。反觀根式解的方法是透過二次函數定理去瞭解因式分解與求根的關係及意義。這是有嚴謹性的方法，因爲懂定理就會知道其幾何意義，瞭解在R2空間上的兩個實根會通過零點得到一條光滑曲綫。爲何要分解就是因爲在面臨求極限的時候，由於函數的複雜性導致無法在最清楚的情況下得出極限值，因此可以透過分解方程式來求極限。試圖把幾何與代數連接在一起就能得知兩者之間的互通性，進而去對類似的問題做推廣。這個就是美式數學。爲何美國的數學班級裏總會有一兩個孩子會特別對數學有興趣，進而對數學做更深的鑽研，而台灣的學生學完快速方法後也就把東西還給老師之後也不太會繼續在數學裏做深造？就是因爲台灣的數學教學缺乏創造性和啓發性，多半都是去做心算計算而忘了數學真正的内涵。學生常常算到最後不知道自己到底在算什麽東西，但只要把答案弄出來就好了。

[@水木刃完真]

要討論嚴謹的話 影片說的是三項式不是方程式 套入求根概念就已經不能說是嚴謹了

[@arflare7369]

@@水木刃完真 此言差矣

[@win0978]

的確如此！數學的意義在求得通解，而不是湊出來的答案。

[@qhs922158]

看完这个视频回复的人或多或少都不是厌恶数学的人，这样讨论方法会不会有幸存者偏差？ 我的意思是，我们用哪个方法其实只是熟练度的问题，做多就会了。 不知道那些觉得因式分解困难的学生觉得哪个方法更接地气呢？

[@khinghak]

method 1 和 method 5 不是同样的吗？ method 2-4 可能要花点时间消化，我不太敢用来教学😅😅

[@songweimai6411]

谢谢老师。英文google a=b(mod n)才发现老师。发现得太迟了，哈哈哈。老师比教授和书本讲的明白太多了。大陆上的高中。因式分解的办法有好几种，都忘得差不多了。一元二次方程，最快最好用的是第一种，十字相乘法。（ax+b)*（cx+d)=（ac）x^2+ (ad+bc)x+bd=0这个式子就是所有方法最后的核心。就是要找到两个（）*（）=0的形式。第一种十字相乘方法就是式子带入。第二种方法叫做：凑配法，降次法。4X^2=等于什么X乘以什么x得来的，如果他有整数解。我们可以目标是提取4x分离出了，什么加什么等于-5x，因为第三项是-6，后面也需要消失，4也需要分离约简。所以就优先考虑，4和6的约数（-4，-1），（-8，3）等。打字很难讲明白，大概就是这样。凑配法是化简和变形经常用的吧。第三种和第四种方法的/4是利用公约数的问题。哈哈哈，长见识了，解一个一元二次式子原来可以有这么多切入点。

[@f99yes]

第一個解題方式沒有解釋為什麼要用4、1與3、-2，而第二個解題方式有，找了一下教育部教材，台灣到現在還是用十字交乘法，也還好數字不大，不然當年傻傻的我都不知道要花多少時間解題。

[@rebucato3142]

我自己是比較喜歡第四個方法，因為十字相乘比較難心算，要記住4個數字包括正負號，第四個方法你指要記住ac，然後分解ac，再記得分解的那2個數就可以得到答案 不過看留言很多人都寧願用一般人習慣的十字相乘或公式，我有點驚訝

[@101_05何宥麒]

？？？

[@mamamamama12345]

感覺一到五都一樣怎麼辦😂 尤其是一跟五 學校教的是一 自己寫寫就會變成五😂

[@weiyinglin-g9n]

老師的教學真棒，看了第二種方法，第一種我記起來了❤

[@駱丹青]

看了很久終於不用燒腦又學到新東西,有沒印度如何教的不一樣方式?第4種雖不是最簡意易.但有承上啟下.台灣版最快.但就像99乘法背的一樣.複雜一點的絕對不知如合下手.超過乘法表範圍就容易翻車當機。數學是要以簡御繁.但決不是揠苗助長.很多人數學不好一半被老師教壞了。解題的目的是熟練.但重要的是數學要教的定意義與運用.計算過程比較算旁枝末節.但往往是佔據最多時間的。尤其是答案不對就全錯.方便了老師卻害了學生。老師os:丞妾也千萬不願意.一次改50人作業試卷.你行你來。

[@oscartan255]

我记得10年前在大陆（初中）学因式分解的时候，十字相乘法只能用于做选择题（追求快），和不需解题过程的题，属于不严谨的“捷径”。解大题（需写步骤）必须用传统的公式法。

[@shyboy6373]

雖然第二個方法蠻有系統性但其實它也是要猜數字呀，我個人還是覺得先用第一個方法觀察，不行的話再用公式解確認。話說老師喜歡用哪種方法呢?

[@聖哲林-n1s]

如果真的沒想法… 公式解萬用！！！

[@georiashang1120]

方法1的十字交乘没学好，遇到四次方程就很麻烦。中学的一元四次方程基本上可以双十字交乘来解决。

[@georiashang1120]

曾经我和外国人讨论过双十字交乘解四次方程，他们说我的方法有变态（my method is sick）

[@jpgzxc60214]

我想分享我對第一種方法的優化： 此多項式沒有大於一的公因數 -> 4x^2 不可能拆成 2x*2x (因為4與6有公因數2) -> 所以拆成4x*x -> 4x的對面一定不能式2的倍數 -> 所以放3或1 -> 排看看 -> 求得 (4x + 3)(x - 2)

[@lawyal]

你这个方法好！

[@陳俊男-z5i]

因式分解，難在原係數要分解成那些數相乘，如果都知道要分解成那些數字了，不管那種方式都簡單。試試看二位數係數跟三位數常數的分解。。。你就會發現不管那種方式都難。更何況還要a×c呢！

[@WENRUAY]

(ax+b)(cx+d)的展開得到: acx^2 +(ad+bc)x + bd 第一項乘第三項就得到acbd的互乘, 第二項就是十字交乘法的和, 先得到acbd的乘積, 再以第二項細數檢驗十字交乘的結果 這就是美國法的精神.

[@張俊卿-o2w]

那為什麼要acbd 相乘呢

[@WENRUAY]

@@張俊卿-o2w 這些其實都是十字交乘法的「解聯立方程式」罷了，只是列與解的習慣不同而已。

[@AshLaboratory]

​ @張俊卿 承Wen-Ruay Tang的算法，我換一下符號比較容易理解。 (Ax+B)(Cx+D)是我們要求得的式子，先把這個式子展開：(AC)x^2+(AD+BC)x+(BD) 對照影片的式子ax^2+bx+c (PS, 在影片中的題目，a=4, b=-5, c=-6) 所以對照展開的式子，a=AC, b=AD+BC, c=BD 因此在第二種方法中，ac=AC*BD=ABCD=AD*BC 發現了嗎，我們將AD換成另一個符號ㄅ，BC換成ㄆ，則ac=ㄅ*ㄆ=-24，b=ㄅ+ㄆ=-5，解出ㄅㄆ就是答案了。 以此題來說，ㄅ和ㄆ解出2個解為-8及3，就看哪一個和a有共同因數可以做進一步化簡。 (AC)x^2+(AD+BC)x+(BD)，括號換一下變成(ACx^2+ADx)+(BCx+BD)， 其中AC=a=4，AD要能和4化簡，那就選擇-8，那BC就只能選3 所以就會變成(4x^2-8x)(3x-6)，繼續化簡就會變成(4x-3)(x-2)

[@win0978]

@@AshLaboratory 我看得懂你講的，但是重點還是在"湊"，我要一個方法算出a,b,c,d的值。

[@nyctoplankton]

第四種方法第一次知道，好巧妙，想了一種解釋為何可行的證明 根據 Gauss's lemma，整係數多項式在 Q[x] 可約 iff. 在 Z[x] 可約 給定整係數多項式 ax^2 + bx + c 令 u = ax，我們想證 ax^2 + bx + c 可因式分解 iff. u^2 + bu + ac 可因式分解 1.(=>) 設 f(x)g(x) 是 ax^2 + bx + c 的因式分解，然後 u^2 + bu + ac = aax^2 + abu + ac = af(u/a)g(u/a) 因此 u^2 + bu + ac 在 Q[x] 可約，也可以在 Z[x] 可約，換句話說，可以因式分解 2.(

[@骷髏的回憶]

可以用余数定理做，也可以用求根公式配合待定系数法做，都是很简单的。就是要多学一点点理论。

[@JasonWGamingnProd]

老實說我都覺得十字相乘很玄，基本上就是猜數字，要考慮正負數，然後又要把他們相乘相加，又不知道答案是不是複數根，我每次用十字相乘都要把所有組合都試了一遍才可以解到 所以到了高中，我只會使用方程來解，幾秒就算到出來了

[@win0978]

而且十字交乘只適用整數，而且數字大一堆因數就完了。

[@HokomiliChen]

我很欣賞第四個方法的幾何意義(其實英文就已經說明了)，他利用二次函數拉伸的方法來把a標準化，拆分後再把他拉回來，一般都是對向量標準化，誰能想到把曲線標準化，真心佩服。

[@JGKillMe]

你這麼一說變的很牛逼，確實是標準化

[@BananaTeacher1314]

其實國中在學十字交乘法之前有學因式分解，因式分解就有教過類似你所說的美國方法的基本概念，十字交乘法只是讓學生更快速甚至心算都能算出答案，在台灣考試因為題目多時間少，如果每個問題都朝原理方向去思考，可能就寫不完，老實說美國方法真的慢很多，不是說美國方法不好，而是不適合台灣目前的教育制度!

[@Schinshikss]

而且如果給學生循序漸進從第二種方法教到第一種方法的話，會留下來繼續用第二種方法的人恐怕不多。

[@hsuan-yuchang329]

還是比較喜歡十字交乘，另外3有個前提是拆開的因式係數裡不能有公因數（或者拆完要再檢查一次） 比方說6x^2+2x-20應該拆成(2x+4)(3x-5)，但用方法3會變成(x+2)(3x-5)，把第一項裡的2一起消掉了

[@Steven-ov4no]

這應該是對於三項公因數為1的做法，你舉的例子要提出2，只要提到沒公因數，這方法就沒甚麼問題了

[@yutinlai]

i like the #4. and agree that the #5 is an easier way to let the students to understand. （補充：當我學到牛頓定理的時候，就更加幫助我記憶此第四種方法了）

[@joehsu2435]

同樣都得把數拆開來交互相加減，第二種方式多了ac相乘一步驟，且後面的不寫出來實再難以推出結果，第一種方式熟的人心算就能寫出答案，以台灣有限時間考完數學實沒時間讓你慢慢推

[@8852087]

離開國中已經20年了... ,只記得考題有夠多 ,不容得考生慢慢想 ,考試時至少都會是2位數以上的一元二次 平方根要背到30*30才會夠用 第五種方式 ,有利於一開始教學生

[@ろりころん]

我好喜歡第五種！沒想到把有這種解法！跟台灣教的方式根本截然不同！謝謝你的分享

[@CCChen-hr8nu]

方法1的原理都沒講清楚就說方法2比較好理解，我是覺得不妥當。 方法1是分配率（ax+b)(cx+d) 乘開後X二次係數ac=4 零次項係數bd=-6 然後一次係數比較麻煩是ad+bc=-5 而且這裡其實可以先訓練排列組合的乘開方法，懂原理其實很有用。真的懂原理後面的延伸 (ax+b)(cx+d)(ex+f)二次係數acf+ade+bce是可以從方法一銜接下去的，不過湊數字的部分的確是比較麻煩

[@ax_tube]

重學一遍因式分解，很棒呀！

[@joe40173]

其實1.4.是牛頓一次因式檢驗法， 2.3.就是丟番圖代數解法， 只不過都是所謂筆記速解， 學生不能接受是因為書寫習慣不同， 如果正反原理都教應該就可以接受了吧?

[@YoutubeYoutube-vj6ul]

背根公式，硬湊 ，分不出來也可以知道。( 2a分之-b 加減根號b平方減4ac)

[@Fengchen0720]

感覺用十字交乘還是比較習慣😂😂

[@user-bl4zj6wt9v]

還是第一種最簡單直覺明瞭, 其他反而容易弄錯!

[@dango_531]

十字交乘我從一開始就不會😂我是直接寫兩個掛號，掛號內先寫X再去想一般項要怎麼配

[@yegc22]

十字交乘法基本是純粹的嘗試和驗算法，數字小就還好試。我常用以下的應用問題來體會十字交乘法的精神，供大家參考。 兩個連續正偶整數的乘積為7224，求此二數？此題是四、五十年前的高中聯招題，很少人在考試中做對，沒有時間壓力找出答案不困難，國中畢業生如何在有限的時間找出答案，才是難度。

[@win0978]

會很難嗎？ (x+1)(x-1) = 7224 解方程式就好了。

[@chengyujie]

我小時候學方法1（學校標準教學版）。 說真的…這幾個方法說到底還是跟方法1一樣的邏輯呀，只是用了不同的外包裝，那麼，好好的用方法一不是更簡潔嗎? 尤其最後一個方法，跟方法1到底有什麼不同?

[@intaiwan3211]

數學學習最重要的是過程給了什麼啟示 而答案只是結果 知道結果不等於能創造新的思維 物理界的變數在於過程，如果無法理解過程那麼每個人都只求答案是不是每個人都是天才還是笨蛋？ 相信愛因斯坦也是一在過程打滾才能成為世紀天才。 如果二個人從A 到B一樣到達終點，但其中一個走了近路 、一個走了遠路才到終點，相信以後二個人碰到問題時一定會是曾經走過遠路的人比較有機會解決問題。 以上個人觀點 我一直認為所有的結果都是1沒有2 一個蛋糕切成二塊是2個1或切成四塊就是4個1 但其2塊或4塊蛋糕就是1，所以沒有2與4還是只有1。

[@comefromwest]

I don't get it. 為什麼會接受不了？ 在我看來，因式分解就是根據分配率，前面分配率有讀懂再看因式分解就知道原理了。 離開學校很多年了，不知道現在學校怎麼教因式分解，至少我在學的時候都是先教分配率再教交叉相乘，並解釋兩者的關係

[@1333poke]

其實我覺得數字比較複雜的時候，美國的方法會比較好做，因為只要把ac的值做拆解相加後等於b就好了。 但十字交乘法需要分解a和c，分解完還要交叉相乘看看是否會等於b。這方法數字不複雜的時候可以拆解的很快，但數字如果比較複雜，你可能要拆解很多次，來嘗試怎樣才能加成b。

[@arthurhuang6160]

我認同你的看法。十字交乘法要分解a和c，等於要試拆(猜)，若 a、c 個別都可以拆成三組，那排列組合就很多了。若 a=16 ，就有 (1,16)(2,8)(4,4)。美國的方法直接系統化。

[@华夏蒲公英]

@@arthurhuang6160 不一定哦。。你不能确定，每两个数，都能产生十字交差上 -24 和 下面的-5吧？。。。

[@lkjiwerglkajf9324]

十字交乘當然不能適用所有的情況啊…簡單的很快就能分解 複雜的就換工具啊，每個工具有最適合的情境 比起一套用到底又慢的解法好多了

[@candyboyrobert2033]

請問老師，以第二種方式計算，若ac項二個因數排列相反位置，可能會有二個答案。 例如:(3x-5)(2x-6)=6x^2-28+30，其中ac以(1).-18,-10,或(2).-10,-18,兩種方式排列計算， 則得出答案分別是(1).(x-3)(6x-10) (2).(3X-5)(2X-6)。 若遇到此種情形怎辦?

[@PipaQinse233]

6，28，30有最大公因数2，把两个结果中的2提到括号前，就变成一样的了

[@RONG991]

好想給老師教 幸好老師有分享這樣的方式!! 好在我有看到 剛學一元二次三項式的同學真的會不懂交叉分解 也不懂這個邏輯點在哪看到有一樓的留言有說也認同確實與樹感差的人有很大的弱勢 個人認為最後一個有點像是第一個公式與第二個公式的組合但卻又有邏輯讓人知道這個到底為甚麼要這樣做 最後也祝老師幸福!! 數學不是為了考試而誕生沒有人有義務被考試給綁住

[@bprptw]

謝謝 我也祝你幸福 加油！

[@heguangji]

大陆这边两种方法都有教 我一般会用第二种 比较好理解的方式考试的时候不会因为慌乱而出错

[@sky-3242]

一元二次方程的两个根 x1 x2 关于b/-2a对称 利用 x1 x2 =c/a 构造平方差公式 （b/-2a +u )（b/-2a -u）=c/a 5/8 ^2-u^2=-3/2 25/64-u^2=-3/2 u=+_11/8 x=5/8+_11/8

[@AzarathGirl123]

初中時學的就是第一個方法，當時我就很不滿意，覺得答案是瞎蒙出來的，靠trial and error，完全不像在做數學。其他四個方法就是比較有儀式感才讓人感覺有說服力，其實還是有點瞎搞胡來的感覺。 當時我的補習老師手把手教我推導quadratic formula 我才感覺好一點

[@蓉兒很乖]

第二個方法很好用，但如果a·c的值很大、很多因數的話，不使用計算機，有沒有方法可以較快想到兩數相乘等於a·c和兩數相加等於b？

[@趙世民-u5m]

可以藉助算幾(不等式)的觀念，知道當兩數相等時，兩數相加的絕對值最小。有助於找到此兩數的方向。

[@wai6087888]

請問一下slide and divide method他的原理是什麼 謝謝

[@acct1345]

十字交乘會不好接受可能是因為在交乘當下不知道這動作想要得到什麼，但如果從結果回推，就會很清楚知道交乘是為了得到x的係數。也許可以先將結果定為（ax+b）*（cx+d），這樣是不是比較容易意會到交乘在做的是(a*d+b*c)*x的動作？ 另外第二種做法讓我耳目一新。

[@能吃美食是福氣]

同感，我都時這樣教學。 第二種確實給我探討延伸出另一種思考，比較可惜的是不適合目前台灣教育體系

[@lswang1112]

@@能吃美食是福氣 完全不明白 是你的腦袋跟不上教育體系還是這方法跟不上教育體系

[@franky7451]

我的媽呀，離開校園已經好久，感覺你的教法很猛! 回憶直接湧出腦袋!

[@ck574b027]

真的是歷練多了才會知道以前在不爽什麼。演算法有個詞叫 brute force，暴力解。就像寫數獨，照順序試並不叫解題，因為暴力解誰都會，根本沒有解題的樂趣。 並且不爽的點並不是不該用第一個，BF 的確是一個方法，很多時候都會用到。而是暴力就暴力，不要再取別的名字，第五個就證明形狀一點意義都沒有。 頭尾相乘雖然也算暴力，但是只需要找一個數字的因數，可以在這基礎上做優化，很多人都說第一個可以訓練數感，卻沒想到在第二個建立數感，速度可以變多快。

[@sovietwizard1620]

我是在美国出生的，我们这边不会用那个AC方式因为其实很慢也很没有用（就会用普通的“台湾”方法），我其实也见过，我不是说没有人用那个方法，只是我觉得是因人而异我只想澄清一下

[@TrinaLydia]

香港的方法： FORMULA 01 (Fx50FHII method)

[@winghei10]

我是首先讓學生觀察做展開算式，例如是： (x+6)(x-4) =x^2-2x-24 當中的-2與-24如何得來。 然後讓學生明白我們要在24的因數中，找出可以相加或者相減得出-2的一對因子。 所以片中的十字相乘其實不可以只寫一對因子，我們應該要列出C的所有因子，然後看看哪個相加或者相減得出B。 列出的方式會是這樣 1 2 3 4 24 12 8 6 如此列出可以容易作出直式相加/相減 先學好x^2-Bx+C。 再用學ax^2-Bx+C，學這個時，要強調需要把A的因子也寫出來一個一個配對試，還要反過來試

[@疾風幻影]

講一大串，舉的例子乘出來結果就是錯的，-4+6=？，你自己檢查清楚再發表吧～

[@sheuyeling9210]

I prefer method 3. The only method without trial and error! The students who learn this are ALL the beginner, they are not familiar to get the answer in first trial, 4x^2 can be factorised as x(4x) or 2x(2x) and -6 can be 1(-6) or -1(6) or 2(-3) or -2(3), so altogether 8 combinations! Why it is weird to divide by 4? It is because at first you take the -6 multiply by 4, that’s why you have to divide by 4 later. Just like you borrow something to help you to start the move, once you have done you have to return it! It’s a very simple theory to be understand by the BEGINNERS! All my students love the method I have been teaching for the past 20+ years.

[@limhongming7939]

我是马来西亚的学生，我自己用的方法是第五种，但是我遇过的4位不同的数学老师，所以我学过第一种，第二种，第四种和第五种，最后一个是我最明白的方式也是我认为最适合我的方式

[@trytesting4114]

i was taught with method 5 but all the calculation are done i my head. this is the first time i saw written down. nice

[@洨玉-d2d]

我是台灣人。都是選擇題直接看選項

[@willie0608]

第五個我一開始學的時候蠻常忘記 就變成說寫在算式的上方跟下方哈哈 或是跟同學交流過後 先把交叉X 這個符號先寫上去 比較不會忘記是要交叉相乘相加等於中間

[@李威廷-i7t]

其實核心概念都一樣，都是十字交乘法 而方法1就是精華，精簡了許多步驟 不能理解是因為這是方法 講清楚原理，就能接受

[@李威廷-i7t]

就像移項法則一樣，懂原理就理所當然

[@天晴好睡觉]

对啊，所有其他方法感觉都是十字交乘法的复杂化。。。

[@honami_ap]

台灣教育：公式解（國中生路過，我們解一元二次方程式時，老師都叫我們用公式解，考試比較少考因式分解） 感覺方法4蠻適合我的（超懶）

[@jashuayuan8]

第二種方法是教因式分解一開始的介紹方式，第五種方式是你明確知道拆開來的結果，如果數字複雜一點要去試看看還是十字交乘法比較好用

[@siyuan-gv8zg]

这是我对第四哥方法的解释 4th method Explaination x² - 5x -6 = ( 4x - n ) ( x + 6/n)= 4x² - nx + (24/n) x - 6 -nx + (24/n )x = -5x -n + (24/n )= -5 -n² + 24 = -5n -n² + 5n + 24=0 n² - 5n -24=0 (n-8)(n+3)=0 IF n=8 -n= -8 6/n = 6/8 = 3/4 (x - 3/4) (4x+8) written as (4x-3)(x+2) IF n=-3 -n = 3 6/n = -2 hence, the answer is（4x-3）(x+2)

[@zhoujinpei]

確定5是1的優化嗎？應該是5是1的基本型，1是5的優化吧？在台灣，一般也會先教不省略x的寫法。從原理來看，十字交乘才是最簡潔的。至於2、3、4，它們的原理大同小異，但要解釋清楚反而較費力。

[@romanliu4629]

在中国学到的分解方法：1）目测分解，全靠直觉；2) 2a分之负b加减根号下b平方减4ac，多念几遍，要能随口背出来。

[@thzhang4402]

哇，第三种方法真的好好用，谢谢分享！

[@reddie0939]

以前我使用 (4) 算出答案，老師還是給予0分，還是需要用 (1) 去解答；不接受求解，其實求學過程老師真的很重要有些需要活用不是死背。

[@海文-w6j]

會拿到零分應該是你在錯誤的地方用等號連接了，而且要用其他方法最好要把你的方法寫清楚。如果你的過程跟影片一樣的話，我只能說拿零分不易外。

[@edwartdillinger6938]

原來老師你也是台灣人啊！？從推薦看到嚇一跳😂

[@MAYanRanMedea]

最喜欢5，简便而且万精油别的也可以套。然后是1，因为习惯了。最后是2(标准教学步骤，就是有点繁琐)。3一般刷题的时候才会用，就是题都做麻了，懒得算了，才会用一下😂😂4我没用过，但是问我老公，他上学那会用那种方法算，他还以为是他自创的😂😂

[@changmichael4489]

Thanks for your explanation.

[@zoeliu6072]

用猜的我都很堵爛，用猜的來計算宇宙時我能接受，其他用在計算本身時，超級無敵不是數學了欸，用公式？笑死人了背公式是用來的而已欸。歐對了這的確是考試。

[@楊惟程-b8g]

老師，請問如果次方更多的時候例如5次這樣有什麼快點的解法嗎，或是裡面有分數的，覺得這種都好難做分解😭

[@01Gshadow]

因式分解簡單的一眼就看出來了 就算看不出來用上面幾個方法也能很快求出 問題是考試就不考這種，反而考一些很解的 比如：x^2-49x+600=0或5x^2+6x-775=0 看到這種，用公式解硬幹沒有找因數來得慢 考越多只覺得台灣數學就是兩種題目，心電感應跟智力測驗

[@ArnoldYeh]

突然逛進來！ 雖然我後來進階一點的數學不是學得很好，但是基礎的應該都還有點印象。......我是中了曼德拉效應嗎？為什麼我記得這個因式分解有標準公式（程序）可以直接代入就可以算出答案了啊？！！ 這個怎麼感覺是在用九九乘法湊答案？.......😳

[@michaeltj8290]

這只是不同的算法，跟四則運算一樣，是一種skill，越方便算出越好，我還是認為十字交乘法較簡易。

[@brianhuang7927]

第一種方式是心算法, 以下是心算的過程, 總共有8種組合, 心中排列和寫在紙上如下, 每一種組合有五列, 在第三和第四列寫下交乘結果, 不論正負號, (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4 6 1 3 2 2 6 1 3 2 1 1 6 2 3 2 1 6 2 3 6 1 3 X X X X X 4 24 8 X X V (1) 這種組合交乘產生6和4, 不管怎麼加減都和-5無關, 打X (2) 這種組合交乘產生1和24, 不管怎麼加減都和-5無關, 打X (3) 這種組合交乘產生3和8, 相差是5, 所以是3-8, 這就是答案, (4X+3)(X-2) (4)及以下的都直接打X了. 這是在心中的系統性算法, 可以不必寫出來. 我也沒畫大叉, (但寫在紙上可以幫助理解吧 ) 第二種方式是演譯法, 不論正負號, 上面的八種算法的第三和四列相乘一定是24, 相加減一定要是5, 而組合(3)的3和8正是第二種方法的-8和3, 所以第二種方式只是第一種方式的演繹(deduction), 從第一種方法的八種組合演繹出第二種算法. 所以, 第一種算法的心算過程演繹成第二種算法, 如此而已. 對西方人來說, 科學的演繹與推論深植於文化中. 而心算藏在心中, 方便留一手. 以上是我的演繹與推論過程.

[@brianhuang7927]

上述例子的(6)和(8)沒有意義. 只是列出八種組合而已.

[@ccvs1214]

我會先把式子先除以4，再用台灣方法算，最後答案再剩4，此方法少了X^2的常數干擾

[@shanonling]

多此一舉，繞一大圈，還是我們用的十字交乘法好用。一次項用比例分開成2項，通常是用在多項式難題，全部有5項或7項，無法直接分組提公因式的題目。 除第1種十字交乘法外，其他第2~5種，有點像之前的建構式數學，繞一大圈，難用的很，不實際

[@AMOLEDTEN]

是看到鬍子才點進來的，看完後喜歡 3 & 5 兩種方法

[@徐祥紘-y4d]

我是用因數的角度來分解，把公因數先提出，在看頭尾的因數去配對，這樣很多組合都可以刪掉，速度會快很多，但學校老師都不這樣教