シグマ・共分散・相関係数【中学の数学からはじめる統計検定２級講座第５回】

[@しじゅうから-t3f]

現在統計検定二級勉強中ですが、物凄くわかりやすいです！丁寧な解説ありがとうございます！

[@nyururunrun]

情報の質と量ともに圧倒的すぎて素晴らしすぎる！

[@hiro-fi9hf]

6:30共分散　7:44共分散の公式 9:40共分散問題　10:38回答 12:00相関係数 12:54相関係数問題　13:06回答 14:10一次変換と相関係数 　一次変換（aX＋b）の場合の公式 15:15ターゲット問題　15:35回答

[@植木拓也-y3c]

いつもありがとうございます。 共分散の例題について、条件文に X(最大値)>=Y(最小値)と書かれてないと、X=Y=200などの組み合わせの確立も計算に含めるとは初見では分からないのではと思いました。

[@堀田大輝-t3e]

いつも助かってます。ありがとうございます。 質問が一つ：同時確率分布でP(X=200, Y=200)など、同じ数の時は順番を無視していますが、どうしてP(X=50, Y=20)などXとYの数が違う場合には順番を考慮して二倍になっているのがわかりません。 どちらも200の玉だったとしても、それぞれ別の玉なので、どうして確率は全部二倍にしないのでしょうか

[@toketarou]

玉に書かれた数の最大値がX，最小値がYです。 １回目がX，２回目がYではない点にまず注意してください。 X=200,Y=200となるのは２個とも200の場合しかありません。 一方で，X=50,Y=20となるのは １回目に50の玉で２回目に20の玉の場合と １回目に20の玉で２回目に50の玉の場合があります。 これは，サイコロを２回投げるときに， ２回とも１の目が出るのは36通りのうち１通りしかないですが， １の目と２の目が１回ずつ出るのは36通りのうち２通りあるのと 同じです。

[@99tany]

はじめまして。勉強したての自分でも解りやすく大変助かっております。 さて、つまづいてしまった所があります。 共分散の計算で、たとえば、X=200 Y=20の同時確率分布を計算すると、60/600になってしまいます。6/25×10/24の計算という認識です。 ご教授願いますでしょうか？

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます。 １回目に200の玉を取り出し，２回目に20の玉を取り出す確率が 6/25×10/24です。 １回目に20の玉を取り出し，２回目に200の玉を取り出す確率が 10/25×6/24です。 どちらの場合もX＝200，Y＝20となるので， 確率はこれらの和になります。 どうでしょうか。

[@99tany]

@@toketarou 納得です。も〜、ただだた恥ずかしいかぎりです ありがとうございました

[@treemama2021]

-3:23 動画で説明があったらすみません。この知識まだ覚えていません。(⌒-⌒; ) E(X^2)について、数字を代入して計算する場合、確率が全部変わっていなくて単にXの値が二乗になったところ、理解していません。 Xが200の時の確率(258/600)と40000の時の確率が、なぜ等しいでしょうか。

[@toketarou]

x^2=40000となるxはx=200しかないので x^2=40000となる確率は x=200となる確率と等しいです

[@treemama2021]

@@toketarou ありがとうございました！

[@623psiki5]

講座ありがとうございます。 すみません、過去問を解いてたのですが 2変数についての分散公式の意味はわかったのですが 独立でない場合の3変数の分散V(X+Y+Z)の求め方というか公式がわからないのですが、教えていただけるならお願いします... もう一つ、共分散Cov(X,X+Y+Z)の時の式変形を教えていただけるならお願いします...

[@toketarou]

私の作成したコンテンツに関する質問ではないので， 基本的にはお答えできかねるのですが， 前者の質問は，X，Yが必ずしも独立ではない場合に V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)が成り立つことを使えば ３変数の場合についても導くことができ， 後者の質問は， Cov(aX+bY,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z)が成り立つことを使えば 導くことができます。 上記の２本の式は 私のブログの共分散の記事で紹介しているので， あとはそれを応用するだけです。

[@623psiki5]

@@toketarou ありがとうございます 追記 展開公式を参考にしたらできました

[@白湯-d1c]

ブログの演習問題にて、シグマの計算ではkの2条の公式なども記載してくださっていましたがその式も覚えておいた方が良いですか？

[@toketarou]

2021年の２級の過去問でこの式を使う問題が出ていますが， CBTでこの式を使う問題はまず出ないので， 無理に覚えなくていいと思います。

[@白湯-d1c]

@@toketarou 返信遅くなりすみません、ありがとうございました！！

[@原田勇介]

丁寧な解説ありがとうございます。 過去問の解説でされている部分ですが、 ① V(U)=V(3X-2)=9V(X)=9.0 ②V(V)=V(-2Y-4)=4V(Y)=4.0 なぜ、9.0と4.0の値が導き出されたのかがわかりません、ご教授いただきたいです。 例えば、①では、式を展開すると、V(3X-2)→3VX-2ではないんでしょうか。

[@toketarou]

あいにくコメント欄での過去問解説は行っておりませんが， その疑問は分散の公式を学習すると解決できます。 期待値と分散の動画またはブログをご参照ください。

[@ナルシソ家ペス]

共分散でXYが独立の時、全てのxとyについての期待値を計算しましたが、独立でない時は、ペアとしてのxyについて(x-ux)(y-uy)の期待値を求めるのですよね？

[@ナルシソ家ペス]

例えば数学と英語の成績に相関があるかどうかについてなら （数学ー数学の平均)x（英語ー英語の平均）の人数分のデータから期待値を求めるわけですよね

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます。 数学と英語の共分散の求め方はその通りです。 そして，それはデータの共分散です。 この動画のテーマは確率変数の共分散なので， 違いにご注意ください。 なお，前半のコメントについてですが， XとYが独立ならば，共分散は０です。

[@ナルシソ家ペス]

はい。 おたく様のブログの独立の場合ゼロになることの証明で理解できました。

[@0markers011]

確率変数Xの期待値がE[X]＝2で分散V[X]＝2のときのE[3X^2＋4X＋1]を求めよ。 このような問題はどのように解くのでしょうか。

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます！ 期待値の公式から， E[3X^2+4X+1]=3E[X^2]+4E[X]+1となるので， あとはE[X^2]を求められればいいですね！ 分散の公式から， V[X]=E[X^2]-E[X]^2となるので， 問題の条件から，E[X^2]を求められます！ この方針で答えを出せるので， やってみてください！

[@0markers011]

@@toketarou ほんとにありがとうございます😭 チャンネル登録しときました。

[@ゆうと-e1q5k]

互いに独立かは分からない２つ確率変数X.Yについて質問です。 この場合はどのようにしてE(XY)を求めればよいですか？どこにも載っていなくて困ってます。教えてもらえると嬉しいです。

[@よし-x5g]

ありがとうございます。　同時確率分布の表でｘ５０，ｙ２００とｘ２０，ｙ２００とｘ２０、ｙ５０が０となっているのがわからないので 教えていただけるとたすかります

[@toketarou]

取り出された玉の最大値がX，最小値がYであり，YがXを超えることはないので，３か所の確率が０になっています。

[@よし-x5g]

目からうろこでした。ありがとうございました。

[@Lapusolu]

コメントしつれいします。 ブログはどこでみれますか？

[@ho1872]

コメント失礼します。 ブログ演習2のE(XY)を求める部分の式なのですが、どうしてX,Yの同時確率(X=4,Y=2の場合の2/9×4×2 など)ではなく、Xの確率(X=4の場合の3/9×4×2 など)で計算されてるのでしょうか？

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます。 X＝4，Y＝2の場合の2/9というのは， P(XかつY)＝P(X)P(Y)で計算されているでしょうか。 もしそうであれば，この式はXとYが独立のときにしか 成り立ちません。 この問題は，XとYが独立にならないように設定したので， 上の式を使うと正しい答えが出ません。 いかがでしょうか。ご確認をお願いいたします！

[@ho1872]

そういう事でしたか。。ご丁寧にありがとうございます！理解でまきました。

[@toketarou]

ご指摘を受けて， この記事のE(XY)の計算を始めるところに 「独立ではないよ」という文言を追記しました。 この問題は応用のつもりで入れたのですが， 捉え方によっては意地悪ですよね。すみません。

[@ho1872]

度々すみません、もう少し自分で解いてみようと思ったのですが、どうしてもE(XY)のx=4とのきに3/9がどうして使われてるのか(なぜxの確率にxとyと値をかけてE(XY)が出るのか)がわからずでして、、もう少し解説をお願いできませんでしょうか😢 ちなみにこれは条件付き期待値とは別物ですよね・・？

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます。 まず，E(XY)＝ΣxyP(x,y)がE(XY)の定義なので， xの値とyの値とそのときの確率をかけ算したものの和です。 ここでは，XとYが独立でないため， P(x＝4,y＝2)=P(x＝4)P(y＝2|x＝4)＝3/9×１＝3/9 として計算しています。 やっていることは条件付き期待値と同じですが， その点は気にしても，しなくても大丈夫です。

[@sokkun2003]

7:48

[@みな-r9w9z]

9:48 15:21

[@0markers011]

もう一問お願いします。 n個の独立で同一な確率変数Xℹ︎, i＝1、2...が次の確率分布に従うとする。 ただしp + q ＝1。 「X １　　1 0 　確率　　p q」 このときY＝Σk＝1からn Xkの分布を述べ、その確率関数を書け。さらに期待値E[Y]と分散Var(Y)とXℹ︎の関係に注目して求めよ。 です。どこから手をつけていいのかもわからないです。お願い致します。

[@toketarou]

結論から申し上げますと，二項分布ですね。 Xiはベルヌーイ分布に従い，その和は二項分布に従います。 「母比率（の区間推定）」という私の動画の中盤で この話題を扱っているので，そちらを見ていただけたら嬉しいです❗

[@0markers011]

@@toketarou そうなんですね。まだその動画見てないので拝見させてもらいます！