Was ist ein Beweis? | Math Intuition

[@LukasKoletzko]

Schönes Video! :) Ich würde gerne noch eine Sache hinzufügen, die viele falsch verstehen: Wenn wir die Implikation A->B beweisen, behaupten wir nicht, dass die Annahmen A wahr *sind* . Wir *nehmen nur an* sie seien wahr und zeigen dann das unter dieser *Annahme* logisch die Aussage B folgt. Dass die Aussage A->B wahr ist, muss aber weder bedeuten, dass A wahr *ist* noch das B wahr *ist* , sondern bedeutet nur, dass *wenn* A wahr ist, *dann* ist auch B wahr. Also die Wahrheit der Implikation hat *rein gar nichts* mit den tatsächlichen Wahrheitswerten der Aussagen A und B zu tun. Wenn wir jetzt aber *zusätzlich* zur Wahrheit der Implikation A->B noch wissen, dass die Annahmen A in einem Axiomensystem tatsächlich wahr sind (Also A ist aus den Axiomen herleitbar), dann wissen wir auch, dass die Aussage B in diesem Axiomensystem wahr *ist* .

[@mathintuition]

Stimmt, danke, dass du darauf nochmal hinweist.

[@bernhard3307]

großartig rübergebracht! 👍😊

[@alfredadam3613]

Schön dass du wieder aktiver bist. Kannst du mal ein Video zur auflösbarkeit von Gruppen machen?

[@mathintuition]

Auflösbare Gruppen ist leider ein spezielles Thema, das nicht mehr für youtube geeignet ist :/ mit mathevideos für studis bin ich ja schon sehr "nischig" unterwegs. Aber ein paar Worte für dich spontan dazu: der schlüssel, um auflösbare gruppen zu verstehen, ist ihre bedeutung für die auflösung von gleichungen / polynomen zu verstehen. denn beide konzepte hängen stark zusammen.

[@alfredadam3613]

@@mathintuition die Algebra Prüfung ist schon vorbei, trotzdem danke. Ja es stimmt, dass mathe videos für studenten eine nische sind, aber deshalb finde ich es so gut dass du deine Videos macht. Wenn mir das Skript oft zu abstrakt und kompliziert ist. Nachdem ich deine Videos geschaut habe sehe ich das Skript mit ganz anderen Augen. Danke! Weiter so.

[@matthias2447]

Ich finde deine Videos klasse! Allerdings finde ich die Definition k2 := k_2 = 2*k1*k1 sehr willkuerlich (aus den gleichen Gruenden, wie es ein anderer Kommentar es bereits erwaehnt hatte). Ich finde folgenden Beweis wesentlich nachvollziehbarer: n=2*k_1 => n^2=(2*k_1)^2 n=2*k_1 => n^2=4*(k_1)^2 n=2*k_1 => n^2=2*2*(k_1)^2 Die Implikation wird immer wahr. Waere es in deinem Beispiel nicht ohnehin schon ausreichend gewesen, wenn du das k_2 nicht definiert haettest? Der Faktor 2 beweist doch bereits, dass das Produkt gerade sein wird.

[@mathintuition]

Hey Matthias, danke für dein Kommentar! Ich wollte es in dem Video bewusst "übergenau" machen. Bei dieser konkreten Aufgabe gibt es sicher Punkte, wo viele Studenten sagen würden "ab hier ist alles klar". Aber die Definition einmal ganz korrekt zu erfüllen (z.b. es gibt ein k_2 aus den natürlichen Zahlen, sodass n= 2*k_2, damit ich n als gerade akzeptiere) ist sehr wichtig, damit du auch bei Aufgaben, wo du gerade nicht sofort "ab hier ist alles klar" sagen kannst, weißt wie es weiter geht.

[@itsME-dc4vm]

danke ;D

[@frosta1999]

Naja die Voraussetzungen müssen nicht immer alle gebraucht werden. Manchmal sind die Aufgaben einfach „großzügig“ gestellt. Heißt aber ja net dass es keinen anderen Beweis gibt, der ohne eine der Vorraussetzungen klarkommt

[@AlexTrusk91]

6:00 bin jetzt hier. Habe jetzt werniger Furcht vor dem was imS tudium kommen könnte. No joke

[@AlexTrusk91]

14:59 ja, nöh. danke. Ich lass maln like, nen Abo und ne Glocke da. Prinzipiell als Konzepterklärung sehr aufschlussreich. Danke.

[@hansgluck6630]

Danke für das Video ganz gut erklärt, nun sind mir folgende Begriffe nicht übersichtlich: A => B bedeutet Implikation oder logische Folgerung? A ist Prämisse oder Voraussetzung? B ist Konklusion oder Behauptung oder Folgerung? Was bedeutet das Argument? Ist ein Argument eine Implikation oder nur eine Behauptung oder Voraussetzung? Danke im Voraus für einen Hinweis.

[@mathintuition]

Hallo Hans Glück, ich versuche mal mein Glück, das alles nach bestem Wissen zu beantworten: A und B sind Aussagen. Wenn gilt, dass WENN A wahr ist, dass dann B auch wahr ist (A => B), dann hast du eine Implikation ("A impliziert B"). Man nennt A hinreichende Bedingung für B und man nennt B notwendige Bedingung für A. Die einzelnen "Zwischenschritte" (falls notwendig), um die Implikation A => B nachzuvollziehen sind logische Folgerungen. Ein "Argument" ist (für mich), wenn du jemand anderem begreiflich machen kannst, warum eine logische Folgerung gilt. Wichtig: Ob die Implikation A => B wahr ist hat erstmal nichts damit zu tun, ob A selbst wahr oder falsch ist. Man nimmt nur an, dass A wahr ist und untersucht dann, ob dann auch B wahr ist. Wenn dir jemand eine Aussage der Form "A => B" vorsetzt und dich bittet, das zu beweisen, dann ist A die Voraussetzung und B die Behauptung. Wenn du es bewiesen hast, dann ist B natürlich eine Folgerung aus A.

[@hansgluck6630]

@@mathintuition herzlichen Dank für die deutliche Antwort!

[@B33t_R007]

3:59 "Wahrscheinlich hast du's nicht angehalten" 😳

[@AlexTrusk91]

Wollte mich da einfach nicht verloren und alleine fühlen. Scrollte stattdessen hier runter.

[@arthurspooner8774]

Sehr gutes Video! Eine generelle Frage: Nehmen wir an, alle Frauen sind Menschen (Aussage A) Einige Menschen haben drei Beine (Aussage B) Frage: Folgt daraus, dass es Frauen gibt, die drei Beine haben? Es wäre ja theoretisch möglich, aber wir haben ja zu wenig Informationen. Ist meine Frage überhaupt korrekt nach der Aussagenlogik her und zweitens wie behandelt man Fälle, wie diesen, wo es theoretisch sein kann, man aber zu wenig Informationen hat? Ich würde sagen, es ist falsch, da aus A -> B konsequent folgern muss. Bei „eventuell“ entscheidet man zugunsten des es-folgt-nicht-daraus, da nicht zu 100% sicher. Bitte um eine Antwort für mein Verständnis 😊

[@mathintuition]

Hey Arthur, sehr gute Frage und interessantes Beispiel ;) Erstmal hast du neben A und B ja noch die Aussage C vorgestellt: "Es gibt Frauen, die 3 Beine haben". Deine Frage ist nun, ob aus A und B (d.h. du nimmst an, dass diese beiden Aussagen wahr sind), die Aussage C folgt. Es ist also eine Existenz zu zeigen. Eine solche Existenz hast du beispielsweise schon bewiesen, indem du ein konkretes gesuchtes Element ("eine Frau mit 3 Beinen") gefunden hast, z.B. wenn du persönlich eine solche Frau kennst. Das wäre ausreichend. Am entscheidendsten ist dass unscheinbare Wort "einige" in Aussage B. Das müsstest du mir noch definieren. Wenn einige bedeutet: "mindestens eine", dann hast du deine Existenz tatsächlich bewiesen! Wenn einige aber auch bedeuten kann, dass es gar keinen gibt, dann kannst du C nicht folgern. In dem Fall wäre es so: Wenn du niemanden kennst und ich auch nicht, dann ist für uns beide unklar, ob aus A und B die Aussage C folgt. Ein Beweis dafür, dass die Aussage C falsch ist, würde erfordern, dass wir beweisen können, dass es wirklich KEINE einzige solche Frau mit 3 Beinen gibt. Fazit: Je nach Interpretation von "einige" sind wir bei deiner Frage entweder im Bereich "mathematischer Forschung", bei der nicht klar ist, ob die Aussage C wahr oder falsch ist. Oder aber es ist zu folgern (wenn "einige" mindestens eine bedeutet).

[@s.z.9579]

Ich würde Aussage B so verstehen: Es gibt Menschen, die drei Beine haben. Die Anzahl der dreibeinigen Menschen ist also größer Null und sogar größer 1, da Aussage B von Menschen in der Mehrzahl spricht: "EINIGE Menschen haben drei Beine". Sonst würde ich eher eine andere Formulierung erwarten, wie z.B.: Menschen KÖNNEN drei Beine haben (müssen aber nicht). Damit wären für mich alle Informationen da und Aussage C folgt zwingend aus den Aussagen A und B.