Was heißt eigentlich trivial? | Math Intuition

Wenn das Wort "trivial" in der Mathevorlesung fällt, ist die Frustration als Student oft nicht weit: "Für mich ist das nicht trivial!" Was eigentlich damit gemeint ist, erkläre ich dir hier :)
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#trivial #Beweis #Mathe

[@tensorfeld295]

Hier die Teile der Serie: Teil 1: o.B.d.A. Teil 2: wohldefiniert Teil 3: beliebig Teil 4: paarweise Teil 5: kanonisch Teil 6: notwendig und hinreichend Teil 7: trivial

[@dariathate3546]

Danke sehr! Kannst du vielleicht ein Video machen zum Thema "Gegenbeispiele"? Ich meine, wenn man beweisen soll, dass eine Aussage falsch ist, soll man ein Gegenbeispiel schreiben. Ich verstehe nie, wie man zu diesen Ideen kommt :(

[@mathintuition]

Hey Daria, spannende Frage! Eigenes Video sehe ich dazu gerade nicht, aber hier spontan paar Zeilen für dich: Ein Gegenbeispiel für eine meist allgemeingültige Aussage zu finden ist manchmal nicht so einfach. Ich persönlich hatte hier vor allem zwei Strategien: 1. Ausprobieren mit möglichst einfachen Beispielen und schauen, ob die Aussage da "funktioniert". Falls sie funktioniert musst du überlegen warum und wie du dein Beispiel abändern könntest, sodass es nicht mehr funktioniert. Dann erneut versuchen und immer so weiter. Also "rantasten". 2. Wenn du ein gutes Verständnis der Begriffe entwickelt hast, die in deiner Aussage vorkommen und vor allem auch die meisten / wichtigsten Sätze dazu kennst, dann kannst du dir direkt überlegen, welche Anforderungen dein Gegenbeispiel haben muss. Das ist natürlich anspruchsvoller und erfordert mehr Verständnis / Weitblick. Beispiel: Aussage: Jeder Ring ist ein Körper. Vermutung: Aussage ist falsch (denn ich erinnere mich vielleicht daran, dass es anders herum richtig war: jeder Körper ist ein Ring). Variante 1 von oben probieren: Welche Ringe kenne ich denn: zum beispiele die ganzen Zahlen Z oder ein Polynomring K[X]. Jetzt frage ich mich: Sind das Körper? Was war nochmal der unterschied von ring zu körper? Meine Vorlesung sagt: Jedes element (außer Null) im körper hat ein multiplikatives inverses, also einen "partner", sodass das Produkt die Eins (im Ring) ergibt. In meinen Beispielen: ich fange in Z an. Was wäre das einfachste Element ungleich null, dass ich jetzt ausprobieren kann? genau: eins. Hat die Zahl 1 in Z einen partner x , sodass 1*x = 1 ist. Ja, sich selbst (x=1). Das ist ok. Wie kann ich mein "raten" verbessern? Naja, die Zahl 1 hat immer sich selbst als partner, also nehme ich lieber mal eine größere zahl z.B. 2. Hat die 2 einen partner x, sodass 2*x = 1 ist. NEIN. Und schon habe ich ein Gegenbeispiel gefunden. Variante 2: Ich weiß direkt, was Ringe und Körper unterscheidet und weiß, dass in Z (Ring) zum beispiel 2 kein multiplikatives inverses hat, also kann Z kein Körper sein. Das weiß ich, weil ich ein sehr tiefes Verständnis schon entwickelt habe, was Ring und Körper und multiplikative Inverse sind inkl. Beispielen dazu.

[@dariathate3546]

@@mathintuition wow! Markus, danke schön für ausführliche Erklärung. Ich glaube, ich werde mir in der Zukunft angewöhnen, zu Definitionen und Sätzen auch Gegenbeispiele zu überlegen.

[@cprt.d9471]

Kannst du bitte ein Video zum Wort"assoziiert" machen?

[@mathintuition]

In meinem Video „Beweisen lernen in 30 Minuten“ sage ich dazu etwas

[@KaiDerSchreckliche]

Fehlt in dem Satz aus deinem Skript nicht die Voraussetzung, dass die Funktion f stetig sein muss?

[@mathintuition]

Ne, das geht auch für nicht-stetige Funktionen. Die Aussage lässt sich zusammenfassen als: Wenn du so einen Limes wie in (1) berechnen willst (von allen Seiten), dann reicht es, wenn du von Links und von Rechts den Limes berechnest und wenn diese übereinstimmen. Bei einer stetigen Funktion würde der Grenzwert in (1) und (2) immer existieren, also wären die Aussagen beide wahr. Bei nicht-stetigen Funktionen können (1) und (2) auch beide nicht erfüllt sein.