Теорема умножения вероятностей | Основные теоремы теории вероятностей

Продолжаем лекцию 2.
Первую часть смотрите по ссылке • Теорема сложения вероя...
В первой части мы рассмотрели такие понятия, как сумма событий и произведение событий.
Проиллюстрировали понятие совместных и несовместных событий.
Сегодня рассмотрим зависимые и независимые события, условную вероятность события А при наступлении события В. Докажем теорему умножения вероятностей как для зависимых, так и для независимых событий и получим из нее ряд важных следствий.
Приведем пример Бернштейна, в котором покажем, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
И чтобы понять отличие совместности и несовместности от зависимости и независимости событий сделаем обобщение, в котором приведем примеры совместных и зависимых событий, совместных и независимых событий, несовместных и зависимых событий. А в качестве упражнения будет предложено привести пример несовместных и независимых событий.
Ну и на примере проиллюстрируем для чего все это нужно.
Первую лекцию, состоящую из трёх частей смотрите по ссылкам:
1-я часть: • Теория вероятностей. Л...
2-я часть: • Теория вероятностей. Л...
3-я часть: • Теория вероятностей. Л...
Читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#условнаявероятность #теоремасложениявероятностей #теоремаумножениявероятностей #независимыесобытия

[@KonstantinShlyufman]

Прекрасная работа! Шикарно! Спасибо Вам за труд!

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@iamzeus1250]

Огромная благодарность!

[@warriorlight7449]

Чувак дай Бог Тебе здоровья !!! Я сам в книге когда пытался это понять как еблан потерял целый день , а Ты посланный с небес , Я теперь снова могу вернуться самообразованию благодаря Твоим видосам !!!! Да прибудет с Тобой сила тела духа и мысли движения !!!!!

[@warriorlight7449]

Кто лайк не поставит в этом видео , тот сука последняя !!!! Будете лайки ставить - тогда больше людей это увидят - а значит если инопланетяне захотят нас поработить ,то мы земляне будем иметь бо́льшую вероятность дать отпор . Я умнею с каждой минутой чувствую как растет мозг .

[@elemath]

))) рад, что смог поспособствовать Вашему возвращению на путь самообразования!)

[@elemath]

не, ну это лишнее! кто не хочет ставить лайк, так это его дело. И, как уже кто-то говорил, этот канал тайный, затерянный в дебрях ютуба. Его находит лишь тот, кому он нужен. Не все!

[@АмбициознаяМалышка]

Спасибо огромное

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@ИоМио-ь7л]

Спасибо

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@betepok4104]

Автору канала огромное спасибо за прекрасное изложение материала! Задание на 37:05 Начальные условия: Р(А) = 32, Р(В) = 48, Р(АВ) = 12, N = 100 Преобразим условие так, что теперь А и В будут независимыми событиями, изменив N на 128, тогда: Р(А) = 32/128 = 0,25, Р(В) = 48/128 = 0,375, Р(АВ) = 12/128 = 0,09375, Р(B ̅|А) = 1 - Р(АВ) / Р(А) = 1- 0,09375 / 0,25 = 0,375, подставляем полученное в формулу: Р(АB ̅) = Р(А) * Р(B ̅|А) = 0,25 * 0,375 = 0,09375, в итоге получаем равенство: Р(АВ) = Р(АB ̅) = 0,09375, которое подтверждает, что А и В независимые события. А это говорит о том, что при N = 100: Р(АB ̅) = 1/5. Такой подход имеет право на существование? После учета своей ошибки в расчетах, стало понятно, что независимость событий А и В (при с N = 128) можно вывести из равенства Р(АВ) = Р(А) * Р(В)...

[@elemath]

В случае 128 исходов событию "А и неВ" благоприятствуют 20 исходов, поэтому его вероятность равна 20/128.

[@elemath]

... и вероятность "неВ при условии А" =20/32

[@betepok4104]

@@elemath Да, вы абсолютно правы - забыл про вычитание из единицы: Р(B ̅|А) = 1 - Р(АВ) / Р(А) = 1- 0,09375 / 0,25 = будет не 0,375, а 0,625, что равно 20/32 :) Соответственно и тут будут изменения: Р(АB ̅) = Р(А) * Р(B ̅|А) = 0,25 * 0,625 = 0,15625, что также равно вашей дроби 20/128. А при N = 100, то что вы определили в видео как ДЗ: Р(АB ̅) = 1/5, верное значение? И сам подход к решению корректный?

[@elemath]

Да. это то, что попало в А и одновременно с этим не попало в В. 20 исходов. И разделить на общее число исходов (100).

[@betepok4104]

@@elemath Спасибо! Начинаю верить в свои силы))

[@РамазанДжанибеков-о8м]

Игорь Геннадьевич, большое спасибо за видео! Вопрос достаточно общий, но появился он у меня после просмотра данной лекции. Для начала обозначу следующие факты (может, проблема кроется в том, что я их как-то не так интерпретирую). 1) Несовместность/совместность графически обозначить очень просто: например, кругами Эйлера - события A и B совместны, если круги (множества) пересекаются, несовместны, если не пересекаются. Тут все просто. 2) Для совместных событий зависимость/независимость графически обозначить немного сложнее, но особого труда также не требует. События A и B независимы, если верно P(AB) = P(A) * P(B). То есть в кружочки теперь нужно добавить числа. Если же P(AB) [НЕ] = P(A) * P(B), тогда события зависимы, и выполняется P(AB) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B). Для независимых событий это равенство тоже имеет место быть, но тогда P(B|A) = P(B), P(A|B) = P(A). Значение пересечения множеств P(AB) интуитивно понятно - нам нужны те элементы, которые относятся и к множеству A, и к множеству B (10 человек сдают географию, 20 физику, 6 оба предмета: A = 10, B = 20, AB = 6, A+B по формуле включений и исключений 24 и т. д.). Так же стоит добавить, что в случае несовместности зависимость событий предполагает, что условная вероятность должна быть равна нулю, но к нижеуказанному примеру это никакого отношения не имеет. Теория, формулы, доказательства, графическое изображение общих случаев - все ясно. Отнюдь, на практике смысл вышеуказанного пересечения множеств далеко не так очевиден. В самом начале данного видеоролика в качестве затравочки Вы предоставили пример условной вероятности: 2 закрашенных шарика и 6 незакрашенных находятся в вазе. Формулы работают, да даже без них задача решается просто и понятно. Однако я уже не первый день не могу сообразить, как ГРАФИЧЕСКИ изобразить эту задачу? Если за 2 множества принимать A (6 незакрашенных шаров) и B (2 закрашенных), что является их пересечением? Ведь шарик ПО УСЛОВИЮ не может быть обоих цветов. Соответственно, событий несовместны. Однако все вероятности вполне себе не равны нулю, ни о каких пустых множествах речи не идет. Значит, опять-таки, множества должны пересекаться, но в чем смысл этого пересечения? Последняя моя мысль на этот счет заключалась в переопределении множеств - возможно, я не так определил множества A и B, но это неточно)) Хочется, до конца разобраться... Также в следующем ролике про формулу полной вероятности и формулу Байеса в начале приводится пример с тремя рабочими, каждый из которых изготовил 20, 30 и 50 деталей соответственно. Событий опять-таки НЕСОВМЕСТНЫЕ (одна деталь не может быть изготовлена несколькими рабочими), значит, множества НЕ пересекаются. Но события зависимы (очевидно, при вытаскивании любой детали, вероятность вытащить любую другую меняется). Никаких пустых множества нет, значит, должно быть пересечение)) Чудеса! Скорее всего, я просто туповат и чего-то не улавливаю. Еще раз громадное спасибо за Ваш труд.

[@elemath]

Посмотрите kzbin.info/www/bejne/gGi5Xqd9lLKZrcksi=T_XPD4dH8ckO1trO тут вроде были графические интерпретации если не всех Ваших вопросов, то некоторых уж точно. Да, если добавляется отчество, то имя вроде как прежним должно оставаться, хотя по большому счету это не важно.

[@РамазанДжанибеков-о8м]

@@elemath извините, только что отправлял письмо своему преподавателю по имени Олег, все смешалось, поправил)) Спасибо за ответ, сейчас сяду за просмотр!

[@elemath]

Пишите, если останутся вопросы.

[@РамазанДжанибеков-о8м]

@@elemath Игорь Геннадьевич, досмотрел видео с решением задач! Закрепил формулу полной вероятности, гораздо лучше понял формулу Байеса, но, к сожалению, ответа на свой главный вопрос не получил 🥲 Задача, по условию которой в вазе лежат 2 закрашенных и 6 незакрашенных шаров, интуитивно понятна, но ее графическое изображение я осмыслить, увы, не могу. События A (вытянуть закрашенный шар) и B (вытянуть незакрашенный) несовместны, но при этом зависимы. Однако в такое может быть только в случае, когда присутствуют пустые множества, ибо должна соблюдаться формула для нахождения P(AB), равной у несовместных событий нулю. Но A и B пустыми множествами не являются... в чем я не прав?🙄

[@elemath]

@user-ny7tb4nb6j Рамазан, пустое множество тут есть. Это АВ. Когда Вы рисуете картинку (скажем, в единичном квадрате), то А занимает четверть квадрата (2/(6+2)), а В - оставшиеся 3/4. События несовместны (множества А и В не пересекаются) и зависимы. АВ - пусто, р(АВ)=0, р(А)=1/4, р(В)=3/4. Почти это и было нарисовано в той лекции, откуда пришел Ваш вопрос, только там события А и В не образовывали полную группу (были непересекающимися кругами внутри прямоугольника).

[@warriorlight7449]

Мне лайки тоже ставьте , а то Я только сам Себе ставлю , а уже 5 комментов написал !

[@opvrf-ru]

Смотрю интересно все , переварить Не магу что как

[@PerfilevIvan]

События будут совместны и независимы, если одно из них, либо оба невозможны. Задание на 45:38 - события зависимы, так как а**2/2 не равно а/2 (если а-случайное).

[@elemath]

Единственное замечание "несовместные и независимые".

[@СветаЛ-у6в]

Возможно напишу глупость (только начала разбираться в ТВ), но мне кажется, что вытягивание шариков это независимые события. По такому же принципу работает жеребьевка, которую люди повсеместно используют, например, вытягиваение короткой палочки. Вероятность вытянуть короткую палочку не становится больше, когда палочек становится все меньше и меньше, это было бы нечестно по отношению к людям, которые тянут палочку последними. Когда палочек становится все меньше и меньше, то вероятность вытянуть короткую равна вероятности вытянуть палочку из оставшихся с учетом вероятности что до этого эту палочку не вытянули

[@elemath]

Вытягивание (разноцветных) шариков может порождать как независимые, так и зависимые события. Пример. В корзине черные и белые шары. Вытащили шар, посмотрели его цвет (например, черный) и положили опять в корзину. Тогда вероятность, что при втором вытаскивании будет снова черный шар не зависит от результата первого опыта. А если шар не возвращать в корзину, то будет зависеть. Тоже и про палки. Если кто-то вытащил короткую палку и никому об этом не сказал, то это никак не повлияет на вероятности вытащить короткую палку остальным. А если он всем рассказал, что ему не повезло, то другим можно уже не тащить... А честность... ТВ не про это.

[@lenamak3050]

А вот интересно про задачу когда мы меняем число всех исходов на 128 то события становятся независимыми.Например у нас на складе было всего 100 соков из трёх партий , причем одна часть пришла как принадлежащая к обоим. А потом вдруг нашли ещё 28 и теперь все поменялось? лучше вы примеры приведите для совместных зависимых и независимых и несовместных зависимых и независимых, когда их зависимость меняется от количесива исходов

[@belka-m5o]

Не заварачивайся, просто посмотри как проще, просто

[@warriorlight7449]

А как 10 лайков сразу поставить ?

[@МаринаКонцевич-щ8ш]

Присоединяюсь! Бог преподавания математики!

[@АлександрМясников-ю3л]

Простите, Игорь, возможно я пропустил. Вы вроде показали, что если события независимы, то вероятность произведения равна произведению вероятностей. А об обратной теореме Вы не говорили. Но много раз пользуетесь. Спасибо.

[@elemath]

Александр, укажите время по видео, где это было использовано.

[@marinachutskova9647]

Спасибо большое. Но я из той категории, что лучше воспринимают материал визуально, а не на слух. Буду признательна, если посоветуете литературу по теории вероятности и комбинаторике.

[@elemath]

по комбинаторике книжка Виленкина, я ее рекомендовал в одном из выпусков. по теории вероятностей много всего есть, но что-то хорошо написано в одной, что-то в другой.

[@marinachutskova9647]

@@elemath Виленкина штудирую. А по теории вероятности , что либо? Просто очень много литературы.

[@elemath]

Гнеденко. Вентцель. Боровков. У этих авторов неплохие книги. Каждая называется Теория вероятностей.

[@marinachutskova9647]

@@elemathСпасибо, будем повышать образование.

[@elemath]

дело хорошее.

[@Лев-й7я]

Круто рассказал не как ете блогеры у которых голос загробный

[@lenamak3050]

на 27 минуте не совсем понятно. Мы считаем вероятность события P(кзс) как вероятность события выпадания одной грани ? а справа подставляем вероятность одровременых событий, т.е события состоящего из совместных нещависимых событий, выпадания граней К и З и С, что возможно только если три тетраэдра бросаем и на всех появляется К (кзс) З(кзс) С(кзс)?и так же для двух событий сравниваем выпадание одной грани и события подбрасывания двух тетраэдров и соответственно их произведение иначе одновремено при одном бросании они не произойдут. Т.е по арифметике понятно так подставлять а по смыслу как бы сравнивается несравниваемое?

[@elemath]

КСЗ - одновременное появление трех цветов (или событий К-появился красный, С-синий и З-зеленый), что возможно лишь в одном из 4-х случаев. Событие "выпадания одной грани" в этом примере не рассматривается.

[@lenamak3050]

@@elemath это я понимаю. Но в правой части вы сравниваете 1/4, а это вероятность события появления КЗС при бросании одного тетраэдра, и произведение трёх вероятностей, что имеет место быть только при совместном событии трёх независимых событий К и З и С, что возможно только по бросании трёх фигурок? Можно ли делать такое сравнение?

[@elemath]

Это пример, который показывает, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности. События К, З и С попарно независимы (в лекции это показано), а для независимости в совокупности должно выполняться Р(КЗС)=Р(К)*Р(З)*Р(С).

[@elemath]

... и показано, что последнее равенство не выполняется.

[@lenamak3050]

@@elemath ну тогда мы сравниваем чисто арифметически( и это я понимаю) а не по сути происходящих событий? Вы ведь рассказывали что если мы бросаем один раз то вероятность появления ( если сравнивать с кубиком) КЗС это сумма вероятностей или К или З или С или КЗС ?

[@warriorlight7449]

Чё то Я с первого раза нихера не понял , но думаю несовместные независимые это круги которые не соединяются и в разных территориях ( прямоугольников, или одно событие в прямоугольнике а другое событие за пределами прямоугольника) , буду смотреть пока все не пойму

[@elemath]

за пределы прямоугольника вылезать нельзя! он символизирует общее пространство событий. Других нет.

[@markelafrikanov6811]

Жаль, поздно нашел!

[@elemath]

эх….

[@НетВобле]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с задачей. Вероятность попадания стрелка в первую мишень равна 0,6. Если он попал в первую мишень, то получает право стрелять во вторую мишень, в которую попадает с вероятностью 0,5. Какова вероятность попасть во вторую мишень (до того, как стрелок стреляет в первую мишень)?

[@elemath]

Здравствуйте! Попадание во вторую равносильно одновременному появлению двух независимых событий: А - попал в первую, В - попал во вторую.

[@НетВобле]

@@elemath, всё, въехала, условие недопоняла. Спасибо большое))

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@warhamer9984]

42:24 (несовместные и независимые) умножение должно дать ноль... Но как условное р(А) 1/4 и р(В) 1/4 умножением дадут ноль? Какой ответ?)

[@warhamer9984]

Возможно ответ р(АВ)^(-1)... Но я не уверен...

[@elemath]

в комментариях есть ответ)

[@warhamer9984]

@@elemath что то я НЕ нашел)...

[@warhamer9984]

@@elemath есть комент на 45 минуту, а мне нужна 42)...

[@elemath]

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0

[@ИванСмолин-ы4л]

Если изначально мы доказывали теорему умножения вероятностей для зависимых переменных, то почему она верна и для независимых?

[@elemath]

Мы доказывали теорему умножения для двух произвольных событий, которые могут быть как зависимыми (в общем случае), так и независимыми (в частности).

[@belka-m5o]

Тебе не кажется, что все проще, просто

[@luchens923]

Нет ли в рассуждениях про независимость событий (начиная с 30 минуты) математического троллинга (ну или логического подвоха)?? Ведь грубо говоря, Вы утверждаете, что есть вот формулы вероятности произведений событий,из которых понятно, когда события зависимы и когда независимы (и в школьных курсах так же определяют, как узнать зависимы события или нет, а надо по формуле посчитать: если вероятность произведения равна произведению вероятностей, то независимы). Далее (32 минута) приводите "абстрактный" пример и получаете два результата -при таком количестве события зависимы, а при таком независимы. И формально всё верно. НО...интуитивно мы понимаем, что зависимость/независимость событий это некое "физическое", что ли, свойство. Навскидку (не продумывал) - простой пример из Вашего следующего видео про полную вероятность - берем две детали, сделанные разными рабочими, и надо найти вероятность, что обе окажутся качественными - очевидно, что события независимы, и понятно, что это произведение вероятностей качественных деталей. Но если следовать изложенной Вами логике, то теоретически можно подобрать такие параметры выборки, что они станут зависимы. Или я неправ?

[@elemath]

Начните с определения, с чего начинается лекция. В Вашем примере про рабочих можно устроить зависимые события. Но это все в контексте задачи будет надумано. Например, второй рабочий сделал деталь, сняв размеры с детали, сделанной первым. Если бы он делал без образца, "на глаз", то и вероятность, что деталь окажется качественной была бы другой. В числах. Зная вероятности А, В и АВ, можно определить, зависимы ли А и В. А если известна вероятность АВ и А, то даже ничего не зная о событии В, можно так определить его вероятность, что А и В будут зависимы или независимы. Никакого троллинга!0

[@luchens923]

@@elemath Просмотрел ещё раз начало, но так и не увидел "секретного ингредиента" в определениях! )) Вы правы, конечно, насчет примера про рабочих - там можно что-то изобразить, но зависимость будет "надумана". Более релевантный пример: представим, что в Ваших примерах (с 30 минуты) эти круги изображают стрелковые мишени (в первом такая совмещенная мишень, во втором просто две мишени) и стрелок стреляет по ним. И распределение попаданий как в Вашем примере. Очевидно, что количество попаданий в ту или иную мишень - случайные события и независимые (а чтоб совсем исключить возможную физическую зависимость, пусть это будет группа стрелков, каждый делает по одному выстрелу). НО в результате "математического колдунства" получается, что если они сделают 100 выстрелов, то события зависимы, а если 128 , то уже независимы...а если 140, то снова зависимы?! ( Я в этом смысле про логические подвохи) Во втором примере, когда мишение не совместны, понятно, что зависимость/независимость попаданий связана, куда стрелки целятся - если они целятся в мишень А, то события зависимы, невзирая на то, что дает формула, а если им сказано, что они просто должны попасть в любую мишень, то событие попадания - независимы, несмотря на формулы. Тут нет спора, что зная некоторые вероятности, мы по формуле можем понять зависимость/независимость событий. У меня скорее уточнение, что не формулой определяется зависимость событий, как можно понять (и, уверен, большинство поняло именно так) из Вашей лекции. (что в целом для школоты не есть хорошо)

[@elemath]

С Вашего позволения все же начну с определения. Зависимость/независимость измеряет некая числовая характеристика - вероятность, поэтому от ее величины и принимается решение. Вы удачно обратили внимание на рисунки с кругами. Вы говорите, что А и В число попаданий из 100 выстрелов и делаете ударение на то, что разными стрелками (тогда события независимы). Но количество стрелков (от 1 до 100) совершенно не влияет на расклад по попаданиям, который изображен на рисунке. Выстрелы независимы, какой-то стрелок отдаст предпочтение мишени А, какой-то - АВ, но важны не они, а картинка на продврявленной мишени. Именно по результату стрельбы мы сделаем вывод о не/зависимости А и В (а Вы уже сочли их независимыми!). Пусть событие А - попали в мишень А, В - в В. Чтобы ответить на вопрос о зависимости/независимости этих событий, важно понимать, сколько пуль попало в АВ. Давайте возьмем картинку с 40:00 при 128 выстрелах 32 попали в А, 48 в В (А и В совместны). Зависимы ли А и В? Стреляли разные стрелки, если угодно. Чтобы ответить на поставленный вопрос, важно знать, сколько пуль попало в общую часть мишений, т.е. в АВ. Если в АВ попало 12 пуль, то А и В независимы, иначе зависимы. АВ может состоять из любого числа от 1 до 32, но независимость дает лишь 12. Обратите внимание, что Р(А|В) не зависит от общего числа выстрелов, а лишь только от того, сколько пуль из А попало в В, т.е. от АВ. И когда это число равно Р(А), то это и есть независимость. Кстати, при 100 выстрелах из которых 32 в А и 48 в В, подобрать число попаданий в АВ, необходимое для независимости А и В не получится.

[@luchens923]

@@elemath К определению претензий нет...почти. Претензия, скорее, к идеологии. Фактически, Вы говорите, что "вот есть формула и она определяет зависимость/независимость событий. И никак иначе" Кстати, в комментарии Вы даете определение немного в другой коннотации, но суть та же - только из формулы следует зависимость/независимость событий. Я понимаю иначе, и сказал бы так: независимые события это такие, что наступление одного никак не зависит от другого. И Формула вероятности события АВ всегда такая - Р(АВ)= Р(А)Р(А|В), но если события независимы, то она принимает другой вид Р(АВ)=Р(А)Р(В), и условная вероятность Р(А|В) =Р(В). Надеюсь, видите "физичность" определения (из зависимости/независимости событий следуют формула, а не из формулы следует зависимость/независимость. И тогда Ваш общий пример не может быть оспорен (и мои как бы контрпримеры попросту неуместны). Только подаваться пример (ы) должны как: вот когда мы ничего априори не можем сказать о событиях, то выяснить зависимость/независимость мы можем по формуле - в одном случае так, а вот в другом эдак. Насчет количества стрелков Вы правы - на независимость это не влияет. Тут моя "физичность" сыграла злую шутку:) Идея была такая: что если один стрелок будет стрелять, то он выберет какую-то одну мишень и будет целиться только в неё, и тогда количество попаданий в другую мишень зависит от попаданий в первую, а вот если стрелков будет несколько, то мы заранее не знаем, куда они метят (если им сказано, попасть в любую)

[@elemath]

В Вашем определении кроется тавтология. "Независимые события это такие, что наступление одного никак не зависит от другого". Вы же не сказали, что означает "не зависит"? Вот такой пример. я его рассказывал, не помню в какой лекции, может и в этой. есть треугольная пирамида, грани которой окрашены. одна - в синий, одна - в белый. одна - в красный, одна - во все три этих цвета. Пусть пирамиду бросают и она встает на одну из граней. События: А - на грани, на которую встала пирамида есть белый, В - красный, С - синий. Зависят ли события А и В? Если наступило А, то зависит ли оно от В? В могло наступить при этом (трехцветная грань), а могло и не наступить (белая грань). Как здесь работает Ваше определение? А все три события, зависимы или нет? Или пример с шарами в начале этой лекции. Зависят ли события, "второй вынутый шар - белый" и "первый вынутый шар - белый"? Объясните в Вашем ключе, без привлечения понятия вероятности. А формула - лишь свойство, которое упрощает применение определения...

[@АлександрМясников-ю3л]

06.05.2023. Привет, Игорь.Честно говоря, некрасиво получать при условии w НЕ РАВНОМ НУЛЮ выражение F/w = m, потом УМНОЖАТЬ ОБЕ ЧАСТИ НА НЕРАВНОЕ НУЛЮ w, получать F = mw (похоже на закон Ньютона?) и говорить, что это имеет место и при w = 0. Последнее заслуживает того, чтобы его обсуждать отдельно. Иначе Математика исчезает. Лучше просто ничего не говорить, в книжках не говорят о случае нулевой вероятности. Кстати, здесь также, как при доказательстве теоремы Безу. Сначала делят P(x) на разность (х-а) пр условии, конечно, что х не равен а потом при этом непременном условии пишут Р(х) = (х-а) Q(x) и без стеснения в это равенство подставляют х = а!!! На математических факультетах знают что здесь все надо делать на тоненького. Это я так, чтобы не оставаться в долгу за то удовольствие, которое я получаю от Ваших выступлений. Спасибо.

[@elemath]

Здравствуйте, Александр! Укажите, пожалуйста, время по видео, где это происходит.

[@belka-m5o]

Если применять усилия, то вероятность увеличивается

[@belka-m5o]

Спасибо

[@belka-m5o]

Можете ответить мне на вопрос? Логика может изначально быть абсурдна?

[@belka-m5o]

И возможно ли менять реальности. Возможное возможно?

[@elemath]

не знаю(

[@belka-m5o]

@@elemath возможно, если очень верить и хотеть