🚀🚀🚀 TRICKY GEOMETRIE RÄTSEL! | Schaffst du es die BLAUE FLÄCHE zu berechnen? | Mathe Challenge

[@opytmx]

Wenn man die blaue Fläche um 90° im Uhrzeigersinn um die Mitte des Quadrats dreht, sieht man auch sehr schnell, dass g und h des hlauen Dreiecks = 5 cm sind. Aber deine Lösung ist auch sehr schön, Magda, und erinnert mich an den graphischen Beweis für den Pythagoras. 🙂

[@christophniessl9279]

ich finde es einfacher, wenn man die "normale" Höhe einzeichnet, also eine vertikale Linie in dem Bild von der Spitze des blauen Dreiecks nach unten zur unteren Seite des Quadrats. Dann schau ich mir die linke Hälfte des blauen Dreiecks an, d.h. alles links von der Höhe. Das ist dann ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel Alpha und wir wissen: [sin(alpha)=] h/5cm = 5cm/x, immer Gegenkathete durch Hypotenuse; dass das der 'Sinus ist, braucht man nicht wirklich. Dann noch mal mit den Nennern multiplizieren ergibt: (5cm)²=h*x, und die Fläche des gesamten blauen Dreiecks ist 1/2*Grundfläche mal Höhe, also x*h/2 = (5cm)²/2 = 12.5 cm² Für mich scheint es irgendwie logischer, wenn an einfach zur Flächenberechnung die Höhe (relativ zu der unteren Quadratseite als Grundfläche) einzeichnet; aber es ist wie immer: wenn man eine passende Hilfslinie gefunden hat, ist es einfach. Sonst schwierig ;-)

[@2013EASTCOAST]

Das ist schon ein elegante Lösung, ich hab aber ein wenig getrickst. Wenn eine Diagonale 5 cm ist, sind die Katheten 4 und 3. (Pythagoreische Tripel). Dann kann man sehr leicht mit Hilfe des Thales Kreises die Kantenlänge des Quadrates bestimmen und komme dann auch auf 12,5. 3 zu 4 und 4 zu X dann X = 16/3 dann (( 16/3 +3)GL *3HÖ)/2 = 12,5. (Problem, es ist nicht offensichtlich das das Gebilde ein Quadrat ist, ich nehme aber an, dass das so sein muss.

[@sebastianfischer498]

Ich habe die Lösung raus, aber ich weiß nicht ob man das so machen kann, also: Es gibt offenbar viele mögliche Seitenlängen für das Quadrat, also nehme ich ich eins wo ich ohne Kosinus und so rumkomme. Also: Sagen wir mal die 5 cm gehen bis zum Mittelpunkt. Dann rechne ich mit Pythagoras a^2 + a^2 = 5^2 , und das ist dann gleich meine halbe Grundseite und die Höhe von dem gesuchten Dreieck. Peng, 12,5. Ohne gegen Windmühlen zu kämpfen.

[@horstwerner4939]

Sehe ich ganz genau so. Dann ist alpha=45°. Und die schräge Linie von oben nach unten (oder umgedreht) ist eine Diagonale. Die Katheten des blauen somit rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm & 5 cm und A ist ganz einfach 12,5 cm².

[@nerokakashi939]

Danke für das Video ☺️👍. Schaue ich gerne und Freue mich auf jedes Video 😊.

[@magdaliebtmathe]

Das freut mich echt! Bis bald! 🧡 😊

[@nerokakashi939]

@@magdaliebtmathe ☺️

[@hanspeterfaessli2776]

Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke gilt: (h ist die Höhe des gesuchten Dreiecks, a die Quadratseite) Proportionen: h/5 = 5/a > h x a = 5 x 5 = 25 h x a ist das Rechteck zum Dreieck, dieses also die Hälfte: A = 12.5 Wieder mal Grüsse aus der Schweiz! HP

[@Waldlaeufer70]

Ähnliche Dreiecke links und linker Teil des gesuchten Dreiecks mit Höhe h: 5 : s = h : 5 sh = 25 A(blau) = 1/2 * sh = 1/2 * 25 = 12,5 cm²

[@unknownidentity2846]

Kurz und elegant, besser geht's nicht. Ich habe letzten Endes die Verhältnisse über Winkelfunktionen dargestellt, aber wirklich nötig war das nicht, wie man bei deiner Lösung sieht. Beste Grüße von der Ostsee in die Schweiz

[@roland3et]

👍! 🙂👻

[@Waldlaeufer70]

@@unknownidentity2846 Danke fürs Kompliment und liebe Grüsse in den (relativen) Norden, Michael (Magdas Lösung finde ich auch sehr schön!)

[@m.h.6470]

Lösung mit Kathetensatz a² = p * c wobei p = Höhe des blauen Dreiecks ist und c = die Grundseite des Dreiecks ist (durch das Quadrat) Dadurch haben wir a² = h * g und brauchen 1/2 * g * h Daher halbieren wir beide Seiten und haben das blaue Dreieck a²/2 = 1/2 * g * h 5²/2 = 25/2 = 12,5 [cm²]

[@gelbkehlchen]

Lösung: Ich nenne die Eckpunkte des gelben Dreiecks oben an der Spitze beginnend A, B und C beim rechten Winkel und D sei die rechte Ecke vom blauen Dreieck. Dann ist AB = BD = a die Seite des Quadrates. Winkel BAC sei α, dann ist wegen dem rechtwinkligen Dreieck Winkel CBA 90°-α und der Winkel DBC wegen dem rechten Winkel des Quadrates ebenfalls 90°-(90°-α) = α. Für die Seite AB = BD = a gilt: (1) 5/a = sin(α) |*a/sin(α) ⟹ (1a) a = 5/sin(α) Nun ist die Fläche des blauen Rechtecks = BC*BD*Sinus des eingeschlossenen Winkels/2 [man denke auch an das Vektorprodukt] = 5*5/sin(α)*sin(α)/2 = 25/2 = 12,5[cm²] Ganz ohne Hilfslinien!

[@magdaliebtmathe]

Das hast du super gelöst! Und auch noch wunderbar beschrieben und benannt! Ich bin begeistert! 💛💛💛

[@gelbkehlchen]

@@magdaliebtmathe Danke dir, Magda.

[@_Udo_Hammermeister]

Ich habe zwischenzeitlich den Kosinus von β eingeführt (β=der Winkel wo 5cm steht, g=Seite des Quadrat). Dann: A=g*5*cos(β)/2 ; cos(β)=5/g ; einsetzen und g kürzt sich weg.

[@gertschulze6607]

Die Lösung ist offenbar unabhängig von Alpha. Also konstruiere ich einen Extremfall: Wenn ich die 5-Zentimeter-Seite als Gegenkathete betrachte und die Ankathete auf Null reduziere (Alpha=90), liegt C des blauen Dreiecks in der oberen linken Ecke. Hypothenuse ist dann gleich Gegenkathete, also 5. Das baue Dreieck wird genau die Hälfte eines Quadrats mit der Seitenlänge 5 ...

[@olivierlalivedepinay285]

Eine weitere Lösung über Ähnlichkeiten: Wenn ich im blauen Dreieck die Höhe h einzeichne, erhalte ich zwei ähnliche Dreiecke (mit rechtem Winkel und Alpha). Also kann ich die Ähnlichkeitsbeziehung aufstellen: x/(5cm) = (5cm)/h. Daraus folgt h*x=25 cm2 direkt.

[@detlev_]

Ich habe mir die Flächenformel aufgeschrieben. A=1/2 * g * h .Dann habe ich mir das Rechtwinklige Dreieck angesehen und die "blaue Höhe h" als "p" für den Kathetensatz entdeckt. Kathetensatz [a²=p*c] für das rechtwinklige Dreieck mit gegebener Kathete 5cm: in unserem Fall 5²=h*g. Ach, das war ja schon der gesuchte Therm für die Fläche ... A=1/2 * h*g = 12,5cm²

[@magdaliebtmathe]

Wie smart, Detlev! Sehr nachvollziehbar! 🍀

[@unknownidentity2846]

Und schon wieder eine spannende Herausforderung, wie immer von Magda charmant vorgestellt. Dann wollen wir mal: . .. ... .... ..... Die Eckpunkte des Quadrats seien A, B, C und D (angefangen unten links und dann gegen den Uhrzeigersinn fortgesetzt. Außerdem sei E der Schnittpunkt der Linien im Inneren des Quadrats. Da das Dreieck ADE rechtwinklig ist, gilt: AE/AD = AE/s = cos(Winkel DAE) s sei die Seitenlänge des Quadrats. Die beiden Winkel DAE und BAE ergänzen sich zu 90° und deshalb gilt: cos(Winkel DAE) = sin(Winkel BAE) Nun kann die Fläche des blauen Dreiecks berechnet werden: A(blau) = A(ABE) = (1/2)*AE*AB*sin(Winkel BAE) = (1/2)*AE*s*sin(Winkel BAE) = (1/2)*AE*s*cos(Winkel DAE) = (1/2)*AE*s*(AE/s) = (1/2)*AE² = (1/2)*(5cm)² = 12.5cm² Beste Grüße von der Ostsee

[@_Udo_Hammermeister]

Wenn mir jemand garantieren kann, dass die Fläche eindeutig mit diesen Angaben bestimmt ist, dann ist die Fläche 12,5 cm². Aber die Annahme muss ich erst noch untersuchen.

[@azuri.7041]

..

[@magdaliebtmathe]

🍀

[@wsmv2011]

Da es für die Lösung anscheinend egal ist, wie groß alpha ist, wähle ich einfach alpha = 45°. Die 5 cm sind dann die halbe Diagonale des Quadrats (vom Eck zum Mittelpunkt); das blaue Dreieck wird zu einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck mit Seitenlänge 5 cm, und seine Fläche ist einfach 5 * 5 / 2 = 12,5 cm².

[@wollek4941]

Erster Gedanke: Hilfslinien. Zweiter Gedanke: Da war doch mal etwas mit Windmühlenflügeln bei Magda 🤔⁉️ 🤣 Das rechtwinklige Dreieck hat Kathetenlängen von 5 und 10 cm. Die Hypotenuse √ 125. Die Fläche vom Außenquadrat also 125, vom „Innenquadrat“ 25 (1:5 daran konnte ich mich noch erinnern 🤓). Jeder Flügel 🪽 hat also die Fläche: 100:4 = 25. Der blaue Teil des Flügels 🪽 ist halb so groß, wie der Flügel 🪽 selbst, also ½x5x5 = 12,5. Antwort: Die blaue Fläche ist 12,5 cm² groß. 🥤🤓🍿 Q.e.d.

[@magdaliebtmathe]

Haha! Super gemerkt! Die Windmühle ist auch echt toll, finde ich! 🧡