Toi en MPSI : "Mais comment je pouvais penser à ça ?" - Voici un exemple avec un exos de suites !

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Күн бұрын

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@prepaenjoyer 27 күн бұрын

Salut, on peut aussi le faire matriciellement, On pose X_n = (a_n,b_n_c_n) (matrice colonne) On a donc X_(n+1) = AX_n Avec A =(1/2)(1 1 0) (0 1 1) (1 0 1) On remarque que A = 1/2(I_3 + C) Avec C un matrice cyclique dont on calcule facilement les puissances de N (et C^3 = I_3) I_3 et C commutent donc (binôme de newton): A^n = (1/2)^n * Somme de k=0 à n de (k parmi n) fois C^n Ainsi A^3p = I3 * somme des k parmi 3p de 0 a 3p où k ≡ 0[3] + C * somme des k parmi 3p de 0 a 3p où k ≡ 1[3] + C^2 * somme des k parmi 3p de 0 a 3p où k ≡ 2[3] Ces sommes (classiques que l'on peut noter S1_p S2_p S3_p) se résolvent en calculant le système : S1 + S2 +S3 = 2^3p (j'enlève les p pour alléger les notations) S1 + j*S2 + (j^2)*S3 = (1+j)^3p S1 + (j^2)*S2 + (j^4)*S3 = (1+j^2)^3p où j = e^(2ipi/3), 1+j+j^2 = 0 On trouve S1_p = 1/3 (2^3p -2) S2_p = 1/3 (2^3p +1) S3_p = 1/3 (2^3p +1) puis on explique que A3p A3p+1 et A3p+2 ont la même limite (le résultat des sommes ne sont pas exactement les mêmes mais c'est globalement 1/3*(2^3p+1 ou 2 + un terme résiduel négligeable devant 2^3p)) ou bien on pourrait montrer que A3p - A3p+1 tend vers 0 pareil pouir A3p+2, à voir. Ainsi An tend vers la limite qui est clairement 1/3(I3 + C + C^2) Donc lim an = lim bn = lim cn = (a0+b0+c0)/3 A savoir qu'en colle tu peux directement donner les résultats des 3 sommes "classiques" dont j'ai parlé, aucun colleur te demandera de recalculer le système (tant que tu lui donne le système et la méthode), ce qui rend cette méthode pas si mauvaise/inefficace que ça si on part d'emblée sur l'idée des matrices ! Voilà, il y a peut-être des fautes de calculs mais le raisonnement marche normalement!

@TheMathsTailor 27 күн бұрын

Très bien avec les matrices ! C'est clairement la méthode standard pour les systèmes d'équations récurrentes. Ici je m'adresse à des élèves qui n'ont pas encore vu les chapitres d'algèbre correspondants ;)

@prepaenjoyer 27 күн бұрын

@@TheMathsTailor Ah oui d'accord. Très bonne vidéo en tt cas, comme d'habitude!

@TheMathsTailor 27 күн бұрын

@@prepaenjoyer Merci pour ce commentaire si complet, qui est épinglé !

@brunogreco5084 17 күн бұрын

Après avoir vu a(n)+b(n)+c(n)=s constante, une idée classique et féconde est de se translater en 0 : a'=a-s/3, b'=b-s/3,c'=c-s/3 ; alors a'+b'+c'=0, a(n+1)=-c(n)/2 etc, et pour éviter les trois sous-suites, on peut introduire u=|max(a',b',c')-min(a',b',c')| qui est1/2-géométrique. Ce n'est pas de la rédaction par magie, mais la traduction qu'on "sent" a,b,c gigoter autour de s/3.

@lecodeurfute4287 26 күн бұрын

Super exercice. J'adore !

@Arnoooooooold 26 күн бұрын

On peut simplement raisonner sur le min et le max des 3 suites (à chaque rang) - on montre d'abord que m est croissante et M décroissante - puis on montrer que M-m diminue au moins d'un facteur 2 à chaque étape et donc tend vers 0 - m et M sont donc des suites adjacentes qui convergent vers la meme limite - On a donc a,b,c qui convergent vers cette limite - en remarquant que a+b+c est constant on conclut que cette limite commune est (a0+b0+c0)/3

@maryvonnedenis6304 26 күн бұрын

Peut-être faut-il essayer le calcul suivant permettant de calculer directement an, bn et cn : 1)On a bien an + bn +cn = a0 +b0 +c0 et il faudrait donc deux autres équations pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues. 2)Soit j = exp(2iPI/3) une racine cubique complexe de l'unité ( j = -1/2 + i.sqrt(3)/2). On considère la suite an + jbn +j²cn et on observe que c'est une suite géométrique de raison (-j/2) (en remplaçant chaque terme en n+1 par la valeur indiquée). Du coup on a an + jbn + j²cn =((-j/2)^^n) * (a0 + jb0 + j²c0) (j^^n = cos(2nPI/3) + isin(2nPI/3) d'après Moivre) Il faut maintenant décliner en partie réelle et partie imaginaire l'équation ci-dessus pour avoir les deux équations complémentaires recherchées. Bon maintenant, il faut que je fasse les calculs vraiment... En tout cas pour les trois limites La, Lb et Lc, comme le terme de droite tend vers zéro (en 1/2^^n) j'ai : La + jLb + j²Lc = 0 Soit en partie réelle et partie imaginaire La - (Lb + Lc)/2 = 0 et (Lb - Lc)sqrt(3)/2 = 0 et comme Lb + Lc = a0 + b0 +c0 - La , la première équation donne La = (a0 + b0 +c0)/3 et la deuxième équation donne Lb = Lc donc d'après la première équation La = Lb =Lc

@yoantardy8062 26 күн бұрын

Super video! Autre raisonnement peut être plus simple et plus "physique" pour la première étape, si on regarde u_n = (a_n-b_n) ^2 + (b_n-c_n) ^2+(c_n-a_n)^2, on remarque rapidement que u_(n+1) = u_n/2, et donc u_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Je dis plus physique car c'zst la variance empirique du problème, et comme on s'attend à ce qu'elle tende vers 0 et qu'elle est symétrique comme le problème ça paraît naturel de là considérer ! :)

@yoantardy8062 26 күн бұрын

U_(n+1) = u_n/4 pardon

@valentin4219 25 күн бұрын

Bonsoir a tous ! Je cherche à acheter ou télécharger “je vais vous apprendre a integrer l’X” est-ce que vous auriez des indications sur où le trouver ?

@LouisLeCrack 21 күн бұрын

Conseil: ce bouquin ne sert pas à grand chose. La preuve je n’ai pas intégré l’X 😂. Moi aussi je voulais beaucoup avoir ce livre et j’ai fini par le trouver chez un pote, mais honnêtement ce bouquin n’est pas utile. C’était juste parce que je pensais qu’il donnerait le “Cheat code” pour intégrer l’X, étant matrixe par l’X à l’époque. Le meilleur conseil dans ce bouquin c’est: vise les étoiles (l’X) et tu finiras au pire sur la Lune (ou un truc comme ça). Ici la Lune c’est genre Centrale ou Mines. Et c’est très réel. Donne toi tous les moyens pour avoir l’X, et y a pas de secret c’est le travail et honnêtement si tu t’es un minimum renseigné, ce que je n’en doute pas, tu sais exactement ce qu’il faut faire. Il reste à le faire. Bon courage ! Et être dans une prépa très bien classée qui envoie régulièrement des élèves à l’X aide bcp pour les oraux surtout.