【无痛高数】所有数都是无理数？有关无限所有困惑的答案（上）

[@Jack3d14]

非常好，对国内数学教育的巨大贡献。 很多程序员来看视频，除了能钻牛角尖找找发音和错别人，毫无意义… 支持继续创作，意义巨大…

[@liyuan-chuanli8468]

有理數是可數的問題，是在集合論中，利用公理證明出來的。 至於用機率去說明有理數的數目，這有些問題。基本上，這個看似機率問題。在數學裡面的運用，是屬於測度理論的一種特別 case。

[@MH-sf6jz]

概率學本身就是測度論的延伸，所有probability space本身就需要是measure space，只不過所有的event是measurable set而已

[@johnsom8888]

很開心又找到一位用心良苦的良師❤

[@kakashi-md2st]

pi 是超越数，包含的信息是圆弧与直线的比例，信息也是有限的。那些不能被有限信息所表达的才是真无理数。

[@xenonyu1512]

這個部分在數學上應該是可定義數的概念了 無理數在數學上的定義就是無法使用兩個整數比來表示的數 而pi滿足這個定義

[@SaderGP]

pi並不是真正的圓弧與直線的比例 因為圓弧(包括圓周 圓面積) 人類從未真正得到正確的值 哪怕使用80萬億位的pi去計算 得到的也是約值 有理數不可用一個“約值”去比一個“精確值” 必須是兩個“精確值”的比值

[@spacefreedom]

不是圆弧定义了pi，是pi定义了圆弧。 圆弧=pi*线段，pi包含了无限信息，圆弧也包含了无限信息

[@archivezeroone6952]

可数无穷是无限往外伸展，不可数无穷是无限往内伸展。 可数无穷不连续，有一定解析度，不可数无穷是连续的，解析度无穷大。

[@何律煒]

<a href="#" class="seekto" data-time="1490">24:50</a>秒那裡 應該編號要從0開始 否則給定任意質數比如說5就不會有對應的句子 反之對任意質數就會是你你你…你愛 可以是任意句子 雖然無傷大雅

[@user-liangjun]

編號從0開始會有問題。 若"你"這個字編號為0，則 "你"這個句子對應到的是整數2^0=1 "你你"這個句子對應到的是整數2^0+3^0=1 ... ... 以此類推 "你你... ..."這類的句子對應到的都是整數1。 這樣就不會一一對應了。

[@何律煒]

@@user-liangjun 確實 有道理 我沒想到

[@phantomxiang]

1-1就夠，不用onto

[@spacefreedom]

大学上课和看其他视频都没能理解清楚无穷里“整体和部分”的比较，博主终于讲清楚了，我又找到了学习的乐趣，太感谢了🎉🎉🎉

[@TungA-r5q]

我也有一種理解方式，其實有理數，就是到了小數點某位的數後全都為0的概率，也就是∞多個0，所以無論是幾進制二進制的話就是就是1/2的無窮次方接近於0,十進制的話就是1/10的無窮次方也是接近於0

[@bittergourd]

有理数可以一项项列出来，然后写成级数求和。实数列不出来，可以上积分啊，而且积分也可以得到一个趋近于零的数哦--关键是临域怎么构造。这就碰到躲不过去的测度咯。

[@YanxinZhang-z9x]

对于无穷多个旅游团的那个问题，如果我们让每位游客都住进编号为2^a*3^b号的房间，是不是在把所有人都安排进房间后还空出来了房间？

[@spacefreedom]

是

[@hcleo7554]

它的關鍵在於連續與不連續的概念。有理數就是不連續的數字，所以不占實際的空間。

[@williamleo8535]

無理數連續嗎

[@hcleo7554]

在一定範圍內連續, 比方說圓的周長就是一個連續的線段, 除了特定位置，包含連續的無理數

[@williamleo8535]

了解

[@MANTIMTIM]

<a href="#" class="seekto" data-time="1311">21:51</a>這個證明似乎很多矛盾點，如果這個方式去證明實數不可數，那也能證明偶數不可數，首先偶數可以把每個位數列出來，然後創造一個偶數，個位跟編號1偶數不同，十位跟編號2不同...，所以這個偶數不在剛剛列出的偶數中，故偶數不可數😅。 小數表示的實數也能ㄧㄧ對應可數，如果用一正一負，然後個位＞十分位＞十位＞百分位＞百位.. 逐步去寫，便可以把所有寫成小數的實數列完， 首先整數375對應到35.7 376對應到36.7 12345對應到135.42 以此類推可以一對一寫完全部正小數，如果再按照一正一負寫可以對應全部實數小數，不知道邏輯錯誤點在哪

[@guangboxu2117]

不存在有无限位的自然数

[@dying476]

如果用證明實數不可數的方式去套用在偶數上： 一.列出所有偶數 0002 0004 0006 0008 0010 0012 ... 二、取與第n個數字的第n位不同的數字 個位數與0002不同：4 十位數與0004不同：1 百位數與0006不同：1 ... 三、最終構造出的數字 ...111111111111111114 它不是一個有限的數字，所以它不是偶數，因此你沒辦法用這個方法證明偶數是不可數的

[@dying476]

實數無法一一對應你所構造的「個位＞十分位＞十位＞百分位...」方法 所有無限小數，例如3分之1，都無法被對應到。 如果有一個整數n對應到1/3，那麼逆向推導，這個整數n將會是： ...30303030303030 這不是一個整數，所以不存在整數n使得n對應到1/3，同理，可以證明所有無限小數皆是如此

[@MANTIMTIM]

@@guangboxu2117 可是自然數不是有無限多，為何不能有無限位？感謝抽空教學解釋一下

[@MANTIMTIM]

@@dying476 為何不是有限數字就不算偶數

[@JADENebulaJOE]

要是大学能刷到你的视频我就不会在高数课睡觉逃课了😂

[@MH-sf6jz]

各位可以試想想為什麼diagonal argument 不能證明有理數是不可數的，有理數的本質和實數有什麼區別

[@jianingzhuang104]

我也想到这个问题了，没想出答案，能否赐教？

[@MH-sf6jz]

@@jianingzhuang104 本質的原因是如果用diagonal argument產生的數字不一定是有理數，所以我們無法得出產生的數同時“在且不在”這個表上

[@jianingzhuang104]

@@MH-sf6jz 哦，对，谢谢

[@shiny8192]

我要來抬槓 那根棍子的長度一定是普朗克長度的整數倍

[@ethanz3153]

数学不依赖物理，其合理性仅来自于构建数学的定义本身。

[@thomasfromhongkong]

@@ethanz3153不錯!

[@thomasfromhongkong]

@@ethanz3153不錯

[@abcabc-gl7ug]

数学是可以小于普朗克长度的。多读读书

[@tw6260]

@@abcabc-gl7ug一看人家就是来俏皮话整活的…干嘛人身攻击

[@Iamkgoatt]

你愛他但不愛我😢

[@ghxwang1951]

似乎概率和可数应该没什么必然联系。比如可数集中，随机从有理数中选取一个数，是整数的概率也是0。实数，复数也都有连续统势，随机复数是实数的概率也是0。

[@---io1dl]

概率为零和不存在实例似乎是有区别的。这个区别又似乎跟可数无穷与不可数无穷之间的区别有本质上的联系。

[@AdrianYang]

But, the rational subset is dense in the real set. So, each irrational number can be well approximated by a rational number.

[@binxuwang4960]

太妙了实在 有限的可数无穷的语言那个点好精妙

[@wingsumng2420]

😪 epsilon的大寫符號是 "Ε" epsilon的小寫符號是 "ε" upsilon的大寫符號是 "Υ" upsilon的小寫符號是 "υ"

[@kimmiller757]

有个问题想请教一下up主，无理数真的是数轴上的点。如up主所讲无理数是一个永无止境的动态过程，一旦停止马上就变成有理数。那么一个无理数被'固定'在数轴上成为一个'点'，也就不再是无理数。这是否意味着无理数不是数轴上的'点'，因此无法被选中？

[@junyao1807]

in one sentence since the number of rational is far less than the irrational, the ration became 0, p = 0

[@阿粘-n3p]

我唯一注意到的是草先生的數學教室

[@Dracarys-1-v]

初中看到这个证明，这句话对我来说也是一种震颤

[@ethanz3153]

精度是数的一个纵向维度

[@twang5446]

结尾就是用数学证明了“吾生而有涯，而知无涯”

[@blueman]

《你爱他但不爱我》

[@CRH6A-4134]

小六生表示開頭看得懂，後面看不懂

[@user-user-user-user-user-888]

整體=部分 建議大家可以看看 曼德勃羅集 就能明白 為何部分並不一定比整體還少

[@spacefreedom]

很棒的联想

[@popcatnotඩා]

對不起 在場好像只有我是衝著音遊來的（

[@junyao1807]

therefore the real meaning is we cannot be precise, but who cares? As long as the ball is in the net, we score

[@junyao1807]

since 0.5 is rational, I cannot cut a rod in half

[@無名-i9b7n]

以前的感受：數學是以證明為證明，但只是證明而已 現在的感受：蛤？

[@alexwang2550]

无理数的存在又不可精确“抓住”，太像量子力学里面的量子了。

[@張乃貞]

太棒了 可是恐怕少人看懂

[@micako6309]

我還是不懂為何要用指數衰減 雖然我明白區間一定比數線上的某個點大 所以這是用某種夾擠的方式擠出來嗎? 指數衰減只是剛好作為一種比較直觀的方式運用而已?

[@msiu2342]

因為要讓無限級數收斂，你也可以用其他方式衰減，只要他能收斂成epsilon 的倍數，然後就可以設定epsilon 為任意接近為0。

[@無名-i9b7n]

請問說有理數是極大約於0的機率在數線上，但不等於0，這樣對嗎？

[@not_vinkami]

不對。你說的「極大於0」是一種極限概念，不是一個任何一個數字，而且任何一個大於0的數都不對，所以概率只能為0，而非大約0

[@kakashi-md2st]

有句话错了，实际上无穷多位也无法直接描述实数。有理数（比值数），超越数，其他规律数。都能用有限信息描述。

[@obproduction9198]

我想到嘞。好像太空中的天體也是非常非常多的，但仍只是(幾乎)可數無窮，天體之間實際非常寬廣，這些空洞就像不可數無窮。所以隨機均勻取太空中一點幾乎一定不會是天體......

[@not_vinkami]

邏輯上是正確的，只可惜長度有一個最小值叫普朗克長度，只要能把整個宇宙和所有星體的大小以普朗克長度表示，就能找到隨機取一點是否為天體的機率

[@tranlewlinign9592]

错误，天体是有体积的。数轴上的数是一个个的“点”，不可一概而论。

[@骷髏的回憶]

我是大三学的这个证明，你是初中就学了，这不是赢在起跑线上，根本就是赢在起跑线之前啊！

[@陳玠廷-u3l]

他這個是很強的數理資優生吧，超前學習了好多年，我好多年前高一的時候也才出自興趣學了微積分而已。

[@骷髏的回憶]

@@陳玠廷-u3l 我们这边主要是缺书，如果不进数学系根本看不到相关的书籍。

[@陳玠廷-u3l]

@@骷髏的回憶 你們上網翻牆找，有免費英文數學書可以下載阿，我大學畢業後想休閒讀大學數學系的課就是這樣上網下載，然後還有不錯的知名大學的免費公開課可以看，就是英文不能太爛就能聽得懂了。

[@鯊-p5c]

學海無涯，回頭是岸

[@user-user-user-user-user-888]

不可數無窮 不可說

[@曾理碩]

<a href="#" class="seekto" data-time="1493">24:53</a> 你愛它但不愛我。這是個傷心的故事

[@blueman]

《你爱他但不爱我》

[@kjyhh]

没人可以选出无理数，所以无理数的概率也是0

[@derekyu4430]

不對😕

[@ediwillence]

有理数的测度是0

[@idzzk8050]

想到了维特根斯坦

[@really_not_bad]

你愛他但不愛我 <a href="#" class="seekto" data-time="1490">24:50</a>

[@decorationrise805]

音樂好聽:)

[@文字-e6k]

你愛他但不愛我 <a href="#" class="seekto" data-time="1497">24:57</a>

[@weiryan5413]

依然是文字游戏，和微积分极限定理一样，滥用等号。 无穷小趋向于0，落在直线上任意一点的概率都是无穷小，不是0，概率趋向0，不等于0。所有极限的运算都是趋向，而这个趋向符号->，被数学家们滥用为=号。

[@MH-sf6jz]

如果有一個數列xn趨向一個極限L，那你會不會說L趨向L？我們說lim xn = L 是因為我們定義L為xn的極限。當然xn各自未必等於L，但我們定義了極限的等於，它符合所有relation的條件，所以我們延伸了等於的定義。 在實數裡面沒有無限小的元素，任何「無限小」都等於0，這是因為對於所有大於0的\epsilon 來說， 0

[@weiryan5413]

@@MH-sf6jz 你所谓的延伸等于号，实际上不就是混为一谈的意思？滥用等于号，实际上就是在企图消除随机性，实际上是办不到。例如所谓骰子=1/2的概率，永远只是趋向于1/2，从未等于过，一旦等于就相当于于世界停转，等于号，是一种数学想象。

[@MH-sf6jz]

@@weiryan5413 您能解釋一下為什麼等於1/2就世界停轉嗎

[@MH-sf6jz]

@@weiryan5413 同樣地，一個數字並不能趨向任何東西。那麼如果概率是個數字，那麼他就一定等於某個數字，而不是趨向某個數字，因為所有數列才能趨向。

[@MH-sf6jz]

@@weiryan5413 我猜你是在說sampling的過程中，event的比例未必等於概率本身，那這必然是對的，但我們常說的概率並不相等於event的比例，因為他們兩個的關係只是剛好滿足：event的比例在極限的時候會等於概率分佈。我們不用event的比例來定義概率的原因之一就是因為不可確定性。

[@張聿綸]

這不是aleph-0嗎😂😂

[@stackunderflow5951]

什么初中就看到了这种证明！？

[@ch1102chiou]

kzbin.info/www/bejne/gXSwmaCffNFsh6c P(x belong Q)

[@李淳嘉-m6t]

證明這件事我們需要兩個知識： 1. 有理數集合Q包含於領地集合D 2. 在機率中事件A包含於事件B時，事件A的機率小於等於事件B ＃關於知識1: 假設q是一個有理數，則q在影片中的排列方式下一定有一個編號，我們把這個編號記成n。 現在我們考慮所有領地中的第n個領地，也就是區間[q - epsilon^n, q + epsilon^n]。很顯然，q屬於所有領地中的第n個領地。 也就是任意一個有理數q都會屬於所有領地中的其中一個領地（當然就是由他自己展開的領地），也就必然屬於所有領地的聯集－領地集合D。 任何一個數，只要他是有理數，那麼他就一定也屬於領地集合D。這句話的意思就是有理數集合Q包含於領地集合D。 ＃關於知識2: 機率公理中做了以下定義。 給定樣本空間S，事件空間F，以及機率函數P。當他們滿足以下三個公理時我們才說(S,F,P)是機率空間： 1. 對於任意事件空間F中的事件E，P(E)大於等於0。也就是所有事件發生的機率都要大於或等於0。 2. P(S)=1。也就是樣本空間－作為事件空間中最大的一個事件－發生的機率是1。 3. 如果可數個事件(E_1, E_2, E_3, ...)互斥，則這些事件的聯集E滿足這個等式：P(E)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)+... 有了這三個公理就可以推導出知識2。 現在我們假設事件A包含於事件B，並且我們定義事件E為「事件B差集事件A」（屬於B但不屬於A）。則很顯然事件A和事件E互斥，而且事件B是事件A和事件E的聯集。 我們可以從公理3中得知：P(B)=P(A)+P(E)。 而公理1告訴我們P(E)大於等於0，所以我們可以知道P(B)大於等於P(A)。 反過來說就是P(A)小於等於P(B)。 我們就推得了：只要事件A包含於事件B，則事件A的機率小於或等於事件B。 希望有幫助到你👍

[@jiongtaohuang8134]

無理數不可算盡，且因無規律，所以不可預測盡，因此無可確定，即決定性穩態不確定。

[@junyao1807]

if all are non-sense where are the sense numbers?

[@wingsumng2420]

有些是被approved 有些是Not approved 不准

[@hayama2363]

我有个想法π是无理数。π+任何有理数还是无理数。π+可数无穷，就是可数无穷个无理数。那无理数不也可以是可数无穷个吗？

[@廢材阿翔-i7c]

問題就出在無理數不只π

[@colalin0321]

不可數無窮>可數無窮，但是無窮=無窮 所以不可數無窮=可數無窮 在0~1上，隨機取一個點，是可數數的機率是 50%

[@weker684]

既然不可數無窮可以和可數無窮做比較運算，你猜為啥要區分可數不可數

[@mejianLM]

<a href="#" class="seekto" data-time="1491">24:51</a>我愛他但不愛你

[@blueman]

《你爱他但不爱我》

[@mejianLM]

​@@blueman等等我去重算（崩潰

[@spacefreedom]

<a href="#" class="seekto" data-time="1063">17:43</a> 任意小的e，当e趋近于0，概率是0。 反问：也许无穷小就不是0，所以概率也不是0

[@user-djelwJsskI8964]

无穷小本来就不是0，而是你举出任意一个大于0的数，我都比你小。是一个永远取不到的数，0是它的极限。

[@spacefreedom]

@@user-djelwJsskI8964 无穷小不是0，那0.99999就不等于1

[@dying476]

​@@spacefreedom在數學上（這裡講的是標準實分析模型，簡單來說就是最常見到的數學），無窮小不是一個數字，它是一個序列的極限，所以你不能說「無窮小不等於0」，因為它不是一個可以直接比較的數字 數學上的「極限趨近於」會被視同「等於」，我知道這很違反直覺，不過你可以這樣想，把「極限」當成一個運算符號，他的功能是把趨近於替換成等於，所以如果你堅持「趨近於」不是「等於」，那至少「極限趨近於」是「等於」，而這是由極限的定義所導致

[@spacefreedom]

⁠@@dying476非常感谢回复👍🏻，我肤浅的理解是无穷小的极限是0，但无穷小不是0。 微积分用极限定义也是为了避免出现无穷小的概念。但又有很多地方用到无穷小的概念，而且我觉得“无穷小“和“无穷小的极限”也有些区别，但一直理解不透彻。

[@蔣序彥]

宇宙最小長度是普朗克長度，宇宙中所有的線段以普朗克長度度量都是有理數

[@MH-sf6jz]

沒有最小長度，只有最小可觀測長度，意思是我們觀測的精度無法超越普朗克長度。 但這並不意味這長度只能是整數倍的普朗克長度，不可觀測不代表不存在。空間、位置並不是量化的，如果你實際去解schrodinger equation/dirac equation， 你會發現空間的特征解是連續的，並非可數無窮。

[@蔣序彥]

空間的特徵也會是物質的特徵嗎？

[@chunhung76]

普朗克長度是最低且“有意義的長度”，數學上不存在普朗克長度的限制。

[@MH-sf6jz]

@@chunhung76 這就取決於人們對“有意義”的定義了

[@hayama2363]

普朗克长度之内是另一个宇宙

[@joneshandsome6654]

听不懂

[@andrewwolf2404]

请不要把ε念成υ，这让人非常迷惑。另外，“语”不等于“文”。

[@chunhung76]

ε一直都是/epsilon/

[@MgDO2]

@@chunhung76但是他读的确实是ύψιλον 😅

[@mejianLM]

​@@chunhung76υ雖然拼音上寫u 實際上一般唸y

[@zhao3415]

是不要把 w 唸成 double u，不然我以為你說的是 d 的概念嗎？😂

[@mejianLM]

@@zhao3415 Έψιλον 和Ύψιλον 讀音差很多

[@tianyang5241]

没看懂

[@_id_5829]

Up主有沒有興趣講講連續統假說

[@tianyang5241]

阿列夫林的阿列夫林次方等于多少？

[@spacefreedom]

2的N0次方

[@abcabc-gl7ug]

这些简单的道理都在论治国理政中。大家一定要多看伟人的著作。全世界的科学精华都在伟人的著作里

[@user-djelwJsskI8964]

😂

[@ymj5161]

如果字幕没有错别字就好了

[@manshi_math]

制作有点仓促QwQ

[@ymj5161]

@@manshi_math 那你急什么，靠这个吃饭？

[@manshi_math]

@@ymj5161 后面会更注意的！

[@JC72461]

@@ymj5161 你是不是觉得所有人该给你无偿服务啊😅

[@idzzk8050]

@@manshi_math 太谦逊了老哥

[@下向魚]

kzbin.info/www/bejne/gXSwmaCffNFsh6c哭阿AP

[@LatticeMage]

cool

[@akaiwon6594]

這個影片應該也發過，這個問題根本不成立，因為根本沒人能切出長度為無理數的木棍，無理數啊、不可數無窮啊，都是不存在於現實世界中的。所以正確答案是有理數100％，無理數0％。如果不承認，那麻煩畫一個根號2的線段，看看你能取到小數後幾位？（不要用畫直角三角形這種毫無精確性的爛東西來唬人喔） 後面對於自然語言的編碼更搞笑，你學了一堆語言文字數學就學到了這些？為什麼自然語言會有歧異性？為什麼同樣說我愛你，對每個人的意義都不一樣，如果自然語言可以這樣硬性編碼指定意義，那就會跟數學語言一樣精準正確，但是自然語言顯然充滿了模糊和變形，數字語言的1就是1，但是自然語言的一可不只是一啊，所以這種編碼頂多只能拿來當密碼本吧。頻道主對數學造詣肯定比我深很多，但是搞不清楚現實和理型，及對自然語言的輕蔑及傲慢，令人感到超不蘇湖。

[@wwjesse]

请好好学习！一个在德国的大学研究数学和教数学快十年人的一点忠告。

[@guangboxu2117]

哪怕是自然数也不见得存在于现实世界：有谁能说1亿这个数字真实存在？无理数和自然数一样，既依赖人的想象，又依赖数学的抽象框架，只是无理数离直觉更远一些。

[@MH-sf6jz]

這就是數學的哲學，到底哪些公理值得選擇。如果放棄無窮公理，那麼數學的一切都會變得索然無味，因為幾乎所有工具都無法使用，我們會失去微積分，實數分析，複分析，PDE，等等。 後者為我們的生活帶來數不盡的工具，當然如果你認為現實沒有無窮，那也不阻礙人們研究無窮，因為無窮可以用作近似很大的數目。現實充斥著大數，所以學習、分析無窮也很有用。數學未必代表的是現實，你不必太較真說問題成不成立，畢竟這不是物理。

[@tevhiykoko3912]

你比較搞笑

[@Cardani3355]

你太自大傲慢了，根本看不懂影片說的吧，跟畢達哥拉斯一樣拒絕無禮數存在...

[@wildmouse6971]

你没有办法找到精度为1的棍子 所以之后都是空谈

[@abcabc-gl7ug]

当然能找到

[@tqian86]

精辟，而且这个视频就证明了找到长度为1的棍子的概率为0

[@abcabc-gl7ug]

@@tqian86 我可以设任何棍子长度为1。数学只关心比例。不关心实际大小

[@CornuDev]