微分方程式を解かずに解を求める荒業について。20分で分かる畳み込み積分の応用(デュアメル積分)

[@withgamechannel8265]

制御工学って面白いですよね、機械工学科の授業で一番楽しい。

[@sugaku_kyoshitsu]

分かります。他は結構壊れないようにするための設計ですが、制御は思い通り動かすための設計なので。 楽しいですよね⭐️

[@sugaku_kyoshitsu]

★：重要度 オープニング 00:00 デュアメル積分をグラフで確認する★★ 数学的な裏付け 03:50 畳み込み積分のおさらい 08:44 デュアメル積分の数学的な裏付け　★ 12:24 インパルス応答と伝達関数の関係 おまけ 16:33 畳み込み積分とブロック線図 19:18 音響工学への応用　　　　　　　　★★★

[@g3452sgp]

分かりやすかったです。 ようつべ先生はグリーン関数法ってやりましたか？ 制御工学で使いますか？ 畳み込み積分との関係とか知りたいです。

[@sugaku_kyoshitsu]

はい、インパルス応答≒グリーン関数の認識で大丈夫です。グリーン関数では空間全域から畳み込まれます。 制御では時間方向の畳み込みなので、過去から現在までの畳み込みしか行わない点が異なりますが、解の重ね合わせをしている点では同じです。 例えば、電荷密度の分布が生み出す電位を求めるとき、一旦点電荷に対する電位を求めておいて、それを重ね合わせる方法がありますが、 これを制御と対応させるなら ・点電荷=インパルス入力 ・点電荷による電位=インパルス応答 ・電荷密度分布による電位=畳み込み となります。 ーーーまとめーーー 基本的に同じ。ただし時間方向の応答か、空間方向の応答かの違いがあり、たたみこみの積分範囲もことなる。 微分方程式が線形(入力、出力の項が一次)なら、解の重ね合わせが成り立ち、グリーン関数はいつでも使える。 制御で使う微分方程式にはラプラス変換をかける。理学系で使う微分方程式にはフーリエ変換をかける。(ことが多い)

[@g3452sgp]

@@sugaku_kyoshitsu グリーン関数法とは空間方向の畳み込みだったのですね。 なるほどよく分かりました。 スッキリしました。 ありがとうございます。

[@sugaku_kyoshitsu]

伝わったみたいで嬉しいです。インパルス応答とグリーン関数の類似点に目をつけた本質的な質問をありがとうございます。

[@excel7142]

いつも分かりやすいです🤓 畳み込み積分がfとgの中身逆向きに移動するの忘れてました 名付けた人逆とか付けてよ

[@sugaku_kyoshitsu]

分かります。gが逆向きになってるの結構混乱しますよね。 名前に関してはちょっと思いつかないですが笑。逆畳み込み積分って事ですかね(笑) コメントありがとうございます。

[@konta7243]

わかりやすい解説ありがとうございます！相互相関関数と畳み込みって形が似てますけど、何が違うのでしょうか…😥

[@sugaku_kyoshitsu]

平行移動して積分すると言う点では、数学的にほとんど同じですね。ただし使う目的が異なるって感じです。 畳み込み：解の重ね合わせ 相関関数：関数の内積 ーーー 内積がゼロだと無相関 (ベクトルでいう垂直) ピッタリ重なると 内積=分散 になります。どれくらい平行移動すれば、２つの関数がピッタリ重なるのか、みたいなことを定量化してくれます。 ーーー ちなみに ホワイトノイズを入力したときの出力と、ホワイトノイズの相関をとると インパルス応答が得られて 両者はつながります 相関解析法といって非常に便利なので、これも調べてみるとよいかも知れません。

[@konta7243]

@@sugaku_kyoshitsu 丁寧なご返信ありがとうございます😭 関数の内積って表現わかりやすいです。 これからも動画楽しみにしてます！

[@sugaku_kyoshitsu]

すみません！返信への返信の通知が届かなくって、返信への返信が遅れました(笑) いえ、こちらこそ！ ありがとうございます😊 あ、ちなみに関数の内積という言葉は僕のものではないので、そこだけ訂正しておきます。