24C.3 Volumen eines Kegelstumpfs mit Dreifachintegral und Zylinderkoordinaten

[@gradient8951]

Sehr schön ! Explizit nachvollziehbar durchgerechnet, besonders gut die Polynomdivision und das Durchkürzen !

[@decauchy8173]

schön zu sehen, das am ende die formel ganz ansehnlich ist. daumen hoch.

[@beamerfan8982]

tolles video .. schöne wiederholung :)

[@007BLAblaBLAbla]

Hallo Herr Loviscach, ich hätte eine Frage zu Min.: 6:00 . Sie sagen dort das r was im inneren Integral dazu kommt. Ist der Korrektur Faktor oder Jacobi Determinante für ein Zylinder. Wie genau bestimmt man den oder wie genau kommt man auf das r, wenn man ein speziellen Körper hat? Ich hätte noch eine Frage die eher indirekt was mit dem Video zutun hat, aber vllt könnten Sie mir ein kleinen Tipp geben oder vllt haben Sie bereits ein Video dazu? Ich wurde nicht fündig auf Ihrem Kanal. Ich hatte vor von einer ausgeschnittenen Kugel ähnlichen Figur den Schwerpunkt auszurechnen. Das Volumen hab ich mit einem doppel Integral berechnet, aber tuh mich jetzt schwer damit in das bereits vorhandene Integral jeweils den Lastarm einzubauen. Wie genau könnte man z.b. auch in eine Figur wie Sie im Video berechnen (ein Zylinder), den Lastarm von jedem kleinen ''Flächelchen'' zu der Achse in dem Integral mit einbeziehen. Ich danke Ihnen im voraus.

[@JoernLoviscach]

Ja, das ist die (was ich hier nicht sage, weil es niemandem helfen würde) Jacobi-Determinante. Bitte meine einführenden Videos zur Integration in Polarkoordinaten ansehen: www.j3L7h.de/videos.html

[@11pauli]

Warum ist beim integral über "r" die untere Grenze nicht r1 sondern 0?

[@JoernLoviscach]

Ich betrachte alle Punkte mit Abstand r = 0 bis r = r1 + (r2-r1)/h * z. Sonst wäre innendrin ein Zylinder weggeschnitten.

[@rockarellaa3006]

Sehr schönes Video! Erklären Sie das mit der Rotation in einen anderen Video genauer?

[@JoernLoviscach]

Ja, siehe www.j3L7h.de/videos.html

[@luna42279]

echt super erklärt :) Danke dir!!

[@JoernLoviscach]

+luna42279 Gerne!

[@PW-qi1gi]

Wie kann man das formal argumentieren? Wenn ich die Transformationsformel nehmen will, darf das Intervall für den Radius in der Parametrisierung doch nicht von z abhängen - ich will den Kegel ja als Bild eines Quaders unter einem Diffeomorphismus phi darstellen. Es funktioniert aber anscheinend trotzdem.

[@JoernLoviscach]

(Bitte immer den Zeitpunkt im Video angeben!) Zur Frage: So lange nur die Grenzen der jeweils inneren Integrale von den jeweils äußeren Integrationsvariablen abhängen, ist alles in Ordnung. Nicht durch Mathematik ("Diffeomorphismus"!) verwirren lassen, sondern erst das anschauliche Prinzip verstehen.

[@PW-qi1gi]

@Jörn Loviscach Ok, danke dass sie Fragen selbst beantworten! Dass das anschaulich funktioniert ist mir sonnenklar. Ich weiß nur nicht, wie man das Kegelvolumen parametrisieren soll, sodass ich die Transformationsformel anwenden kann. Ich möchte ja das Integral über ein Gebiet phi(D) in ein Integral über D darstellen, sodass D ein Quader und phi(D) mein Kegel ist. Konkret geht es um die Abhängigkeit von z bei 14:58 (Ich studiere Mathematik und bei der Prüfung muss ich alles formal argumentieren 😅)

[@JoernLoviscach]

@@PW-qi1gi Doch besser Physik studieren! ;-) Die besagte Abhängigkeit muss man dann in phi einbauen. phi muss die Koordinate des Quaders, die zu r wird, in Abhängigkeit von der Koordinate, die zu z wird, skalieren. Aber viel Glück damit, die Periodizität des Winkels und erst recht die z-Achse formal sauber zu behandeln!

[@habiky6844]

Hallo, das Video ist zwar älter dennoch hätte ich eine Frage bzgl. phi, wann nehmen ich als Grenzen 0 bis 2pi und wann -pi bis pi ? LG

[@JoernLoviscach]

Das ist egal, denn es sind dieselben Mengen an Punkten. Man muss nur aufpassen, falls im Integral eine Formel stehen sollte, die nicht 2pi-periodisch bezüglich phi ist, zum Beispiel f(r, phi) = phi für das Volumen unter einer einer Art kontinuierlichen Wendeltreppe: Soll die von -1/2 bis +1/2 Umdrehungen machen (Volumen 0) oder von 0 bis 1 Umdrehung machen?

[@Bethrion]

Wie heißt das Programm, mit dem Sie auf dem Computer per Stift schreiben?

[@JoernLoviscach]

Zur Technik siehe: www.j3L7h.de/videotech.html

[@Bethrion]

Jörn Loviscach Vielen Dank!

[@Rene07able]

@Jörn Loviscach: Haben Sie sich beim Ergebnis nicht vertan? Es sind nicht ca. 300, sondern 3000 Liter. Das ergibt bereits eine Überschlagsrechnung: Eine zylinderförmige Tonne mit d=232cm und h=80cm hat ein Volumen von 3.381.861,66 cm3 = 3,38186166 m3 = 3.381,86166 l. Das tatsächliche Volumen des Kegelstumpfes ist natürlich kleiner, also ca. 3.000 l.

[@JoernLoviscach]

+Ro Michel Dann hätte ja der Hersteller gelogen, wenn er 300 L draufschreibt. Mein Resultat ist plausibler. Der Radius ist etwas bei 240 cm / 6 = 40 cm, die Querschnittsfläche also etwas bei 3 * (40 cm)², also knapp 5000 cm² = 1/2 m² (plausibel!) und das Volumen damit unter 1/2 m² Grundfläche * 1 m Höhe = 1/2 m³ = 500 L. Moral: Lieber einmal sinnvoll schätzen, statt viele Stellen nach dem Komma aufzuschreiben! ;-)

[@Rene07able]

+Jörn Loviscach Sie sind ja sehr schnell im Antworten. Wollte meinen Beitrag eigentlich gerade löschen, da ich den Umfang einfach für den Durchmesser genommen habe.

[@xiuongsu6021]

beim rechnen des Volumens habe ich am Ende 3046016,284 heraus also 3000 Liter. Rechenfehler?

[@DarthZackTheFirstI]

@@xiuongsu6021 nein, wenn du r (das längere) ausrechnest (36) und davon die kreisfläche (36^2*pi) mal m (80) (ja ich weiß das ist nicht h, aber zur überschlagsmässigen rechnung und einschätzung genügt es), kommt man bei einem zylinder auf 325720 cm^3, in etwa.das ding da ist kleiner, also wirds irgendwo darunter sein. also niemals 3000 liter.

[@lumo9198]

Wäre es aber auch ok das Volumen mit einem einzigen Integral auszurechnen?

[@JoernLoviscach]

Das kann richtig werden, wenn man es korrekt macht.

[@lumo9198]

@@JoernLoviscachwow danke für die schnelle Antwort. Selbst seit dem es dieses Video schon so lange gibt. Ich hatte es so gedacht. Ich stelle eine Funktion auf, die die Querschnittsfläche in Abhängigkeit von x, der Höhe beschreibt. Diese integriere ich dann von 0 bis zu Höhe. Mein Ergebnis was ca 303888,5. Da ich mit auf drei Nachkommastellen gerundeten Werten gerechnet hab, hat mein Ergebnis wahrscheinlich diese Abweichung.

[@JoernLoviscach]

​@@lumo9198 Ja, das ist eine Art, es richtig zu machen. Siehe meine Videos zu Rotationskörpern. Und 27:14 in diesem Video hier. Aber nicht mit x Stellen Rechnung "prüfen", ob die Formel korrekt ist, sondern gefälligst die gefundene Formel durch Umformen mit meiner Formel vergleichen.

[@lumo9198]

@@JoernLoviscach Ja, das mit dem Umstellen werde ich noch machen. Hab mich aber über meinen Erfolg gefreut, da ich zum Thema Analysis selbstbeigebracht und relativ neu dabei bin (bin auch erst 15 Jahre alt). Da ist das Überprüfen in den Hintergrund gerutscht. Ist aber trotzdem wichtig, weswegen ich es auch noch nachholen werde.

[@landensohn6604]

Understandable have a nice day

[@helyushd6943]

vielen Dank!

[@christiangabriel1482]

Wahrscheinlich ein sehr spätes Kommentar: Ist die Steigung nicht andersrum als im video definiert? Also ich hätte für den rmax(z) r1+(z/r2-r1) gerechnet, da mann ja in einem normalen x,y KS auch y2-y1/x2-x1 rechnet oder nicht?

[@JoernLoviscach]

Die Steigung ist nicht immer wie bei der Straße: Was passiert, wenn man sich die Straße ansieht, während man seitlich auf dem Boden liegt? Hier im Video setzt man z ein und bekommt r raus, also muss der Faktor vor z etwas wie r / z sein. Diese Faktor (die Steigung der Geraden) sagt hier, wie sich r ändert, wenn sich z ändert. (Meta: Bitte immer die Stelle im Video angeben, hier: 15:00.)

[@Davidos76]

Meeeega hilfreich!!!