УСТНАЯ ЗАДАЧА! ОТВЕТ НА ЭКРАНЕ!

ABCD - пар-мм, на стороне BC взята точка K. Оказалось, что AB=BK. Найти площадь пар-мма, если AK=5, KD=3.

[@JirnovRazvedka]

Проводим км параллельно боковым сторонам, получаем два равных ромба площадью 1/2 параллелограмма, с диагоналями 5 и 3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично! Супер!

[@alexandrsergeevich2929]

Так же решил не досматривая😂 Решение от Валерия для школьников наверное подойдёт лучше тк оно логическое

[@capitaineserge_9747]

@@alexandrsergeevich2929 А это решение разве не логическое? К тому же оно более очевидное, я тоже сразу же как увидел рисунок мысленно провел КМ и сразу видно два равных ромба.

[@galinaberlinova3896]

Также решила

[@alexandrsergeevich2929]

​​@@capitaineserge_9747потому что конкретно эта задача - идеальные, тепличные условия и решение лежит на поверхности. В обычной жизни ВК может быть не равно КС и решить можно будет только методом Валерия. Поэтому надо именно понимать логику подобных решений.

[@AlexeyEvpalov]

Достроив сверху такой-же паралелограмм, получим ромб с диагоналями 10 и 6, его S=10×6/2=30. Искомая S половина S=30/2=15.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@sparseremark]

1) Доказали, что AKD=90° 2) S ∆AKD = 5*3/2=7,5 3) Заметим, что S ∆AKD - 0,5*AD*KH; А площадь параллелограмма - AD*KH. Значит, параллелограмм в 2 раза больше треугольника. 4) Sabcd=2*Sakd=2*7,5=15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@pojuellavid]

Ну блин детская. Два равных ромба с диагоналями 5 и 3 Ответ"15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну, а как ученик увидит 2 ромба? Их же нет. А дополнительные построение - это большой вопрос. А как доказать, что ромбы равны? Нет признков равенства ромбов. Напишит в контрольной6 "ромбы равны" получит боьшой вопрос и незачет. Вот вы докажите, что ромбы равны! По опредлению - это фигуры, которые можно совместить наложением. Канитель еще та. Так что оно то да, но сам понимаешь ...вопросики

[@pojuellavid]

@@GeometriaValeriyKazakov Да что ж такое! Проводим КМ, параллельную боковушкам. Параллельна и через середину стороны -- средняя линия. значит через середину АД. в маленьких 4-угольниках потивоплож стороны попарно равны, но равны и смежные -- ромбы. у них стороны равны, а углы равны ишшо с условия ------------------- я последний раз до последней цыфирки писал при поступлении в ВЗМШ Если все каментеры такие простыни писать будут?

[@valeraag5634]

Устная задача по параллелограмму простая, но с ловушкой. в которую многие попадаются. 2 биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД делят сторону ВС на три равные части. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 40. Ловушка в том, что ответов два, не только 5 и 15.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, очень классная задача: точка перес. бис. внутри, на стороне и снаружи. Жаль в ролике не дашь!! Только текст, а текст - смотреть не будут. Спасибо.

[@НиколайЛебедев-ч6в]

Методом Ландау можно увидеть два равных ромба с известными диагоналями.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Коенчно. Правда в школе нет признаков равенства ромбов, но можно обойтись.

[@КонстантинВинников-р6б]

Ничего не нужно проводить, произведение 3*5=15 и есть площадь параллелограмма!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Проводили для детей.

[@sergc9068]

Решил до просмотра. KM - половина диагонали прямоугольника со сторонами 5 на 3. Там ранее писали про ромбы, но я вроде понятнее объяснил.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@barsa2701]

ну да, поставили точку М. АД - диаметр описанной вокруг треуг. АМД - он прямоугольный.... ну и все.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

С окружностью отлично. Правда это уже не 8, а 9 класс.

[@maxgladkikh2326]

А где изячное решение, которому хочется аплодировать? Вы же сами провели КМ и получили два совсем одинаковых именно ромбика. А если они ромбики - то у них диагонали под прямым углом. И диагонали у них - соответственно - 5 и 3. А площадь обоих вместе - ((5x3)/2)x2 = 15. Я смотрю, я тут не один такой премудрый, но реально же - семечка, чего городить.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, это изящное, но это дополнительное построение, которое по моему замыслу и должны написать зрители. Наше решение устное высокопрофессиональное: а) биссектрисы пер-ны б) площадь п-мма в 2 раза больше пл. тр-ка, т.е. 5 на 3. ВСЕ! А, кстати, признаков равенства ромбов в школьных учебниках нет, да нигде нет!!! Поэтому при письменном оформлении будут большие проблемы.

[@maxgladkikh2326]

@@GeometriaValeriyKazakov Дополнительное построение я бы поленился, написано же - из Вами проведённой линии) И - как так, нету признаков? Чего же Вы медлите, надо ж тогда застолбить! Лемма Казакова и прочее. Греки есть, французов море, а наши?

[@AndranikAdamyan-f3b]

Угол AKD 90°, т.к. AK,KD биссектрсы соответственнх углов. Треугольник AKD имеет площадь равную половине параллелограма. Тогда Sпар=5*3

[@JirnovRazvedka]

Здесь не нужны углы

[@adept7474]

​@@JirnovRazvedkaЗдесь не нужны доп. построения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно сослаться на свойство параллелограмма: биссектрисы соседних углов пер-ны.

[@alexnikola7520]

это два ромба наверно... у них диагонали перп... поэтому квадрат стороны = (2.5)^2+(1.5)^2=8.5... сторона =√8.5... из треуг AKD по теор косин 34=25+9-30cosAKD... cos=0... значит площадь AKD это 15/2... а это половина площади всего парал... ответ 15

[@JirnovRazvedka]

Что ты несёшь? Два ромба АБКМ и МКЦД, у обоих диагонали 5 и 3. Зачем вам треугольник рассматривать?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@АлексейКаратаев-с3з]

Красиво. Но я через ромбы решил

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлитчно. А какаво определение равных ромбов? В книжке точно нет.

[@-wx-78-]

Хотел покрутить параллелограмм вокруг K, но раз лучше просто поставить лайк - так и сделал. 😉

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно.

[@constantinfedorov2307]

Два ромба с диагоналями 3 и 5

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так точно.

[@Одуван13]

Проводим отрезок КО, где О середина АД. Таким образом получаем два одинаковых ромба с диагоналями 5 и 3 .. диагонали перпендикулярны.. следовательно мысленно переносим треугольник КСД под АО, а треугольник АВК под ОД и получаем прямоугольник со сторонами 5 и 3.. умножаем и получаем площадь 15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо! Отлично!

[@Григоров_Алексей]

Отличная задачка!!!! Но не понял замысла умного решения от тренера. Очевидно красивое решение, когда соединяем середины длинных сторон параллелограмма и получаем два равных ромба с диагоналями 5 и 3. Тренер, объясните, что прокачиваем, иначе не въеду в следующие задачи...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Замысел такой: олимпиадник, видя эту задачу, решает ее устно за 3 сек: видим биссектрисы, они пер-ны, S пар = 2 S тр = 5*3=15!!! Бинго. Конечно, я вижу все возможные решения. Зачем же мне их излагать, если будут куча комментов, в том числе и ваш. Комменты - продвижение канала. Кстати, где вы видели признаик равенства ромбов??? Вам на экзамене за такое "умное" решение (а оно хорошее) точно снизят оценку на 2 балла!

[@Григоров_Алексей]

@@GeometriaValeriyKazakov Валерий Владимирович, конечно такое мое "решение" - совсем не решение. Всего лишь идея. Для решения не нужно вообще доказывать равенство этих ромбов. Хотя, если, вдруг, будет нужно, то в данном случае равенство можно легко доказать. Если просто для комментариев, то держите еще один!)) Респект каналу и тренеру! И да, я безусловно понимаю, что Вы решений быстрых и красивых видите много. Иногда, подумав, повспоминав, понимаю зачем или почему в том или ином ролике решение не самое красивое и быстрое. А здесь... Даже не подумал, что для продвижения канала...

[@ДендроидВиверновичДраконов]

Продляем красные отрезки на такое же расстояние, достраиваем до большого ромба (доказываем, что получается именно ромб через равенство треугольников). Его площадь это половина произведения диагоналей, площадь нашего пар-ма это половина площади ромба, ответ 15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мне чоень понравилось ваше решение!

[@gidro21]

Проще решить мысленно переместив части пара-мма. Треугольник ABK передвинем не переворачивая к отрезку АД стороной BK (точка K к точке D). Треугольник KCD передвинем к отрезку АД стороной KC (точка K к точке A). BK+KC равны по длине AD, внешний угол при ABK равен углу KCD, значит в результате отрезки AB и CD треугольников совпадут. Итог - мы получим прямоугольник "A-K-D-(новая точка)" со сторонами 5 и 3. Далее 5*3=15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Интересно, но думаю, точно не проще. Наше решение: видим биссектрисы, они пер-ны, S пар = 2 S тр = 5*3=15???

[@gidro21]

@@GeometriaValeriyKazakov Нужно доказать, что они биссектрисы, потом доказать, что они перпендикулярны, потом, что S треугольника = 1/2 S параллелограмма )

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@gidro21 Спасибо. Ничего доказывать не нужно - это известные каждому олимпиаднику свойства. На них только сслыаются. Вот ваше "передвинем" вызовет очень много вопросов и учителя или жюри: а) это паралельный перенос или поворот или что? б) на какой вектор, на какой угол, относительно какого центра? и т.д. Хотя в принципе мне все понятно. При таких решениях как ваше важно ссылаться четко на свойства параллельного переноса или поворота.

[@alexniklas8777]

Мыслю Sпар= 16 кв.ед

[@GeometriaValeriyKazakov]

Рядом!

[@alexniklas8777]

​@@GeometriaValeriyKazakovОказывается 5 и 3 - длины отрезков, а я принял эти числа за площади треугольников😮😮😮

[@zawatsky]

Получается, мы вывели общую формулу для частного случая. Площадь параллелограмма 2х1 всегда равна произведению отрезков, проведённых от центра верхнего основания к углам нижнего.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ВОТ ЭТО то, ЧЕГО Я ДОИВАЮСЬ!!! Спасибо.

[@RescueMe-o7j]

эх, а я думал это площади написаны)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, луше добавить см, но некуда. В условии под роликом написано все. Правда, эти треугольнии равновелики и не могут быть равны по площади. ПРиношу извининия.

[@RescueMe-o7j]

@@GeometriaValeriyKazakov я просто условия всегда беру с превью, потом в пейнте решаю, а только потом открываю видео)

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@RescueMe-o7j Да, есть такая проблемка.

[@Ярослав_Вдовин]

Подозреваю, что диагонали равностороннего параллелограмма всегда пересекаются под углом 90 градусов, а поскольку у нас АК- это МС, то искомая площадь- произведение МС и КД.

[@Ярослав_Вдовин]

Ну, да, он же ромб.

[@MityaNamikin]

Как я решил: Переносим треугольник KCD влево, так чтобы CD оказалась на месте AB. Переносим треугольник AKD влево вверх, так чтобы точка D оказалась на месте точки K. Получился прямоугольник. И его стороны нам уже известны - 5 и 3, значит, площадь 15.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично решил!!

[@tsaiis]

Ну, в общем, действительно устная. Углы А+Д=180. АК и АД -- биссектрисы(классика). Сл-но, угол К=90. Sakb+Skcd=Sakd(АК и КД--диагонали своих ромбов.) Sabcd=15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Сразу видно профи.

[@ВАЛЕНТИНПОЛЯКОВ-п3р]

Почему сумма углов равна 50-и?

[@GeometriaValeriyKazakov]

90

[@GeometriaValeriyKazakov]

Прошу извинить за почерк - это "9" такое, и на рисунке я продублировал

[@igrodell]

Люблю такие задачи, где можно предложить ученикам найти несколько способов решения. Сохраню задачу для своих занятий. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

я ТОЖЕ.

[@YardenVokerol]

AD - диаметр, K=90° S=5•3=15

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибою. Но поясните зрителям - почему диаметр, где центр окружности?

[@YardenVokerol]

​​​​​​​​​@@GeometriaValeriyKazakov O: O∈ AD, AO=OD => AO=BK≝AB=OK => O - центр окружности OAKD, AD - прямая => AD - диаметр, K ∈ окр => ∠ AKD=90°

[@АлексейЧе-о1я]

Валерий, мне кажется, в задании несвозможный параллелограмм... Угол 90 не возможен. Иначе это означает, что длинная сторона - диаметр, а окружность с этим диаметром должна касаться второй длинной стороны. А это значит, что радиус этой окружности и высота параллелограмма равны половине длинной стороны. А по условию половине длинной стороны равна меньшая сторона... Дополняю.. Не обязательно касается, может и пересекать)))

[@SB-7423]

То, что длинная сторона является диаметром означает только лишь факт, что окружность проходит через три точки: А, К, Д. А ее радиус действительно равен короткой стороне. В чем проблемы? И высота параллелограмма НЕ равна половине длинной стороны.

[@АлексейЧе-о1я]

@@SB-7423 внимательнее, я же дописал уже, что может пересекать

[@SB-7423]

@@АлексейЧе-о1я так проблемы в чем? Почему такой параллелограмм невозможен? Я именно к этому! Эта окружность не касается ни одной стороны этого параллелограмма! Ни верхней, ни нижней. "должна касаться второй длинной стороны."-цитирую Вас. Да , Вы добавили : может и пересекать. Но она не касается и первой длинной стороны! Вопрос тот же: почему такой параллелограмм невозможен?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Постройте прям-ный тр-к с катетами 5 и 3 и достройте его до пар-мма, для чего через вершину прямого проводим параллельную гипотенузе и затем серединные пер-ры к катетам. Не стоит благодарностей.

[@СвязиНа]

Красиво!!! Спасибо Вам большое ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤

[@ХанифАбдуллин-у9ь]

Вывод : это свойство таких параллелограммов надо запоминать!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Надо!

[@edikedik6752]

Делим пополам (точку К соединим с серединой АD) и получаем два ромба с диагоналями 3 и 5, затем находим их площадь. Элементарно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Никто и не говорил, что сложно. С ромбами отлично.