Теория кос | Действие на свободной группе: представление Артина

Часть 20. Мы обратимся к физической интерпретации кос и извлечём из неё новый инвариант, а точнее, действие группы кос.
Слайды: launch-control-center.notion....
00:00 Исторически первое решение задачи распознавания кос
03:42 Действие на кривых в проколотом диске
07:33 Действие на свободных гомотопических классах петель
10:11 Действие на фундаментальной группе проколотого диска
12:30 Задание автоморфизмов на базисных образующих
18:21 Действие (представление) Артина
22:14 Интерпретация на языке раскрасок дуг диаграммы косы
29:38 Анонс связи действия Артина с представлением Бурау
33:00 Диаграммы Артина кос
38:44 Геометрическая интерпретация диаграмм Артина
48:44 Анонс: струнные зацепления как обобщения кос
51:01 Координаты Артина кос
01:00:47 Изменение диаграмм Артина при геометрических преобразованиях кос
01:05:17 Связь действия Артина с причёсанной нормальной формой кос
01:13:29 Доказательство точности действия Артина
01:23:23 Инъективность действия Артина эквивалентна единственности причёсанной нормальной формы
01:33:36 Связь действия Артина с нормальной формой Деорнуа
01:38:54 Диаграммы Артина положительных и отрицательных по Деорнуа кос
01:48:13 Доказательство свойства ацикличности порядка Деорнуа
01:49:40 Обобщение полученного результата
01:59:43 Критерий положительности по Деорнуа в терминах диаграмм Артина
02:03:03 Сплетающие автоморфизмы свободной группы
02:05:53 Группа автоморфизмов свободной группы и преобразования Нильсена
02:08:20 Теорема Артина о сплетающих автоморфизмах свободной группы
02:14:26 Анонс: группы кос со спайками (группы сопрягающих базис автоморфизмов свободной группы)
02:18:04 Танцы конфигураций колец в трёхмерном пространстве
02:29:13 Связь с четырёхмерной топологией: кодировка летающих колец погружениями поверхностей
02:33:03 Примечательность групп кос со спайками
Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: launch-control-center.notion....
Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.
Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла-Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова-Ивановского-Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс-Краммера-Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена-Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.
Пререквизиты
Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке launch-control-center.notion.....