24.4 Integration in Kugelkoordinaten, Kugelvolumen

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[@xardas0phz]

Besser erklärt als die Polizei erlaubt ;) Vielen Dank!

[@lobijuni]

Ich bin wirklich froh, dass es Joern Loviscach gibt. Ich verstehe durch ihn so Vieles.

[@Fcstfan]

Wow, genial erklärt... So anschaulich... Jetzt weiss ich sogar warum man das so rechnet, danke vielmals fürs uploaden.

[@JoernLoviscach]

@leonardlenny1 Solange man das nicht zeichnen will, ist das relativ einfach. Man kann noch einen zweiten Polwinkel dazunehmen und hat dann w = r cos(zweiter Polwinkel) und x,y,z wie bisher, aber mal sin(zweiter Polwinkel). Das Volumenelement ist dann r^3 sin(zweiter Polwinkel)^2 sin(theta) dr dtheta dphi.

[@kylexy31094]

Okay, danke. Und Kompliment, sehr gut erklärt, von Ihren Methoden könnte sich so mancher noch etwas abgucken.

[@Davidos76]

Sehr, sehr schön erklärt! Genau sowas kann man gebrauchen!

[@violinyay6632]

Danke für die erwähnung von dem Jecobi Zeug. Jetzt weiß ich auch endlich, wo ich das einzuordnen habe

[@pablioh]

an welcher hochschule lehrst du Jörn Loviscach ?? da will ich hin :D

[@36SOAD]

Vielen Dank für das tolle Video! Super erklärt

[@JoernLoviscach]

+Chris S Gerne!

[@erkidavi]

Anschaulich und leicht verständlich erklärt, hervorragend!

[@46driftKing]

@JoernLoviscach vielen Dank :) ich hab mich grad nochmal hingesetzt und bin beim herleiten draufkeommen, dass ich das übersehen habe. Danke für Ihre hilfe.

[@JoernLoviscach]

Ja, die Reihenfolge ist egal. Ob ich die Wurst längs oder quer in Stücke schneide, ändert das Gesamtvolumen nicht (Satz von Fubini). Allerdings ist je nach Integrationsbereich die eine oder andere Reihenfolge sinnvoller. Beispiel in Polarkoordinaten: Wenn mein Integrationsbereich das Innere der Spirale phi = 0 bis 2 pi und r = 0 bis phi/2pi ist, sollte das dr-Integral innen stehen, damit man den Integrationsbereich einfach mit Hilfe der Grenzen der Einzelintegrale berücksichtigen kann.

[@kolt13377]

perfect, mal wieder genau dass was ich gesucht habe beim selben "typen" gefunden

[@snookerbg]

hat mir sehr geholfen. Top erklärt!

[@JoernLoviscach]

Gerne!

[@JoernLoviscach]

@46driftKing Der Winkel wird nach oben hin enger. Kann man am besten sehen, wenn man theta dicht am Nordpol wählt.

[@JoernLoviscach]

@46driftKing Das "dphi bekommt, in dem man r*dphi rechnet" scheint mir ein Widerspruch in sich, denn dphi ist ja nicht r*dphi, außer wenn r = 1. dphi ist die Winkeländerung. Der Bogen im Abstand r hat dann aber die Länge r*dphi. Wenn ich den doppelten Abstand nehme, muss sich bei gleichem Winkel ja auch die Länge verdoppeln. Oder ist das Problem ein ganz anderes: In der xy-Ebene, sozusagen als Schatten, hat man einen Radius von r sin(theta), nicht von r.

[@Evanekill]

Jetzt hab ich das ganze endlich verstanden! Vielen Dank!!

[@46driftKing]

@46driftKing Wenn man den Punkt um dphi verschiebt, muss doch die Winkeländerung dphi überall gleich sein, sprich in der xyEbene und auch beim oberen Bogen. Deshalb dachte ich mir, man kann einfach r*dphi rechnen, und man hat die gewünschte Bogenlänge.

[@Sekko21]

bin an einer bestimmten Stelle hängengeblieben, jetzt läufts wieder :P Vielen Dank :)

[@JoernLoviscach]

Wenn theta von 0 bis 360° laufen würde und wenn r von -R bis +R laufen würde, hätte man viele verschiedene Möglichkeiten, theta und r für einen gegebenen Punkt festzulegen. theta bis 180° und r ab 0 reichen für alle Punkte! "Volumendilatation" habe ich noch nie gehört. Professionell heißt dieser Term die Jacobi-Determinante.

[@Vinzmannn]

Super, vielen Dank

[@jonathansonnenschirm8535]

wow das ist wirklich mega gut erklärt! vielen vielen dank!!!!!

[@46driftKing]

@JoernLoviscach "dphi bekommt, in dem man r*dphi rechnet", damit hab ich die Bogenlänge gemeint, nur vergessen hinzuschreibne :) Ich verstehe, wie man auf die Bogenlänge dphi kommt, indem man in den Schatten geht und dort rsin(theta)*dphi rechnet. Aber ich habe mir die Frage gestellt, wieso man nicht einfach den oberen Bogen ausrechnet, also nicht den im Schatten, indem man r*dphi rechnet.

[@amineo.7553]

Also die Aufgabe lautet: Berechnen Sie die Masse M der durch x^2 + y^2+ z^2

[@JoernLoviscach]

Amine O. Da fehlt was, denn x^2 + y^2+ z^2

[@CHMmusic]

danke fürs video. sehr schön und verständlich erklärt! :)

[@kylexy31094]

Evenuell eine nicht besonders schlaue Frage, aber wenn ich das ganze richtig verstanden habe, ist es egal, über welches Delta man zuerst integriert oder? Also muss man nicht mit dr anfangen sondern kann auch mit dphi anfangen, und die eingesetzten 2 Pi muss man dann eben bis zum Ende als Koeffizienten mitschleifen, oder? Hier ist es natürlich schöner mit dr anzufangen, aber das wäre doch auch möglich, oder?

[@danihoefer93]

Spitzen Video, vielen Dank dafür!

[@nazrul11111]

Hallo Danke für Ihre Videos. Ich habe ein paar Fragen und wenn Sie dafür Zeit hätten zu antworten. Also in 17.50. Minute : warum theta läuft von Nordpole bis Südpole (0 bis 180 Grad) das sollte an meiner Seite (0- 360) grad sein und noch eine Frage warum das "r" von (0 bis R) ? das sollte an Meiner Seite (-R bis R) sein. Mein Prof. hat auch so erklärt aber ich komme nicht klar mit diese 2 Grenzen. und letzte Frage: ist (r^2 sin theta) die Volumendilatation des Kugels? was Sie als Korrek. genannt

[@46driftKing]

Ich habe eine Frage zu der Bogenlänge dphi. Wieso kann man nicht einfach sagen, dass man dphi bekommt, in dem man r*dphi rechnet? Der Bogen sollte ja oben und in der xyEbene gleich lang sein. Mein Weg ist offensichtlich falsch, weil bei mir die Rechnung nicht aufgeht, aber ich glaube ich übersehe noch etwas. Vielen Danke für die Videos, haben mir schon sehr weitergeholfen! :)

[@amineo.7553]

Ich habe mal eine Frage: Wenn ich die Masse mit einer bestimmten Dichte von einer achtelkugel berechnen möchte, wie passe ich dann den Winkel eta an. Ist das dann von 0 bis Pi/4 oder ist es dann 0 bis Pi/2 ?

[@JoernLoviscach]

Amine O. Das hängt davon ab, wie die Achtelkugel liegt. Ist mit "Achteilkugel" überhaupt das gemeint, was ich auf Anhieb drunter verstehen würde: von einer Vollkugel, die im Ursprung liegt, nur die Punkte (x,y,z) mit x >= 0 und y >= 0 und z >= 0 nehmen? (Und warum dann nicht einfach das Volumen der Kugel durch acht teilen?)

[@maxflix96]

Ich hab das gelernt mit r^2 * cos(theta), das liegt daran dass der Winkel nicht vom "Nordpol" gemessen wird, sondern vom "Äquator"; ich war erst nen Moment verwirrt ;)

[@JoernLoviscach]

Ja, aber üblicher ist, für theta nicht den Breitengrad zu nehmen, sondern (wie ich es hier im Video tue) den Polarwinkel.

[@amineo.7553]

Rein theoretisch wäre es dann also eine Vollkugel, richtig? Weil in der Aufgabenstellung fehlt nichts.

[@JoernLoviscach]

Amine O. Ja, das wäre eine Vollkugel. Höchstwahrscheinlich fehlt die Bedingung x >= 0 und y >= 0 und z >= 0.

[@WEBGUY1000]

This is for University right?

[@JoernLoviscach]

WebGuy1000 - Domino Entertainment For the first semester in an engineering program at a German university of applied sciences, to be precise. Elsewhere, this topic would be treated with much more rigor and complexity.

[@WEBGUY1000]

Ok thank you!

[@danilotorres231]

Danke!!!

[@abc7297]

Welche software für die notizen ist das ?

[@JoernLoviscach]

Seinerzeit (vor neun Jahren!) war das Windows Journal, aber inzwischen ist es längt meine eigene Software: j3L7h.de/software.html

[@plplpl2461]

Wieso darf der Polwinkel nur von 0 bis pi laufen? Könnte doch auch einmal ganz rum.

[@JoernLoviscach]

Dann wären die sphärischen Koordinaten eines Punkts nicht mehr eindeutig bestimmt. Man könnte (wie vorgesehen) vom Nordpol kommen oder aber vom Nordpol durch den Südpol und auf der anderen Seite wieder hoch.

[@fetterHomer]

Jörn Loviscach Aber fehlt dann nicht die Hälfte?

[@JoernLoviscach]

***** Nein. Vom Nordpol in jede Richtung pi = 180° zum Südpol.

[@Huelosoneroen]

***** Den gleichen Effekt erzielst du auch wenn du Phi um pi drehst, dann kannst du quasi den Teta bereich pi bis 2pi abdecken.

[@007BLAblaBLAbla]

Hey Leute, könnte mir bitte jemand erklären wieso das Integral Phi von 0 bis 2pi geht und das Integral von Teta nur von 0 bis pi und nicht bis 2 Pi? Ich will ja das Volumen der ganzen Kugel und nicht der halben.

[@JoernLoviscach]

phi läuft 360° um den Äquator herum, theta aber nur 180° vom Nordpol bis zum Südpol.

[@007BLAblaBLAbla]

Danke für die schnelle Antwort. Aber wieso läuft theta nur von Nord bis Südpol um 180°? Habe ich dann nicht nur eine hälfte des Volumens? Verstehe nicht ganz wieso unbedingt 180° und nicht die ganze Kugel 360°.

[@007BLAblaBLAbla]

Ach ehhm jetzt versteh ich das glaube ich. Man spannt eine Fläche sozusagen mit Phi über 360° auf und umfasst zwei Seiten der Kugel, somit braucht man mit Theta nur 180° zu durchlaufen damit man auf die volle Kugel kommt. Dachte der Radius müsste doppel genommen werden damit man die andere Seite der Kugel auch mit einbezieht, aber das macht man bereits mit Phi 360°. Ich hoffe das ist korrekt soweit =D

[@JoernLoviscach]

Das mit den "zwei Seiten" verstehe ich gerade nicht. Hier noch ein anderer Versuch: Man geht die Kugeloberfläche streifenweise von Norden nach Süden durch. Die Streifen sind parallel zum Äquator. Der nördlichste Streifen ist eine Kreisscheibe um den Nordpol, der südlichste Streifen eine Kreisscheibe um den Südpol. theta misst den Winkel Nordpol->Kugelmittelpunkt->aktueller Streifen. Am Nordpol ist theta gleich 0°, am Äquator 90° und am Südpol 180°. Und mit diesen 180° habe ich die ganze Kugeloberfläche. Um die Kugeloberfläche zu tapezieren, reicht es, vom Nordpol zum Südpol zu gehen. Man muss nicht wieder zurück. (Das wären die 360°.)

[@007BLAblaBLAbla]

Achso, so ähnlich meinte ich das. Habe mir eine sehr dünne Scheibe vorgestellt die genau die Fläche die der Äquator umschliesst, füllt. Und diese Scheibe würde ich dann im Prinzip auch nur einmal um 180° in der Kugel drehen müssen bis es einmal den ganzen Volumen der Kugel abgefahren hat. Ich danke Ihnen vielmals für die schnelle Antwort.