Wie groß ist der RADIUS des GELBEN KREISES?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie

In diesem Video schauen wir uns mal wieder ein Geometrie Rätsel an: In einem Quadrat mit der Kantenlänge 10 befindet sich ein Kreis. Der Kreis berührt die untere Seite des Quadrats. Außerdem wird der Kreis noch von zwei Tangenten berührt. Die erste Tangente ist die Diagonale des Quadrats und die zweite Tangente läuft vom Eckpunkt des Quadrats zum Mittelpunkt der oberen Kante des Quadrats. Das Ziel der Aufgabe ist es den Radius des Kreises herauszufinden.
Kommst du auf die Lösung? 😉
Wie groß ist der RADIUS des GELBEN KREISES?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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[@TheTinkywinky3]

Übrigens, die Fläche des Dreiecks kann man auch einfach durch den Satz des Heron ausrechnen, soweit alle 3 Seiten bekannt sind, wobei den Umfang des Dreiecks hätten wir auch gleich mit berechnet

[@Birol731]

Hallo und herzlichen Dank für diese interessante Frage, die immer anspruchsvoller werden 🤓🙏 Anhand der gegebenen Werte habe ich die Seiten des unteren Dreiecks berechnet, da beide Dreiecke (das obere und das untere) ähnlich sind. Das untere Dreieck habe ich in drei Deltoide unterteilt und durch die Längenverhältnisse und Winkel den Radius des Kreises ermittelt 💡 Lösung : Das Quadrat: Q(ABCE) D ∈ [EC] AB= BC= 10 LE CD= 5 DE= 5 für das Dreieck Δ(DBC), nach dem Satz von Pythagoras: BC²+CD²= DB² BC= 10 CD= 5 ⇒ 10²+5²= DB² DB= √125 DB= 5√5 AC= AB*√2 AC= 10√2 DC // AB beide Dreiecke, das kleine obere und das unten größere schneiden sich an dem Punkt O, ∠ CDO= ∠ ABO= α ∠ OCD= ∠ OAB= β ∠ DOC= ∠ BOA= γ ⇒ Δ(DCO) ~ Δ(BAO) OC/OA= DO/BO= CD/AB OB= x OA= y CD= 5 AB= 10 DO= BD-x DO= 5√5 - x OC= AC-y OC= 10√2 - y ⇒ 5/10= (5√5 - x)/x x= 10√5 - 2x 3x= 10√5 x= 10√5 /3 ⇒ BO= 10√5 /3 BO≈ 7,45355 [LE] 5/10= (10√2 - y)/y 20√2- 2y= y 3y= 20√2 y= 20√2/3 ⇒ OA= 20√2/3 OA≈ 9,4281 1. Deltoid, das obere: D(OPSK) P ∈ [OA] K ∈ [BO] OP²+PS²= OS² OK²+KS²= OS² ⇒ OP²+PS²= OK²+KS² PS= KS= r ⇒ OP²+r²= OK²+r² OP²= OK² OP = OK OP= OK= c 2. Deltoid, das rechte: D(TBKS) T ∈ [AB] K ∈ [BO] TB²+TS²= BS² BK²+KS²= SB² ⇒ TB²+TS²= BK²+KS² TS= KS= r ⇒ TB²+r²= BK²+r² TB²= BK² TB = BK TB= BK= b 3. Deltoid, das linke: D(ATSP) P ∈ [OA] T ∈ [AB] SP²+PA²= AS² AT²+TS²= AS² ⇒ SP²+PA²= AT²+TS² SP= TS= r ⇒ PA²+r²= AT²+r² PA²= AT² PA = AT PA= AT= a Nach den Gleichungen: AT+TB= AB AT= a TB= b AB= 10 ⇒ a+b= 10...................(1) BK+KO= BO BK= b KO= c BO= 7,45355 ⇒ b+c= 7,45355.........(2) OP+PA= OA OP= c PA= a OA= 9,4281 ⇒ a+c= 9,4281...........(3) a+c= 9,4281 -b-c= -7,45355 ⇒ a-b= 1,97455 a+b= 10 ⇒ 2a= 11,97455 a= 5,9873 [LE] b= 10-a b= 4,0127 [LE] a+c= 9,4281 c= 9,4281-a c= 3,4409 [LE] der Winkel ∠ OCD= ∠ OAB= β β= ∠ CAB der Winkel im halben Dreieck von dem Quadrat: β= 45° wenn wir das linke Deltoid in betracht ziehen, lässt sich folgendes schreiben: ∠ PAS = ∠ SAT ⇒ β= 45° β/2= 22,5° tan(β/2)= TS/AT TS= r AT= a a= 5,9873 [LE] tan(22,5°)= 0,414213.... ⇒ 0,414213= r/5,9873 r= 5,9873*0,414213 r= 2,4800 [LE] Agelb= πr² Agelb= π*2,48² Agelb= 6,1505π Agelb ≈ 19,32 [FE]

[@entwurzler]

Wie immer ein super Lösungsweg Birol 👍👍

[@Birol731]

@@entwurzler Es freut mich sehr, dass der Lösungsweg hilfreich war. Ich lerne auch immer wieder gerne von anderen und freue mich über jeden Austausch 🙂🙏

[@gerd56]

Wenn man in das untere Dreieck den Innkreis einzeichnen will benötigt man die Winkelhalbierenden zur Bestimmung des Mittelpunktes. Der Winkel zwischen AB und AC beträgt 45°, somit wird die 1. Winkelhalbierende α=22,5°. Damit kann man die 1. Winkelhalbierende auch mit f(x)=tan α*x beschreiben. Für die 2. Winkelhalbierende berechne ich zunächst den Winkel β mit β=tan-1(5/10). Der Winkel für die 2. Winkelhalbierende γ ist dann γ=(90°-tan-1(0,5))/2. Diese beschreibe ich mal mit g(x)=mx+b. Mit m=-tan γ und b=10*tan γ folgt g(x)=-tan γ*x+10*tan γ. Setzt mann f(x)=g(x) und löst nach x auf ergibt sich x=10*tan γ/(tan 22,5“+tan γ) und r=y=tan 22,5*x. f(x)=tan 22,5*x; - 1. Winkelhalbierende g(x)=-tan γ*x+10*tan γ; - 2. Winkelhalbierende mit γ=(90°-tan-1(0,5))/2 f(x)=g(x) tan 22,5*x=-tan γ*x+10*tan γ tan 22,5*x+tan γ*x=10*tan γ x(tan 22,5+tan γ)=10*tan γ x=10*tan γ/(tan 22,5+tan γ) r=y=tan 22,5*x r=tan 22,5*10*tan γ/(tan 22,5+tan γ) r=tan 22,5*10*tan(90°-tan-1(0,5))/2/(tan 22,5+tan(90°-tan-1(0,5))/2) r=2,48000646617418

[@ralfbauerfeind8236]

Die Wurzel aus 200 lässt sich auch netter als zehn mal die Wurzel aus zwei darstellen - mit möglichen Möglichkeiten zur Kürzung? Ähnlich mit der Wurzel aus 125, denn das sind ja fünf mal die Wurzel aus fünf.