Transformationsmatrix für Jordansche Normalform

Das Video erklärt Schritt für Schritt, wie man die Transformationsmatrix zur Jordan-Normalform findet, anhand eines Beispiels mit dem charakteristischen Polynom (1-λ)^3, was bedeutet, dass die Matrix A einen dreifachen Eigenwert bei λ=1 hat. Die Transformationsmatrix C wird so konstruiert, dass C^(-1)AC die Jordan-Form von A ist. Der Prozess beinhaltet zunächst die Bestimmung des Eigenraums, also des Kerns von (A - I), wobei I die Einheitsmatrix ist. Hier ergibt sich ein Kerndimension von zwei. Da C eine 3x3 Matrix sein wird, benötigt man zusätzlich den Kern von (A - I)^2, der im Beispiel der gesamte R^3 ist. Man wählt einen Vektor außerhalb des ersten Kerns (hier z.B. [1 0 0]), multipliziert diesen mit (A - I) und setzt das Ergebnis und den gewählten Vektor sowie einen Vektor aus dem Kern von (A - I) als Spalten in die Transformationsmatrix C. Es ist wichtig, nur linear unabhängige Vektoren zu verwenden und zu überprüfen, ob C invertierbar ist, indem C^(-1)AC berechnet wird und dessen Resultat in Jordan-Form vorliegt.
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