Volumen von Kugeln und Teilkugeln mit Zylinderkoordinaten - Mehrfachintegration einfach erklärt

[@mahirgiersberg347]

Hallo, erstmal vorweg: Die Videos sind super und helfen mit echt weiter, danke! Dann hätte ich noch eine Frage: Bei der oberen Grenze von z benutzt du doch die Kreisgleichung in 2D, oder? Also x^2+z^2=r^2. Aber diese 2D-Zeichnung ist ja nur zur Veranschaulichung da, am Ende muss man ja in 3D integrieren. Wieso benutzt man dann für die obere Grenze nicht x^2+y^2+z^2=r^2 und stellt das dann nach z um? LG

[@MathemitNina]

Hi Mahir, Ja genau ich verwende die Kreisgleichung in 2D, schneide gedanklich einen Teil davon heraus und lasse diesen Teil um die z-Achse rotieren. Der abgefahrene Raum ergibt dann den Körper. Du kannst dir die Integration mit Zylinderkoordinaten grundsätzlich immer so vorstellen. Eine 2D Funktion rotiert um eine Achse und es entsteht ein Körper. Um das Volumen herauszufinden brauchst du die Gleichung dieser rotierenden Funktion (oben die Kreisgleichung in 2D, den Winkel um den rotiert wird und die beim rotieren entstehenden Radien des Körpers). Wie würdest du weitermachen, wenn die die Kugelgleichung in 3D nimmst, nach z auflöst und integrierst? Beste Grüße Nina

[@valentinritter3692]

Wenn ich das Volumen berechnen müsste könnte ich doch auch bis pi integrieren und die Untergrenze für z gleich 0 setzten oder?

[@MathemitNina]

Jap! Das geht genauso, dann liegt der Körper quasi einfach nur wo anders im Raum. Das Volumen ist aber - logischerweise - das gleiche.

[@beerberger5461]

Hallo, ich hab eine Frage: müsste die obere Grenze für r nicht bei sqrt(3) liegen? weil der Kreisbogen geht ja nicht bis runter zur x Achse, wo er 2 erreicht, sondern schneidet die z=1 ebene schon bei ~1,73 also der wert für den auch die obergrenze von z, also sqrt(4-r^2) gleich 1 wird, ich komme dann auf (5/3)*pi für das volumen und vielen vielen Dank für deine Videos, irgendwie macht Mathe plötzlich Spaß :)

[@MrALBFLO]

Woher weiß ich denn dass ich nur eine Viertel Kugel besitze? Ich verstehe das leider überhaupt nicht.

[@MathemitNina]

In der Angabe steht: "Kugel wird in 4 Teile zerlegt" -> Viertelkugel Dann ergänzt du Schritt für Schritt die Grenzen, um diese Viertelkugel abzubilden.

[@ehbumm]

In der Lösung von WS18 steht als Radius nicht 2 sondern Wurzel 3, jetzt bin ich mir nicht sicher wem ich glauben soll. Im Zweifel natürlich Nina ;)

[@MrICH99999]

Also wenn man sich die Kugelgleichung anschaut, sieht man x²+y²+z²=r², setzt man für r²=4 ein, bekommt man den Radius r=2 raus.

[@awp2380]

Hallo Nina, vielen Dank für dein tolles Video, in der aufgabe 1 hat sich in der Skizze ein kleiner Fehler eingeschlichen (wenn ich die Aufgabe richtig verstehe). Müsste der Kreis nicht mit der x-Achse abschließen und lediglich durch die z=1 Ebene geschnitten werden? in der Skizze sieht es so aus als wäre z=1 der Mittelpunkt des Kreises.