ВЫСОТА и БИССЕКТРИСА прямоугольного. ПРОСТО ПОППЕНС КАКОЙ-ТО!

[@SB-7423]

Кстати, система из способа 1 очень легко решается. После деления приведенных двух равенств, получается: √(a² + b²) = 4∙√(a∙b). Подставляя это в равенство *3 = a∙b/√(a² + b²), получим: a∙b = 144 ⟹ S = 72.*

[@adept7474]

Геометрический способ: КР ⟂ АС, КТ ⟂ ВС. Поворот тр-ков РАК и КТВ вокруг их общей вершины К навстречу друг другу до совмещения их сторон с биссектрисой. Полученный ▲А₁КВ₁ ~ АВС с коэф. подобия К = 4/3√2 (отношение их высот). S(АВС) = S, S(А₁КВ₁) = S₀. S₀/S = K², S₀ = SK². S - S₀ = S(PKTC) = S(1-K²) = 8. S =8/(1 - K²) = 8/[1 - ( 4/3√2 )²] = 72. В общем виде: l²h²/(2h² - l²).

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Вырезали квадрат РКТС, площадью 8 и соединили остатки, получили подобный треугольник с высотой к гипотенузе 2√2. Мне бы и в голову не пришло. 👍👍👍 Заметьте квадратик то малюсенький по сравнению с общей площадью. 🙂 Треугольник наверное очень острый.

[@adept7474]

@ДмитрийИвашкевич-я8т Не то слово, какой острый!!! С углом = 3,6°.

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

С общим видом нынче поаккуратнее нужно, а то опять полемика начнётся с областью допустимых значений🙂

[@adept7474]

@ДмитрийИвашкевич-я8т Спасибо, я услышал.

[@alexeychernyshev9652]

1. Проведём медиану CM. Тогда СК окажется биссектрисой в тр-ке CHM. 2. cos@=3/4; cos2@=3/CM; откуда СМ=24; площадь тр-ка S=(1/2)*2CM*3=72

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

А ларчик просто открывался!

[@SB-7423]

Проще и короче уже некуда!!

[@zawatsky]

НК=√7. Из СК находим высоту от т. К, это 2√2. Из отношения к СН находим коэффициент подобия. В итоге мы знаем относительную и абсолютную разницу между сторонами ВК и ВН, из этих двух параметров стороны легко посчитать. Из ВН и СН по Пифагору находим ВС, это гипотенуза ΔВСН, она же больший катет ΔАВС. Пропорции в треугольнике мы к тому времени уже будем знать, недостающие стороны (а значит и площадь) найти - дело техники.

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

S(ABC)=S(AKC)+S(CKB) S=(1/2)*2√2*a+(1/2)*2√2*b=√2a+√2b S^2=2а^2+2b^2+4ab=2c^2+8S Но с=2S/h=2S/3 Имеем S^2=8S^2/9+8S S=72

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Тригонометрия! На помощь! S=(1/2)*ab=(1/2)*(3/cosα)*(3/sinα)=9/sin2α Здесь α=

[@ЛевПетрушак]

Надо ещё проверять, существует ли такой треугольник

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Если угол между биссектрисой и высотой меньше 45°, то все хорошо. Проверяется непосредственно построением. То есть одно условие l

[@pojuellavid]

Да что за напасть -- опять в полпинке от решения остановился

[@sv6183]

AC=a, CB=b , AB=c

[@sergeylopanov1829]

Можно и не строить медиану, только Пифагор, подобие и свойства биссектрисы. НК из Пифагора √7, из свойств подобия АН*НВ=9, а/в=АН/3, из свойств биссектрисы а/в=(АН+√7)/(НВ-√7), тогда (АН+√7)/(НВ-√7)=АН/3, 9-√7*АН=3АН+3√7, АН=3(3-√7)/(3+√7), НВ=3(3+√7)/(3-√7), гипотенуза АВ=АН+НВ=3(3-√7)/(3+√7)+3(3+√7)/(3-√7)=48, площадь S=48*3/2=72. Ну, да считать дольше, но зато ни каких квадратных уравнений.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. В против "никаких" квадратных? Идея хорошая

[@rv7365]

А зачем Пифагор понадобился? Если выразить биссектриссу, которая = 4 через заданные значения, то вообще получится элементарное линейное уравнение 9х-7х=16

[@GeometriaValeriyKazakov]

в школе формулы бисссектрисы нет

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я за вас напишу для зрителей: РЕБЯТА, если знать ф-лу биссектрисы (олимпиадный уровень), то l^2=ab-xy, 4^2=3*3x-\/7*\/7x=9x-7x=2x,x=16/2=8, 3x=24

[@rv7365]

@@GeometriaValeriyKazakov у нас была, классе эдак в 7-м, но школа была математическая и дело было на закате Перестройки

[@rv7365]

@@GeometriaValeriyKazakov у Вас талант переводчика остался нераскрытым 😀

[@GeometriaValeriyKazakov]

​@@rv7365 Вряд ли в 7-м. Доказывается окружностью и подобием. Крайняк - конец 8-го. Но ф-ла - вещь.

[@Goldie82.]

7икс в квадрате минус 3икс в квадрате , разве 2 икс в квадрате? , чего-то не понял. После раскрытия скобок (1 действие) вы поставили 3икс квадрат

[@GeometriaValeriyKazakov]

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

[@Goldie82.]

@GeometriaValeriyKazakov 4:38 разве это девятка возле икс квадрат ? Я чего-то девятки там не увидел. А увидел 3-ку

[@erbolat75]

из первой системы вы узнали, что площадь треугольника равна аб/2??? а до этого не знали?? )))

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Из первой системы, зная высоту и биссектрису, предлагалось самостоятельно вычислить а и b, а потом найти площадь. Но если смотреть без звука, можно что угодно нафантазировать.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ab/c=3 отсюда площадь не найдешь

[@PavelYakovleff]

Нонсенс какой-то. Длины 3, 4 и 24. Не кажется ли вам, что 24 - это чересчур? Порядок не тот, было бы 5-6 я бы принял не моргнув глазом. Но 24??? Попробую найти ошибку.

[@SB-7423]

Даже не 24, а 48(гипотенуза)! Ошибки нет. Просто треугольник-"дистрофик". Угол В примерно 3.6 градуса. Катеты 3.0059 и 47.906.

[@АнатолийВикторов-х9л]

B ⊿ CKH, sin∠CKH=CH/CK; sin∠CKH=3/4; cos∠CKH=√(1-sin²∠CKH); cos∠CKH=√(1-9/16)=√7/4; cos∠CKH=√7/4. ∠ACK=(1/2)*∠C; ∠ACK=45◦; sin∠ACK=√2/2. ∠A=180◦-(∠ACK+∠AKC); sin∠A=sin(180◦-(∠ACK+∠AKC))= =sin(∠ACK+∠AKC)=sin∠ACK*cos∠AKC+cos∠ACK*sin∠AKC= =(√2/2)*(√7/4)+(√2/2)*(3/4)=(3√2+√14)/8; sin∠A=(3√2+√14)/8. cos∠A=√(1-sin²∠A); cos∠A=√(1-((3√2+√14)/8)²)=√((64-18-6√28-14)/64)=(√8-3√7))/4. cos∠A=(√(8-3√7))/4/ ∠A=∠BCH (углы с взаимно перпендикулярными сторонами); cos∠BCH=(√(8-3√7))/4. B⊿ ACH, AC=CH/sin∠A; AC=3/((3√2+√14)/8)=6*(3√2-√14); AC=6*√2*(3-√7). B ⊿ BCH, BC=CH/cos∠BCH; BC=3/((√(8-3√7))/4)=12/(√8-3√7)). S=(1/2)*AC*BC; S=(1/2)*(6*√2*(3-√7)(12/(√(8-3√7))= =(3*2*12*(3-√7))/(√(16-6√7)=(72*(3-√7))/(√(9-2*3*√7+7))= =(72*(3-√7))/(3-√7)=72; S=72. Ответ: S=72.

[@АнатолийВикторов-х9л]

@@ДмитрийИвашкевич-я8т, спасибо за подсказку