ТОЛЬКО ДЛЯ ПРОФИ!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Любителям: 1) Описали окружность. Где ее центр - неизвестно! 2) Провели диаметр NK перпендикулярно AB. По свойству он пройдет через M! Центр О точно лежит на NK. Но где - неизвестно! 3) Пусть О лежит выше М, тогда получаем противоречие: угол OCK = углу MCK. 4) Пусть О лежит на NK ниже М, тоже противоречие. Значит, О совпадает с М. Ура! 5) О на AB, значит только сейчас AB - диаметр, только после этого угол ACB - прямой! ВСЕ!

[@irinachenkova2493]

Но ведь то что угол ACB - прямой следует из того, что угол HCE равен углу ECM по условию задачи. Значит АБ -диаметр?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@irinachenkova2493 Почему это следует, по какой такой теореме? Я как раз именно ЭТОТ факт и доказываю в ролике. Говорю, что у прямоугольного эти углы равны (легко доказать), а вот если эти углы равны, то будет только прямогуольный и дальше весь ролик это и доказываю! Так как ролик для "профи", то есть для олимпиадников, то им ничего подробно разьяснить не надо. Поэтоу все сжато, и не профи может заблуждаться. Но я рад, что вы смотрите нас!

[@SergeyS0691]

ещё проще: два серединных перпендикуляра к хордам АВ и СК проходят через центр. т.е.их точку пересечения - М.

[@svetlanakossatch125]

😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Никак не следует@@irinachenkova2493

[@mpkfig]

Если мы доказали что треугольник прямоугольный, то высота в прямоугольном треугольнике, делит треугольники на подобные а значит 90/4=22, 5

[@AndranikAdamyan-f3b]

!!!!!!!!))))

[@רמי-ל5ב]

Интересно, но сложновато.

[@irinachenkova2493]

Спасибо за чудесную задачу! Два дня держала.😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

А зачем я ответ тогда писал выше?! Ну, ладно, все равно хорошо.

[@irinachenkova2493]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Теперь всё ясно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@irinachenkova2493 Ну, и отлично!

[@nikolaysharapov6298]

Эти свойства мы в школе не учили. А надо бы.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Просьба к постоянным зрителям: помогите отвечать "ферматистам", иначе появится множество ложных решений, а я не успеваю.

[@voldemarvoldemar4800]

Спасибо Валерию Казакову за эту задачку. Разжёг нешуточные баталии. Разбудил вечный спор между "технарями" и математиками, зачем какие-то доказательства - "трясти надо!". Вспомнился старый анекдот про технаря и математика, как они решали задачку с чайником. Задача 1. Есть чайник и кувшин с водой. Надо вскипятить воду. Решение: наливаем воду в чайник и кипятим. Задача 2. Есть чайник с водой и пустой кувшин. Надо вскипятить воду. Решение технаря - кипятим воду в чайнике, да и всё! Решение математика - выливаем воду из чайника в кувшин и приходим к ранее решённой задаче 1. Смешно, но в сказке намёк. В математике всё должно быть логически доказано исходя из аксиом и ранее доказанных теорем и никаких "намёков" и "трясок".

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Скореее между профи и любителями. Хотя рассказ поучительный.

[@ГеннадийАнуфриев-е3ж]

Если по первым двум утверждениям опрелелено, что треугольник прямоугольный, то очевидно, что искомый угол "альфа" в равнобедренном треугольнике САМ будет рааен 90/4 (к чему лишний огород?)

[@GeometriaValeriyKazakov]

"Огород" нужен школьникам, чтобы на ЕГЭ получить 100 баллов.

[@ГеннадийАнуфриев-е3ж]

Ясно. Хотя нас раньше учили по принципу: "простота - сестра таланта"

[@AlexHasan21]

@@GeometriaValeriyKazakov тогда уж следовало бы объяснить для "не профи" если вы по условию не знали, что треугольник прямоугольный, и что М - центр окружности, как вы эту окружность вообще проводили?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@AlexHasan21 Она описана около данного тр-ка. Объясняю: суть задачи: "Доказать, что если высота, биссектриса и медиана делят угол некоторого тр-ка на три равных, то он - прямоугольный!".

[@pojuellavid]

Ни за что бы не подумал, чтобы меня, любителя школ. алгебры и НЕлюбителя геометрии, записали в профи. У нас три биссектрисы ( из них СЕ - дважды). Находим соотношение отрезков основания АВ. НЕ=a, BH=a, EM=a*√2, AH=(2+√2)*a. В ∆ СЕН гипотенуза относится к катету СН, как отрезки, секомые биссектрисой, т е √2:1. Бинго! ∆ СНМ -- прямоугольный равнобедренный. Задача решена. Угол ВАС =π/4=22,5°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, свойством биссектрисы задача решается. Только уточните, почему EM=a\/2?

[@uruuru167]

Я не профи, поэтому до такого решения догадаться не мог. Но я смог решить задачу гораздо проще. Построил треугольник BC1A таким образом, что BC1 и C1A были перпендикулярны BC и AC соответственно. Угол BCH обозначил β. Получилось, что ABC1 = β, BAC1 = 3β, AC1B = 180 - 4β. Далее легко все находится

[@GeometriaValeriyKazakov]

Возможно есть и другие решения. Предложенное мной является классическим и короче его точно нет. Можно валить тригой, тангенсами, но долго. Поэтому "гораздо проще" не бывает. Ищите ошибку у себя. Думаю, зрители вам подскажут.

[@alfal4239]

"Получилось, что ABC1 = β" -- откуда это "получилось"?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@alfal4239 Спасибо.

[@uruuru167]

@@alfal4239 Часть шагов я пропустил. Рассмотрим треугольник CBH. Угол CBH = 180 - 90 -β = 90 - β . Мы провели BC1 перпендикулярно CB => ABC1=90 - (90 - β ) =β

[@alfal4239]

"Угол BCH обозначил β. Получилось, что ABC1 = β, BAC1 = 3β, AC1B = 180 - 4β. Далее легко все находится" -- Поясните, как именно всё находится.

[@АлександрСосунов-ю1л]

Можно привести и "пропорциональное" решение, доказывающее, что треугольник HCM равнобедренный прямоугольный и, соответственно, угол альфа=угол BCH=22,5 градусов. Обозначим части стороны ВА (слева направо) через a, b=a, c, d. Из свойств биссектрисы (BC/c=CA/d и BC/2a=CA/(c+d)) находим, что с/2a=d/(c+d). Но 2a+c=d. Отсюда с=sqrt(2)a. Таким образом, гипотенуза CM в корень из 2 раз больше катета HC, что и доказывает равнобедренность треугольника HCM.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@АлександрСосунов-ю1л]

@@GeometriaValeriyKazakov Сейчас дачно-полевые работы, поэтому редко получается отвлечься на разминку, а ведь хочется!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@АлександрСосунов-ю1л Долой эти дачи - так вся жизнь пройдет!

[@dmitryushakov9144]

Тут гораздо проще все. Если биссектриса делит пополам угол между медианой и высотой, значит, это бисс. прямого угла в прямоуг. тр-ке. Значит, угол С 90 градусов. Далее, тогда очевидно, угол BCH - это четверть от 90 градусов, то есть 22,5. Далее, понятно, что угол BCH равен углу А. Отсюда сразу получаем ответ.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Именно это мы и доказывали! В этом как раз и была задача - доказать, что угол ACB равен 90 гр!! Это свойство как раз и доказывалось в нашем ролике, иначе в чем смысл задачи! Все! Спасибо, что смотрите нас. Это я виноват, что несколько раз не подчеркнул данный факт.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Смотрите прикрепленный коммент.

[@АлександрВолонцевич-с9ц]

@@GeometriaValeriyKazakov Можно ли второе утверждение (доказанное Вами) применять для решения других задач как истину ( как теорему Пифагора)? Заранее спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@АлександрВолонцевич-с9ц Точно не понял какое второе. В целом доказали одно: если биссектриса делит пополам угол между высотой и медианой, то треугольник прямоугольный. В списке теорем на ЕГЭ его нет , поэтому нужно доказывать. Это олимпиадная геометрия.

[@АлександрВолонцевич-с9ц]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Теперь абсолютно все понятно. С уважением А.В.

[@евГЕНИЙБаев-в5ш]

Пожалуй да. Самый простой способ доказать, что если биссектриса делит угол между высотой и медианой пополам то изначальный угол этой биссектрисы прямой.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это прямая задача, но тоже неплохая для школьников.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Посмотрите как Al Fal доказал через биссектрисы - тоже неплохо.

[@РегенаХарисова]

Можно рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ВСН и САН.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Спасибо, что смотрите нас.

[@КонстантинГаланский]

На мой взгляд, наипростейший способ решения. Через точку С проводим прямую С, параллельную АВ. Через точку М проводим перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр пересекает прямую С в точке N. Таким образом формируем прямоугольник СNMH. Из того, что угол НСЕ равен углу ЕСМ следует, что СNМН не просто прямоугольник, а квадрат, а угол NСА равен углам АСМ, МСЕ и ЕСН, а в сумме они дают 90°, по 22,5° каждый угол. По правилу параллельных прямых искомый угол САВ равен вновь образованному углу NСА и равен 22,5°

[@nikolaysharapov6298]

Красивая задача. Если знать эту теорему, что биссектриса прямоугольного треугольника делит пополам угол между высотой и медианой. Вывод. Треугольник прямоугольный . Далее. Ответ. 90/4= 22,5°. Мне же понравилось , что биссектриса прямого угла делит дугу пополам и центр вращения её из конца диаметра. И зная длину биссектрисы можно оценить пямоугольный треугольник по сторонам и углам . Хорошая мысль продлить биссектрису в описанной окружности. Биссектриса прямого угла характеризует прямоугольный треугольник.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Спасибо, что вы до нее добрались. Одна из лучших в классике!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правда, здесь обратная задача про биссектрису.

[@ЕрикАкрамов-ц8щ]

BH+HM=AH-HM через этого же равенства можно составить уравнения если выразить углы через тангенсы

[@ЕрикАкрамов-ц8щ]

Угол С отметим через 4 альфа а высоту через h

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, через тангенсы можно. Я ее впервые ког-да-то так и решал.

[@samsungsmart7131]

Я далеко не профи, но вижу ход рассуждения таким: из условия сразу видно, что угол С прямой (п.1 и п.2 ), а медиана, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной вокруг этого треугольника окружности.Отсюда следует ,что треугольник АМС равнобедренный, в котором угол А=90°/4

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@AlexandraMarchenkova]

С помощью тригонометрии задача решается очень просто. Другой способ требует дополнительных построений и он мне не по зубам. 🤪 1) обозначим -- вершины треугольника -- АВС -- высоту, опущенную из вершины В на АС, -- h -- точку пересечения высоты h с АС -- L -- точку пересечения биссектрисы угла ^АВС с АС -- M -- точку пересечения медианы, опущенной из вершины В на АС, -- N -- ^ABL=^LBM=^MBN=^NBC=x --------------------------------------------- 2) AL=h×tg(x) LN=h×tg(2x) LC=h×tg(3x) NC=h×tg(3x)-h×tg(2x) 3) т. к. BN -- это медиана, то NC=AN или NC=AL+LN, 4) с учётом пунктов 2) и 3) h×tg(3x)-h×tg(2x)=h×tg(x)+h×tg(2x), после сокращения на h tg(3x)-tg(2x)=tg(x)+tg(2x) tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) 5) для решения тригонометрического уравнения tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) из пункта 4) нам понадобятся следующие тригонометрические формулы 5.1) tg(y)-tg(z)=sin(y+z)/(cos(y)×cos(z)) 5.2) cos(y)×cos(z)=(cos(y-z)+cos(y+z))/2 6) тригонометрическое уравнение пункта 4) tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) с учётом формулы пункта 5.1) sin(2x)/(cos(x)×cos(3x))=2sin(2x)/cos(3x), после сокращения на sin(2x) и приведения к общему знаменателю cos(2x)=2cos(x)×cos(3x) после применения формулы из пункта 5.2) cos(2x)=cos(2x)+cos(4x) cos(4x)=0 4x=90° ➡️ x=22,5° 7) анализируя углы прямоугольного треугольника BLC, можно записать, что искомый угол ^BCL=180-(90°+3х)=90°-3×22,5° = 22,5° ☑️☑️

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за подробное решение.

[@Dmitriy-A]

Из точки С на отрезке СА отложить отрезок СF, длиной ВС=СЕ. Соединить отрезком точки Е и F Далее из подобия треугольников ЕFА и CEA и равенства треугольников ВСЕ и СЕF видно, что на Отрезке BА в точке E три равных угла: BEC, CEF и FEA - 180/3 =60 ну и далее тоже всё очевидно из треугольников EFM и FMA )))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Извините. Не совсем понятно, откуда взялось подобие.

[@Dmitriy-A]

@@GeometriaValeriyKazakov Неужто я напутал??? …. Треугольники ECA и FEA подобны потому что угол EAC= углу EAF, а угол CEA= углу EFA ..... нет?

[@Dmitriy-A]

что-то у меня пошло не так (((

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@Dmitriy-A Все верно, треугольники подобны, хотя это не пригодилось, треьи углы равны. Но в точке E сходится не три равных угла, а углы 2x, 90-x, 90-x. Иначе, у вас угол B=60, а он 67,5.

[@anuar_mendes]

После того как описали окружность нам известно, что СМ=АМ, радиус. Следовательно углы альфа и МСА равны, углы равнобедренного треугольника МСА, и равны с углами ЕСМ и НСЕ. По условиям задачи они равны. В треугольнике НСА угол НСА равен 3 альфа. Находим угол альфа = 90:4=22.5 градусов

[@alfal4239]

Центр описанной окружности почему в точке M?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@alfal4239 Спасибо, а то не отобьюсь.

[@anuar_mendes]

@@alfal4239потому что СМ медиана, АМ=ВМ

[@anuar_mendes]

Автор видео говорит, что угол С прямой. Это значит, что АВ будет диаметром описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

[@alfal4239]

@@anuar_mendes Неверно. Автор доказал, что угол С прямой. Так что докажите.

[@ЗайняпСафина]

=22,5 , т.к медиана =R = 0,5 стороны АС, трегольник равнобедренный, угол= 90/4=22,2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@alexandersorokin1019]

По теореме синусов просто доказать что cos(C/2)^2=1/2, т.е половина угла С 45 градусов.

[@mikhailkadomtsev4886]

По моему, простая, устная. Сперва смотрим, что даёт высота. Маленький левый прямоугольный треугольник имеет тоже угол альфа, равный трём другим. Далее, смотрим на самый правый треугольник, он равнобедренный,, равнобедренным будет и треугольник левее, следовательно, угол A равен 3 альфа. В итоге сумма всех трех углов 8 альфа, т.е альфа 22.5 градуса.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Равнобедренным правый будет, если треугольник прямоугольный. А это как раз и нужно доказать.

[@mikhailkadomtsev4886]

Да нет, он вовсе не прямоугольный. Просто углы при основании альфа. Стало быть тупой угол 135 градусов, как станет ясно впоследствии. Перепишу свой исходной комментарий, раз возникли у вас вопросы

[@СвободныйМатематик]

Решил оч сложным путем Эх Высота a прав и лев осн b левая часть тре-ка c Лев сторона и бис-са √(a²+c²) Правая сторона √(a²+(2b-c)²) Медиана √(а²+(b-c)²) 1 cos2a=(a²-c²)/(a²+c²) 2 cos2a=(a²+c²+a²+(2b-c)²-(2b-2c)²/√((a²+c²)(a²+(2b-c)²)) cos2a=(a²-c²+2bc)/√((a²+c²)(a²+4b²-4bc+c²)) 3 cos2a=(b-c)/√(a²+b²-2bc+c²) 1 3 (a⁴-2a²c²+c⁴)/(a⁴+2a²c²+c⁴)=(b²-2bc+c²)/(a²+b²-2bc+c²) (a⁴-2a²c²+c⁴)(b²-2bc+a²+c²)=(b²-2bc+c²)(a⁴+2a²c²+c⁴) (b²-2bc)(a⁴-2a²c²+c⁴)-(b²-2bc)(a⁴+2a²c²+c⁴)=c²(a⁴+2a²c²+c⁴)-(a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴) (b²-2bc)=(c²(a⁴+2a²c²+c⁴)-(a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴))/(-4a²c²) (b²-2bc)=(a⁴c²+2a²c⁴+c⁶-a⁶+2a⁴c²-a²c⁴-a⁴с²+2a²c⁴-c⁶)/(-4a²c²) (b²-2bc)=(3c⁴-a⁴+2a²c²)/(-4c²) 4c²b²-8c³b+(3c⁴-a⁴+2a²c²)=0 16(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴) b=(2c+-√(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴))/2c² 1 2 (a⁴-2a²c²+c⁴)/(a²+c²)=(a²-c²+2bc)²/(a²+4b²-4bc+c²) (4b²-4bc+a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴)=(a²-c²+2bc)²(a²+c²) 4a⁴b²-8a²c²b²+4c⁴b²-4ca⁴b+8a²c³b-4c⁵b+a⁶-2a⁴c²+a²c⁴+a⁴c²-2a²c⁴+c⁶=(a⁴+c⁴+4c²b²+4a²cb-2a²c²-4c³b)(a²+c²) 4a⁴b²-8a²c²b²+4c⁴b²-4ca⁴b+8a²c³b-4c⁵b+a⁶-2a⁴c²+a²c⁴+a⁴c²-2a²c⁴+c⁶=a⁶+a²c⁴+4a²c²b²+4a⁴cb-2a⁴c²-4a²c³b+a⁴c²+c⁶+4c⁴b²-2a²c⁴-4c⁵b (4a⁴-12a²c²)b=8a⁴c-12a²c³ b=(2a²c-3c³)/(a²-3c²) +-√(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)=(2a²c-3c³)2c²/(a²-3c²)-2c √(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)=(4a²c³-6c⁵-2a²c+6c³)/(a²-3c²) (c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)(a⁴-6a²c²+9c⁴)=(4a²c³-6c⁵-2a²c+6c³)² a=1 (c⁶+c²-2c⁴)(1-6c²+9c⁴)=(4c³-6c⁵-2c+6c³)² (c⁴+1-2c²)(1-6c²+9c⁴)=4(-3c⁴-1+5c²)² 9c⁸-6c⁶+c⁴-18c⁶+12c⁴-2c²+9c⁴-6c²+1=4(9c⁸+25c⁴+1-30c⁶+6c⁴-10c²) 9c⁸-6c⁶+c⁴-18c⁶+12c⁴-2c²+9c⁴-6c²+1=36c⁸+100c⁴+4-120c⁶+24c⁴-40c² 27c⁸-96c⁶+102c⁴-32c²+3=0 с²=0,26 с=0,5 b=(1-0,375)/(1-0,75) b=0,9625/0,25 b=3,85 1,344 tga=a/(2b-c) tga=1/7,2=0,138 1/2,26=0,42

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СвободныйМатематик]

@@GeometriaValeriyKazakov уточню что у нас получаются 2 возможных с с²=0,26 и с²=0,18 с=0,5 с=0,42 Отсюда 2 варианта

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@СвободныйМатематик Мы c не ищем. Ищем угол. Не задана линейная величина. Если бы была задана, то треугольник задается острым углом и линейной величиной однозначно.

[@СвободныйМатематик]

@@GeometriaValeriyKazakov ну так я и нашел угол хех Просто разбил тре-к на отрезки Далее по разным формулам и свойствам И получилось 2 варианта Но если ошибка и варинат ед, тогда если можно доказать это

[@Alexander--]

Обозначим a = BC, b = AC, один из равных четырёх углов через φ. Площади треугольников CBM и CMA равны, соответственно, (1/2)*a*CM*sin 3φ и (1/2)*b*CM*sin φ. С другой стороны, эти площади равны, потому что CM - медиана (делит треугольник на два равновеликих), приравниваем, сокращаем и получаем asin 3φ = bsin φ. Далее по теореме синусов a/sin(90° - 3φ) = b/sin (90° - φ) или a/cos 3φ = b/cos φ, откуда bcos 3φ = acos φ. Перемножаем два полученных равенства и сокращаем на ab. Получаем sin 3φ cos 3φ = sin φ cos φ. Умножаем на 2 и сворачиваем по формуле двойного угла: sin 6φ = sin 2φ. Оба угла < 180°, т.к. 3φ < 90°. Если синусы таких углов равны, то сами углы либо равны, либо в сумме дают 180°. Очевидно, равенство не подходит. Поэтому 6φ + 2φ = 180°; 8φ = 180°; φ = 22,5°. Отсюда α = 90° - 3φ = 4φ - 3φ = φ = 22,5°.

[@Alexander--]

Немного подумал и нашёл чуть проще: Опускаем перпендикуляры из B и A на CM. Они равны соответственно, asin 3φ и bsin φ и равны между собой, как высоты в равновеликих треугольниках с общим основанием). А высота CH - это с одной стороны bcos 3φ, с другой acos φ. И далее всё так же: приравниваем, перемножаем, сокращаем на ab, применяем формулу двойного угла и аналогичные рассуждения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@СергейПотовский-ъ5ф]

Очень нравится Ваш канал и подходы к решениям задач. Но данную задачу, как мне кажется можно решить несколько проще. Т.к. треугольник АВС прямоугольный (свойство указанное Вами), то медиана СМ равна МА. Т.е треугольник СМА равнобедренный. Следовательно угол МСА= углу САМ, значит все четыре угла при вершине прямого угла С равны альфа. Угол СЕА = 3*альфа, как внешний угол треугольника СЕА. Т.к. треугольник ВСЕ равнобедренный, то и угол В = 3*альфа. Таким образом сумма углов треугольника АВС = 3*альфа+4*альфа+альфа=8*альфа. Т.е. альфа= 180/8=22,5.

[@ПавелБелявцев-х8ф]

Я может что-то не так понял, но Вы уже применили факт, который доказывается практически на протяжении всего видео. Суть задачи доказать, что треугольник прямоугольный и из этого найти угол.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@ПавелБелявцев-х8ф Спасибо, Павел. У Сергея порочный круг. Бывает. Это классика, что тут добавить.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо, что смотрите нас.

[@СергейПотовский-ъ5ф]

@@ПавелБелявцев-х8ф Прошу прощения, если ошибся)

[@КириллМихайлов-ж3х]

@@ПавелБелявцев-х8ф А зачем доказывать то, что АВС прямоугольный, когда АСН прямоугольный и углы, прилежащие к катетам соотносятся как 3 к 1 и следовательно альфа=90/4. По моему решение этой задачи искусственно усложнили, хотя она решается за три секунды.

[@thinkingabout5641]

Угол CMH = 2a как внешний угол треугольника ACM и получается что в прямоугольном треугольнике CHM два острых угла равны по 2а, т.е. в сумме 4а. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? И задача решена.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А кто шепнул, что CMH =2a? Тр. ACM ведь не сказано, что равнобедренный. Это олимпиадная задача для 9 класса.

[@ДамирДанилов-о3к]

Не нужны никакие доп.построения. Пусть каждый из равных углов при вершине С будет х. Тогда угол В будет равен 90-х, а угол альфа 90-3х. И обозначив СМ=m и ВА=с применяем теорему синусов треугльникам ВСМ и СМА: c/2sin3x=m/cosx и c/2sinx= m/cos3x Исключая из полученных равенств c и m, получаем: 2sin3x*cos3x = 2sinx*cosx. Далее решая уравнение sin6x - sin2x = 0 получаем x = 22,5 Остальные корни или отрицательные или больше 30. Поэтому альфа равен 90-3*22,5 = 22,5

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@ДамирДанилов-о3к Тригонометрией можно решить. Мне больше нарвится тангенсами. Спасибо. Но что значит не нужны? Не обязательны.

[@mikaqal3285]

Здравствуйте, ответьте пожалуйста, как долго в среднем вы думаете над дополнительным построением в подобных уникальных задачах, очень интересно узнать

[@GeometriaValeriyKazakov]

Изивините за позднний ответ. Это задача классическая, и я просто давно знаю рещегия таких задачи и читаю лекции по их решению. Если попадается новая задача, то тут все зависит от ее сложности. Сейчас я в основном сочиняю задачи, а не решаю их. Это интересней. Спасибо, что смотрите нас.

[@nikolaysharapov6298]

Если из свойств доказали , что угол прямой. То дальше ответ 90/4= 22,5°.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@viktorsd8301]

5°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ логически - вы правы, секундв 29 ролика, прямоугольный треугольник вписываем в окружность, как на картинке. Если по условиям задачи 90⁰ делятся на 4 равных угла, то это 22,5⁰, и угол между медианой и большим катетом ∠МСА = ∠МАС = ∠а = 22,5⁰ т.к. ▲МСА равносторонний, со стороной R. Кстати, вписанный угол а опирается на дугу 45⁰ - половину четверти окружности - и это видно.

[@SergeyS0691]

автор привел распространенное решение не для данной, а для задачи, когда СЕ биссектриса двух углов. Для неё существует другое решение, тоже связанное с вписанными углами. Пусть Х середина АС. Тогда треуг СХH равнобедренный и угол XCH=XHC. Проведём среднюю линию MX, параллельную ВС. Тогда углы XMC=MCB=HCX=XHC. Значит около CHMX можно описать окружность. Так как угол H=90, т.е. СМ диаметр, то и угол Х=С=90.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. да, это классика.

[@СтарыйХутор-п8к]

А почему просто не прийти к тому, что СМ=МА как радиусы. А угла МСА и МАС равны, как углы в основании равнобедренного треугольника и равнны 90/4

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мы как раз и пришли к этому, доказав довольно сложную задачу: центр O описанной окружности совпадает с точкой M! В этом как раз и состоит задача! Просто написано "профи", олимпиадники все всё понимают. Для любителей приходится разъяснять. Спасибо, что смотрите нас.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Смотрите прикрепленный коммент.

[@Александр-о8т8в]

Мдя... А я, блин, не ищу лёгких путей. Положив, что биссектриса и, значит, первая боковая сторона, равны 1, вторую боковую сторону и медиану выражаю через соотношение косинусов. Тогда через формулу медианы можно найти, чему равно основание в тригонометрических функциях. И тогда по теореме косинусов можно получить уравнение, которое при замене Sin^2(1/4 угла вершины)=х, в итоге даёт: x^4-2.5x^3+2x^2-0.5625x+0.046875=0. Учитывая, что 1/4 угла вершины не может быть больше 30 градусов, единственно верное решение, это х=0,146447, откуда 1/4 угла вершины=22.5 градуса, и искомый угол альфа также равен 22,5 градуса. Почему-то сия задача как-то меня тормознула - сутки пыхтел над ней )

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так это олимпиадная классика! Над ней еще Фалес пыхтел.

[@Александр-о8т8в]

@@GeometriaValeriyKazakov а мне тут пришла в голову мысль, если не философская, то имеющая отношение, вероятно, к комбинаторике ). Пусть 1/4 угла вершины=y, т.е. весь угол 4y. Сумма боковых углов: на первый взгляд (90-y)+(90-3y)=180-4y. А что если сумму этих боковых углов положить как единую сумму градусов, обозначенную а. И эту сумму "дважды используют" для получения значений углов: 1) a-y, 2) a-3y, откуда а=90 градусов, значит, 4y=90 градусов, значит, y=22,5 градуса, и альфа равен 22,5 градуса. Меня к этой мысли привело именно то, в каком виде получается запись боковых углов. Не последовательное вычитание из 180 градусов (например, один угол равен a, другой y, а третий 180-a-y), а то, что из половины суммы углов треугольника вычитаются части, составляющие третий угол.

[@Siemens-s8e]

Я её решил раньше😂

[@GeometriaValeriyKazakov]

Поздравляю!

[@AlexeyEvpalov]

Хорошо обоснованное решение. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за оценку.

[@denvanjohn3249]

Здравствуйте. А не проще рассмотреть эту задачку с учётом того, что CM медиана и что треугольник BCA вписан в окружность с радиусом MB? Где угол C Прямой т.к. BA диаметр. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Кто сказал, что МВ - радиус. Ведь центр неизвестно где. Собственно, это мы и доказываем, в это и состоит задача! Разбирайтесь, уверен, что разбересь.

[@Зина-д4к]

Поздно на глаза попалась. Глянула - ситуация вроде однозначная, а с чего начать - глаза разбегаются. Но честно - до окружности не додумалась сразу. Сразу в глаза бросился равнобедренный треугольник вокруг высоты и два равных по площади вокруг медианы. Для проверки составила пропорции по теореме синусов для трех треугольников (общего и по обе стороны от высоты), обнаружила среди них нужное соотношение, из которого нашла подобие. Из него получилось, что все четыре угла равны искомому. Высчитала (по суммам углов треугольников), что угол сверху прямой, ну а альфа - его четверть, 22,5. И только уже после пришла мысль, что вокруг этого треугольника можно описать окружность, где нижняя сторона будет диаметром, медиана - радиусом (половиной диаметра), ну а верхний угол в таких треугольниках всегда прямой, что хорошо доказывается.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Все так.

[@МалыхинДмитрий-й5л]

Ещё: треугольник CMA -- равнобедренный, и угол САМ оказывается пятым углом, равным, в частности углу ВСН прямоугольного треугольника. Значит угол СВН дополнительный до 90 грд. Значит, треугольник ВСА -- прямоугольный, и угол альфа равен Пи/8. На биссектрису остаётся "автоматически" делить углы на равные.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за мнение.

[@Labrador-m7m]

Проще можно ...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Думаю, вряд ли. Это класссическое самое короткое решение всем известной классической задачи.

[@sergeykitov2760]

Центр окружности лежит на пересечении срединного перпендикуляра к CK и прямой NK, то есть в точке M, можно без "от противного"

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно описывать окружность и продлять биссектрису обязательно.

[@sergeykitov2760]

@@GeometriaValeriyKazakov Да, мой комментарий к шагам уже после построения окружнсти и продлению бисектрисы. точки C и K лежат на окружности, значит центр окружности лежит на срединном перпендикуляре к CK, но он лежит и на прямой NK, эти две прямые пересекаются в точке M. Значит M и есть центр окружности.

[@ИгорьНауменко-х7ю]

Итак: треугольник ABC прямоугольный. Тогда угол BCH равен 90:4=22,5 градуса. Из подобия треугольников ABC и BCH угол BCH и угол A равны. Ответ: 22,5 градуса.

[@shodyadya7144]

Счего вдруг Со равно Ок?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Случшайте внимательно решение.

[@АлексейСаныч-ц2л]

После первых двух утверждений из ролика получаем сразу 22,5 градусов - каждый из 4-х углов. Угол CBH = 90 - 22,5. Угол альфа = 90 - угол CBH = 90 - 90 + 22,5 = 22,5. Разве окружность обязательна?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, окружность обязательна. Вы предполагаете прямой угол, а его нет в условии, его нужно ДОКАЗАТЬ. Что мы и делаем при помощи окружности. В этом суть задачи: "Доказать, что угол C прямой!!!" А 22,5 это автоматически следует, задача совсем не в этом угле.

[@user-gi8hj7ee6q]

Здесь окружность и не нужна! Все вычисляется из медианы и суммы углов треугольника.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Думаю вряд ли. Но напишите.

[@МалыхинДмитрий-й5л]

Простите. В моём решении ошибка: неочевидно, что треугольник СМА равнобедренный.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Бывает.

[@oleglevchenko907]

Хорошо бы ещё доказать, что такой треугольник вообще существует (но мне лень...). То есть надо доказать, например, что если медиана делит пополам угол между биссектрисой и стороной, то и высота может делить (или обязательно делит?) пополам угол между биссектрисой и другой стороной. Кстати, не исключено, что уже в ходе такого доказательства попутно выяснится, что такой треугольник - обязательно прямоугольный, и дальнейшее решение упростится. А то ведь может быть, что здесь как в той задаче, например, что гипотенуза равна 10, а радиус вписанной окружности =3, надо найти площадь (или углы - неважно). Если просто решать, то прекрасно получается некая цифра. Но такой треугольник вообще не может существовать! (например, поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е 5, а диаметр вписанной окружности должен быть заведомо меньше радиуса описанной).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, есть такие теоремки: 1) если прямоугольный - делит 2) если делит - прямоугольный. Доказываются также.

[@victorgorelik7383]

Using trig: kzbin.info/www/bejne/g4i9m6NpfLF6eLs

[@zubenko1592]

Подождите, зачем эта возня??? если треугольник прямоугольный, значит АВ это диаметр... значит альфа равна одному из этих углов при С... а дальше дело сложения углов...

[@GeometriaValeriyKazakov]

ГНе-не. Это вы сами придумали, что прямоугольный. А на самом деле это как раз и нужно доказать. Зачем тогда все парятся?

[@zubenko1592]

@@GeometriaValeriyKazakov ну так по второму утверждению, которое вы в начале сказали, это же становится очевидным.

[@zubenko1592]

все ясно. внимательнее посмотрел. это вы доказываете это утверждение...

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@zubenko1592 Спасибо за понимание.

[@tsaiis]

Честно говоря, не понял цели и оправданных средств в данной задаче. Ведь факт-ки из условия уже понятно, что тр-ник АВС --прямоуг-ный!(утверж-ние 2). Медиана=полгипотенузы=R, а=1/4*90.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это классическая олимпиадная. Ни из какого условия ничего сразу непонятно (вы можете лишь выдвинуть гипотезу). Это как раз и было целью задачи: доказать, что прямоугольный. Но мы рады, что вы смотрите нас и пытаетесь вникнуть. Спасибо.