Jordan Normalform bestimmen (Beispiel 3x3)

[@altinhajdari2657]

gutes video aber vallah zu leise

[@tomperneczky]

danke dir, erst die neuen videos sind mit stabilem mikro

[@Sacknase381]

Meine Jordannormalfrom ist (-1,1,0) (0,-1,0) wie bilde ich da die allgemeine Lösung? (0,0,2)

[@_luis_0236]

Was soll ein Hauptvektor sein??

[@Sacknase381]

Hey eine frage habe ich noch, ich bin mir noch nicht ganz sicher wie ich herausfinde wo ich die 1 einfügen soll, meine Theorie ist, das man für alle Eigenvektoren einmal ausrechnen muss wieviele Eigenwerte er hat, hat er weniger Eigenvektoren als die Anzahl wie oft der Eigenwert auftritt muss man in der Jordannormalform einen Hauptvektor einsetzen, stimmt das ?

[@tomperneczky]

Die Anzahl der Hauptvektoren für einen Eigenwert ergibt sich aus der Differenz von algebraischer (Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom) und geometrischer (dim(ker(A-lambda*Id))) Vielfachheit. Ich nehme an, du hast Eigenvektoren und Eigenwerte beim ersten Mal vertauscht. Aber grundsätzlich stimmt das, was du sagst :)

[@Sacknase381]

Die Matrix die Ich behandeln soll lautet [-1,3,0][0,2,0][2,1,-1] von links nach rechts glesen. bis zu j komme ich noch mit bei mir ist J=[-1,1,0][0,-1,0][0,0,2] da -1 der doppelte eigenwert ist und 2 der einzelne. Leider komme ich auf keine nochmalform da (A-2I)^2 x = [1,-1,0][0,0,0][-4,1,3] ist. kannst du mir helfen?

[@tomperneczky]

Die Jordanmatrix ist richtig! Die Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren erhältst durch Lösen der entsprechenden Gleichungssysteme, wie ich das auch im Video mache. Konnte ich dir damit weiterhelfen? :)

[@Sacknase381]

@@tomperneczky Leider nicht ganz, ich weiß leider nicht wie ich mit meinem (A-2I)^2x den Hauptvektor ausrechnen kann. Die dadurch entstehende Matrix ist ja anders als bei dir nicht 2dimensional bzw. hat mehr als 2 einträge

[@tomperneczky]

@@Sacknase381 Den Hauptvektor musst du zum Eigenwert -1 suchen. Für 2 gibt es nur "einen" Eigenvektor. D.h. durch Lösen von (A-2*Id)x=0 erhältst du den Eigenvektor zum Eigenwert 2. Bei (A+Id)x=0 bekommst du den Eigenwert zu -1. Wir nennen diesen Eigenvektor einfach mal u. Den Hauptvektor findest du dann, indem du das GLS (A+Id)x=u löst. Ich hoffe, dass das hilft. :)

[@Sacknase381]

@@tomperneczky ja, vielen dank

[@Laurin-gs4wf]

Du erklärst halt nicht 1x wieso du zwischen die beiden 2 drüber noch eine 1 schreibst 😐

[@Laurin-gs4wf]

Genau wie mit dem 2I3. Woher soll ich wissen was das ist? Du schreibst einfach hin (A-2I3)^2 und erklärst nicht 1x was da gemacht wird…. Ich Checks halt echt nicht

[@Laurin-gs4wf]

Dann hast du die Matrix mit den Nullen Sechsen und dreien und dann machst du ein Pfeil und aufeinmal hast du eine 0 Matrix mit einer zwei und einer eins. Kp was da gemacht wurde

[@tomperneczky]

Bei Hauptvektoren kommt der Einser dazu. Den brauchen wir weil wir algebraische vielfachheit 2 haben aber geometrische vielfachheit 1 (für den eigenwert 2)

[@tomperneczky]

Wenn du eine Matrix B hast dann bedeutet B^2 gleich B*B, wobei * die Matrixmultiplikation bezeichnet