Thomaths 21 : Des Nouvelles des Solides de Platon

[@antoinebrgt]

Une de vos meilleures vidéos, je ne connaissais aucun des trois thèmes !

[@Thomaths]

Merci Antoine ! :)

[@tintingai8894]

C'est dingue moi aussi je me posais ces questions parfois sur les pavages de l'espace et le parcours des solides, je n'aurais jamais pensé à ce que les réponses soit si récente ! Super vidéo !

[@pinnajere]

Merci pour ces belles explications, ce qui est dingue avec avec les Math c’est que au travers de fait comme les solides de Platon est qu’on arrive à décrire l’univers dans lequel sont vit, son absoluïté on ne vit pas dans un monde à 6 dodécaèdre régulier non ils ne sont que 5 c’est une vérité UNE, l’homme vit à travers sa relation au monde auquel il accorde plus d’importance au travers de cette croyance relative que ce qui est absolu, qui somme nous dans l’absolu? Je suggère rené guenon, les principes du calcul infinitésimal, je n’y comprend rien peut être que vous si, mais d’autre livre m’ont largement convaincu du point de vue légitime duquel se place René Guenon. Bien à vous je vous souhaite d’autant plus de clarté dans vos recherches.

[@CM63_France]

Bonjour, Je découvre votre chaîne grâce à Michael Launay, c'est super! J'ai un dodécaèdre sur mon bureau (c'est en fait une boule de tringle à rideau, que j'ai achetée dans un magasin de bricolage 😅 ), et cela fait longtemps que ce volume me fait rêver, je réfléchis toujours à des méthodes de décomposition en volumes plus petits, ou encore à calculer les angles , etc. Ça ma fait patienter quand j'ai le sablier ou que j'attends une mise à jour de mon PC 😅 . Bravo pour votre chaîne, je la rajoute à ma longue liste de chaîne de maths, parmi lesquelles Michael Penn, Mathologer, Michael Launay, Black Pen Red Pen, and so on and so forth, comme dit le premier! A bientôt. (le drapeau français est là uniquement pour qu'on excuse mon mauvais anglais lorsque je commente sur des chaînes anglophones).

[@Thomaths]

Merci beaucoup et bienvenue ! Je crois qu'on a acheté exactement la même tringle à rideau, c'est drôle :)

[@merlintitouan6949]

Voilà qui me sera fort utile dans ma prochaine séance d’empilage de dés avec mon groupe de jdr qui prend trois plombes à jouer leur tour.

[@MrFrondoso]

merci. clair. Excellent format. Avec quelques subtiles invitations à aller plus loin, à poursuivre par nous-même (même si je pense que cela est rigoureusement au dessus de mes compétences en math). encore une fois, merci.

[@FredM80]

1:35 Quoi ? Aristote s'est planté ? :) J'aimerais que e-penser passe par la 🤣

[@poof65]

Très intéressant, merci à tous les deux

[@sirojottag2570]

Vous êtes au top 👍

[@elkouachemohamed9878]

Merci 🙏 C est très beau comme contenu

[@alain1312]

Merci pour cette vidéo solide servie sur un plateau

[@jean-francoisbiragnet7304]

Vidéo très sympa !

[@eliaspernel9533]

Super vidéo !

[@Aurore-]

👍💙😘

[@j9dz2sf]

Est-ce qu'il y a un chemin qui serait dense sur la surface du solide, tel les rationnels dans les réels. Je pense au paradoxe de Banach-Tarski, où on fait des "orbites" avec un parcours sur deux directions, et ces orbites sont denses sur la sphère. Y a-t-il quelque chose de similaire dans ces chemins sur solide de Platon ?

[@77kiki77]

Très bonne question, en effet. Une réponse détaillée à ce sujet serait appréciable

[@j9dz2sf]

@@77kiki77 En y réfléchissant, je me dis que déjà, dans le cube, ça devrait marcher.

[@Thomaths]

Bonjour, Très bonne question ! Je ne suis pas tout à fait sûr, mais il me semble bien que "la plupart" des chemins sont en effet dense. On peut comprendre les polyèdres comme des surfaces de translation. Pour les solides de Platon, il me semble que la surface associée est de type hyperbolique (càd. de genre au moins 2). Or, sur une surface hyperbolique, le flot géodésique (càd. les trajectoires les plus courtes) est ergodique ce qui implique qu'une géodésique aléatoire (avec probabilité 1) va remplir la surface toute entière. Pour plus de détails, voir par exemple le papier d'Athreya-Aulicino arxiv.org/pdf/1811.04131.pdf. J'espère que cela répond partiellement à votre question. - Alex

[@savonliquide7677]

Merci super vidéo. J'ai vu récemment - peut-être une de tes vidéos- la découverte d'une "tuile aperiodique " continuement déformable en d'autres tuiles en préservant le pavage. Est-ce que ces pavages pourraient être la projection des pavages tridimensionnels de Conway et ses coauteurs dans l'article de 2011 ayant la propriété de déformation continue (7min15) ? Ou sinon, moins fort, peut-être que ces deux familles continues sont projections d'un même pavage de plus grande dimension ...? Le fait que chacun des éléments de ces familles respectives ayant le plus de symétries soient d'une part tous deux hors de la zone contrexemplaire (l'un parceque les aretes ont même taille et l'autre parceque la tuile n'est plus aperiodique) et de surcroît que l'un soit projection de l'autre, semble plaider en faveur de cette idée...

[@Thomaths]

Une idée intéressante ! Je pense qu'il n'y a pas de lien pourtant. Les familles continues d'objets existent souvent en mathématiques.

[@savonliquide7677]

​@@Thomaths oui, d'autant que l'écart de dimension de 1, ne permet pas de se débarrasser de la stabilité par translation (si l'espace engendré par les translations qui laissent invariant le pavage en dim3, est de dim>1 la periodicité est conservée dans toute projection surjective sur dim2) par contre le fait qu'il existe un pavage en dim supérieure dont une projection soit l'un et une autre soit l'autre, me semble imaginable. Je suis d'accord avec la remarque sur la continuité, phénomène courant qui de plus n'est pas propre à d'aperiodicité, mais de loin sans examen plus approfondi il m'a semblé voir dans les pavages "particuliers" atteints par ces familles et aussi dans les chemins qui lie ces pavages, des similitudes mais c'est sans doute un mélange de naïveté et d'espérance 😅

[@marcpremium7442]

Y aurait-il un lien entre le pavage de l’espace 3D avec des solides et la distribution des nombres premiers?

[@Thomaths]

Question intéressante. Je ne vois pas de lien direct, mais il y a tant d'exemples de liens surprenant que tout semble lié en mathématiques.A vous de découvrir le lien peut-être ! - Alex

[@jean-baptistelemen3681]

Merci beaucoup pour cette vidéo, super bien traité. Je demandais, comme le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux l'un de l'autre, une question un peu naïve pourrait être "est-ce qu'il n'y a pas pour l'icosaèdre une propriété duale de celle des parcours sur le dodécaèdre?". Je pensais à quelque que chose qui impliquerait des "trajets lumineux partant d'une face et aboutissant à une autre" ou quelque chose de ce goût là ?

[@Thomaths]

Excellente question ! S'il y a une version duale, ce serait "il y a une géodésique d'un milieu de face d'un icosaèdre vers lui-même sans passer par un autre milieu de face". Mais je ne pense pas que la dualité se comporte bien par rapport aux géodésiques. Dans la version duale, il faut aussi exclure de passer par les sommets car on ne sait pas comment prolonger la géodésique. On pourrait simplifier et regarder un tetraèdre (qui est auto-dual) ou un cube. Si vous trouvez quelque chose, postez le ici ! - Alex

[@jean-baptistelemen3681]

@@Thomaths Oui le problème ce sont les barycentres ici. Est-ce que vous seriez au courant de résultats similaires à ceux sur la droite d'Euler (alignement de l'orthocentre, centre de gravité, et concours des médiatrices dans les triangles) pour le Pentagone ? Après tout tout pentagone est decomposable en exactement trois triangles donc si on prend les directions des trois droites d'Euler de ces trois triangles on pourrait construire une sorte de triangle d'Euler d'un Pentagone quelconque, et ce faisant trouver une sorte de nouveau barycentre. De cette façon on pourrait avoir une étude de cas de la situation de ce barycentre selon le type de pentagone. Bien entendu on s'éloigne de la situation hyperreguliere du dodécaèdre régulier mais peut-être qu'en envisageant ce solide comme limite de polyèdres à face de pentagone ales quelconque on pourrait aboutir à quelque-chose...

[@jean-baptistelemen3681]

@@Thomaths merci pour votre réponse encourageante, je ne me suis jamais considéré comme quelqu'un capable de trouver quelque chose mais votre confiance m'honore haha X)

[@harfe06]

Bonjour, est-ce que tu aurais une chaîne similaire en allemand également ? 😀

[@Thomaths]

Bonjour, non nous n'avons pas de chaîne en allemand, pourquoi ?

[@harfe06]

@@Thomaths c'était pour relier deux sujets que j'aime. Et j'ai pensé qu'en tant que Muttersprachler, vous auriez très bien pu avoir une deuxième chaîne similaire 😉

[@Thomaths]

Oui on y a déjà pensé, mais comme Alex travaille en France, on a opté pour un contenu en français. Mais peut-être un jour ? :)

[@nicolaslecoq8693]

Compacité et non densité.

[@pierrecastor]

Merci a l'algo youtube, qui pour une fois propose une très bonne chaine. J'ai adoré l’approche type "ingénieure" : On va mettre plein de solide dans une boite et on secoue très fort. :-D

[@tayebamegroud9558]

Très instructif. Merci à vous

[@marcpremium7442]

👍👍👍👍

[@lenekogilles7254]

Bonjour Et que pourrions-nous dire avec le 6ème polyèdre régulier n'existant qu'en dimension 4 ? Il s'agit de l'hypergranatoèdre. Il porte plusieurs noms d'ailleurs. Pour chercher à savoir à quoi il ressemble j'ai étudié les symétries et ai vite compris qu'il s'agit d'une variante de l'octaèdre. On ne peut pas le représenter tel qu'il est mais avec des méthodes de projections (qui donnent des arêtes faussement courbes) ou en jouant sur une double perspective, on parvient à savoir à quoi il ressemble. Après quelques minutes de réflexion j'ai pensé qu'il serait intéressant de vous parler d'un polyèdre régulier étoile : la stella octangula de Kepler. Objet fascinant. Or je ne me suis pas tant concentré sur les sommets, les arêtes, les faces mais sur les nombreuses rotations qu'il permet. Ayant ma petite idée en tête sur ce que l'on pourrait en faire j'ai d'abord posé une règle. Sur chacune de ses trois dimensions on choisit un angle unité de 2pi/3. On associe à cet angle la valeur unité +1. Tous les angles de plus petite mesure, comme pi/3, plutôt que d'être considérés comme des fractions de l'angle unité seront pris comme valeurs négatives. Ainsi, pi/3 correspond à -1. lors des multiples rotations que l'on fera si le résultat n'est pas un multiple entier de l'angle unité de 2pi/3, le résultat sera un nombre négatif. Ainsi, la somme de 2pi/3 + pi/3 (= pi) sera interprétée comme un nombre négatif. Cette stella octangula ayant 4 axes on peut obtenir des matrices colonnes à quatre nombres dont certains sont positifs et d'autres négatifs. Ainsi muni d'un ensemble (celui des rotations), d'une algèbre de nombres entiers négatifs ou positifs, l'on forme un groupe. N'oublions jamais qu'il s'agit d'un groupe des rotations. Je pense que ce polyèdre étoilé muni des règles que je viens d'énoncer pourrait être très utile pour traiter de nombreux problèmes mathématiques et même physiques. A l'extrême je me demande s'il ne pourrait pas être utile pour travailler sur la chromodynamique quantique, laquelle s'articule sur des symétries ternaires (dans le cas des baryons), mais aussi sur des symétries binaires (dans le cas des mésons.) Il serait nécessaire pour étudier cette branche très difficile de la physique d'ajouter un autre type d'objets : les gluons, lesquels correspondraient au arêtes permettant de passer d'une configuration à une autre. Il se peut que cette application à la QCD soit très présomptueuse, mais je pense qu'elle n'est pas dénuée d'intérêt, du moins en ce qui concerne la force nucléaire forte. NEKO

[@Thomaths]

Bonjour, Merci de partager vos pensées intéressantes. Les polyèdres réguliers étoilés sont au nombre de 4 (les solides de Kepler-Poinsot). J'en parle dans ma vidéo sur les "Solides réguliers". La question si on peut paver l'espace avec eux est très intéressante. Il faudrait commencer par calculer leur invariant de Dehn.Dans ma vidéo sur les "Solides réguliers", j'en parle. Pour l'application en QCD, je ne suis pas sûr de la pertinence, mais je ne suis pas un expert. Pour les polyèdres réguliers en dimension 4, en effet il y en a 6 et on peut se poser la question s'ils pavent l'espace en 4d. Aussi une très bonne question à laquelle je ne connais pas la réponse. Alex

[@Dodo-mc2vm]

Bonsoir, quand tu parles de l'hypergranatoèdre, tu parles bien l'icositétrachore sur Wikipédia ? Édit : l'hypergranatoèdre est bien l'icositétrachore sur Wikipédia

[@Dodo-mc2vm]

Ça voudrait dire que mon "icosaèdre" fait à partir de 20 tétraèdres n'en est pas vraiment un ? (Tétraèdres fait en ticket de métro parisien, via un tutoriel de Mickaël Launay)

[@Thomaths]

Bonjour, merci pour la question. Quelle partie de la vidéo vous a fait déduire qu'un icosaèdre ne se décompose pas en 20 tétraèdres réguliers ? En tout cas, il semble que la décomposition d'un icosaèdre à partir de son centre donne 20 tétraèdres légèrement irréguliers (quelques côtés sont plus courts), voir math.stackexchange.com/questions/1340470/how-to-make-an-icosahedron-from-20-tetrahedra

[@Dodo-mc2vm]

​@@Thomaths j'ai oublié de préciser 20 tétraèdres réguliers (3:18 empilement optimale de tétraèdres réguliers)

[@Thomaths]

@@Dodo-mc2vm Si les tétraèdres sont parfaitement réguliers, alors c'est l'icosaèdre qui est légèrement irrégulier. C'est peut-être une bonne idée pour un bon empilement de tétraèdres réguliers !

[@camellkachour4112]

Si on recolle deux cubes le long d'une de leurs faces on obtient un "cube", dans le sens que la nouvelle forme est similaire à un cube: 6 faces rectangulaires. Pour les tétraèdres, j'ai l'impression qu'il faut en coller plusieurs pour former un plus grand tétraèdre. Question: nombre minimal de tétraèdres pour en former un nouveau par recollement ? (encore une fois, les métriques on s'en fiche, il faut seulement que ce nouveau polytope ait le même nombre de faces qu'un tétraèdre (4) et que ces nouvelles faces soient des triangles, comme pour un tétraèdre). Et pour les autres solides de Platon, as-t-on des résultats similaires de recollements ? I.e par exemple il faut au moins n octaèdres (si un tel n existe!), qui par recollement le long de leur faces donne encore un octaèdre ...

[@Thomaths]

Question très intéressante ! C'est un problème de combinatoire des polyèdres. Pour les tétraèdres, on peut mettre 4 ensemble pour former un tétraèdre plus grand (imaginer un tétraèdre avec son centre de gravité O, chaque face forme avec O un tétraèdre). Je pense que ce n'est pas possible avec 3 tétraèdres. Cela devrait se prouver en comptant les sommets, arêtes et faces (et en utilisant la formule d'Euler). Pour les autres solides de Platon, je ne sais pas. En prenant les milieux des 6 arêtes d'un tétraèdre, on obtient un octaèdre, donc on peut décomposer un octaèdre en octaèdres et tetraèdres. Ecrivez ici si vous trouvez des éléments de réponse. Merci ! - Alex

[@camellkachour4112]

@@Thomaths Cher Thomas, mille mercis de ces précisions. En effet j'avais l'impression que le recollement de 4 tétraèdres donne encore un tétraèdre. Donc pour la dimension 3, il faut 4 tétraèdres pour en former un nouveau. En dimension 2, je sais pas s'il faut trois triangles équilatérales pour former un triangle (non forcément equilatérale !! En effet je répète, l'idée c'est que par recollement le long des faces, on obtient un objet géométrique de même nature). Restons aux cas des tétraèdres. Disons qu'en dimension 3 il faut 4 tétraèdres, que se passe t'il pour la dimension 4 ? En effet en dimension 4 il y a l'analogue du tétraèdre: appelons-le le 4-tétraèdre (donc un triangle est un 2-tétraèdre). Les tétraèdres de dimensions quelconque sont appelés n-simplexes standards je crois. Restons avec la terminologie la plus usitée: Big question: quels est le minimum de 4-simplexes recollés ensembles, donne un objet 4-simplexique (i.e qui a la même nature que les 4-simplexes: 5 faces, qui sont des tétraèdres). Par exemple le n-simplexe standard a n+1 faces qui sont des (n-1)-simplexes ... Ce nombre minimal d'objets qui permet de fabriquer un objet du même type (forme similaire, même nombre de faces) par recollement le long des faces, est une question qui m’intéresse au plus haut point ! Le mélange des formes (tu as écris: "En prenant les milieux des 6 arêtes d'un tétraèdre, on obtient un octaèdre, donc on peut décomposer un octaèdre en octaèdres et tetraèdres") est intéressant, mais ça vient après ... je crois que se limiter à un type d'objet parmi les 5 solides de Platon en dimension 3 est déjà un challenge ! Mon intuition: pour les n-simplexes ce nombre minimal devrait exister (un nombre pour chaque dimension). Comme en dimension >4 (strictement) il ne reste plus que trois formes (mise à part les n-cubes et les n-simplexes, j'ignore qu'elle est le troisième !!), je crois que c'est également possible pour un des solides de Platon, celui qu'on généralise en toutes dimensions; on sait que le carré, le cube etc. donne les n-cubes, ainsi que le triangle, le tétraèdre, etc. donne les n-simplexes standards. Autre question: Quel est l'autre solide de Platon qui admet une généralisation en toutes dimensions ? Mille mercis Thomas de tes éclaircissements ! P.S: encore une fois, si on arrive à trouver ces recollements minimaux pour les n-simplexes standards, on devrait, "moralement", avoir le même type de recollements minimaux pour le troisième (l'autre solide de Platon qui admet une généralisation en toutes dimensions). P.S: une reflexion bizarre: il faut peut-être 4 triangles équilatéraux pour former un nouveau triangle ! Comme-ci que, dans le monde des n-simplexes, c'est 4 qui serait le bon candidat, pour toutes les dimensions ... mais je n'ai pas de preuve sous la main (ou de contre-exemples), hélas !

[@Thomaths]

@@camellkachour4112 Encore une excellente question ! La généralisation d'un tétraèdre en dimension n s'appelle n-simplex. On peut décomposer un n-simplex en n+1 n-simplexes plus petits en utilisant encore le barycentre (relier le barycentre à chacune des hyperfaces du n-simplex). Peut-être on peut faire mieux, je ne sais pas. En dimension 2 en particulier on peut obtenir un triangle à partir de trois autres (deux est impossible). Pour les solides de Platon en dimension n, c'est l'octaèdre qui se généralise. C'est le dual du cube et cette dualité s'applique en toute dimension : ainsi on obtient l'hyperoctaèdre à partir de l'hypercube par dualité. J'espère que cela vous aide ! - Alex

[@Thomaths]

J'ai demandé à un ami expert du domaine, voici ses réponses : on peut découper l'octaèdre en 24 octaèdres plus petits et le dodecaèdre en 120 dodecaèdres plus petits ! La construction est très jolie car elle fait intervenir les solides régulier de la 4e dimension. Voir en.wikipedia.org/wiki/24-cell#/media/File:Schlegel_wireframe_24-cell.png en.wikipedia.org/wiki/120-cell#/media/File:Schlegel_wireframe_120-cell.png Pour l'icosaèdre c'est une question ouverte ! Pour le n-simplex (la généralisation du tétraèdre), on peut simplement le découper en deux n-simplexes en prenant un point sur une des arêtes et en considérant l'hyperplan passant par ce point et tous les autres sommets du n-simplex. Pour le triangle, on peut par exemple prendre une médiane. Merci encore pour ses questions ! - Alex

[@camellkachour4112]

@@Thomaths Cher Thomas, ton ami mathématicien découpe, alors que moi je parle de recollement ... donc puis-je conclure que si je recolle 24 octaèdres ensemble j’obtiens encore un octaèdre, et que ce nombre est minimal !? Et il faut 120 dodécaèdres, minimum, pour en former un plus grand ! Thomas je sais que tu es trop pris et tu n'as pas forcément le temps de tout lire. Mais, please, permet moi de te reposer (mieux) la question: Restons concentré sur les octaèdres uniquement (car ils se généralisent en toutes dimensions). Tu dis qu'il faut au minimum 24 octaèdres pour former un octaèdre par recollement. Comment appel t-on un octaèdre en dimension 4, en dimension 5, etc ? Disons qu'on les appel hyperoctaèdres de dimension 4, 5, etc. Si pour la dimension 3 il faut 24 octaèdres, combien en faut-il pour la dimension 4 ? Et 5 ? Je soupçonne que cette suite est très très intéressante ! Pour les n-simplexes standards, c'est encore moins claire (paradoxalement !), car je parle de recollement et non de découpage (mais c'est peut-être dual !!). Par exemple tu as dis avant qu'il suffit de recoller 4 triangles pour former un triangle. Puis il faut 4 tétraèdres pour former un tétraèdre. Conjecture: il faut 4 n-simplexes ("atomiques") pour former un nouveau n-simplexes (aggloméré). Si cette "conjecture" est vrai ce serait formidable !