ユークリッドの互除法を使わない裏技!!!

#ユークリッドの互除法の裏技
1次不定方程式の解を1組求めるのに、一般的にはユークリッドの互除法が使われますが、
覚えにくい
他で使うことがない
忘れやすい
の3大欠点が揃っています。
ここでは、互除法を使わずに、解を1組見つける方法をお教えします。
定期考査でも、入試でも使えますよ！
改訂版 • 整数 その6 ユークリッドの互除法を使わない...

[@user-lj9js9zx3j]

15:30 y=28でした。お詫びして訂正いたします。

[@user-sy2hs1cw3o]

素晴らしい！！

[@marukuma8750]

分かりやすいだけで、やってることはユークリッドの互除法ですね（褒め言葉）。

[@ty-hi6wn]

今回はユークリッドの互除法は使わずに... (使わないとは言ってない)

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます。 やってることはユークリッドの互除法なんですが、解釈の仕方を替えただけなんですよね。 今後ともよろしくお願いします！

[@oguni_miko]

他の人の解説見たけど 一番わかりやすいデス ありがとうございます！

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます！

[@user-ds4gf1nd4b]

めちゃくちゃ分かりやすくてまじ救われました感謝

[@ki2446]

自然な流れで理にかなった解き方だわ。

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます！

[@user-si3sp3bq3e]

係数の絶対値を小さくする これが一番スッキリしますね！

[@user-xx1mp5um7z]

ユークリッドの使い方だけどほんとに天才かってくらいわかりやすい！

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます😊 引き続きよろしくお願いします(＞人＜;)

[@user-ks6jo5ll8v]

やばい、めっちゃわかりやすい ありがとうございます！

[@user-ut6lx2ch4p]

めっちゃわかりやすいです笑

[@user-lj9js9zx3j]

お褒めいただきありがとうございます！ 今後ともよろしくお願いします！

[@4816ish]

最初の問題、-6と7でいいじゃん？

[@MultiYUUHI]

結局このての問題は互助法(タカタ先生法) 合同式、割り算法、全部できんとダメ

[@user-eo4yz8hw1x]

わかりやすすぎ笑

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます！

[@louismolywacky634]

さすがに人気の動画1位だけありますね。🙂

[@nanamionishi4880]

89x+70y=3の全ての整数解を求めよの場合はどうすればいいですか？

[@user-lj9js9zx3j]

遅くなりました。解答が長くなるので、2回に分けています。 89x＋70y=3 　(19x＋70x)＋70y=3 　19x＋70(x＋y)=3 x＋y=Aとおくと、 　19x＋70A=3 　19x＋(19×3×A＋13A)=3 　19(x＋3A)＋13A=3 x＋3A=Bとおくと、 　19B＋13A=3 　(13B＋6B)＋13A=3 　13(A＋B)＋6B=3 これで、 　A＋B=3、B=－6 連立方程式を解いて、 　A=9、B=－6 　⇔　A=9、x＋3A=－6 　⇔　A=9、x=－33 また、A=x＋y=9より、y=42 以上より、 　x=－33、y=42 ここまでが「解を1組見つける」です。

[@user-lj9js9zx3j]

(続き) 　89x＋70y=3 　89×(－33)＋70×42=3 辺々引いて、 　89(x＋33)＋70(y－42)=0 　89(x＋33)=－70(y－42)　…① 右辺が70の倍数なので、x+33も70の倍数 　x＋33=70mとおくと、　(→移項すれば x=70m－33) ① より、 　89×70m=－70(y－42) 　⇔　89m=－(y－42)=－y＋42 　⇔　y=－89m＋42 以上から、　x=70m－33　、　y=－89m＋42　(ただし、m は整数) ⇒　ここまでが「すべての整数解を求める」です。

[@hrdy1s2z3]

すごいぞ、陽水

[@user-yk1qc5sp2i]

42x-29y＝4もお願いします。

[@user-lj9js9zx3j]

42xー29y＝4 　(29x＋13x)－29y＝4 　29(x＋y)＋13x＝4 1.ここで ー87＋91＝4 に気づいた場合 　　x＋y＝ー3 、x＝7 　から 　　x＝7 、y＝10 2.ー87＋91＝4 に気づかなかった場合 　　x＋y＝A とおいて、 　　29A＋13x＝4 　　(13A×2＋3A)＋13x＝4 　　13(2A＋x)＋3A＝4 　13ー9＝4 から 　　2A＋x＝1 、A＝ー3 　　⇔　x＝7 、A＝ー3 　　⇔　x＝7 、x＋y＝ー3 　　⇔　x＝7 、y＝10 でいかがでしょうか。

[@pirohiro5942]

めぢゃめぢゃ分かりやすいです！！！ 実際に講師とかされてるんですか？

[@user-lj9js9zx3j]

ありがとうございます😁 学校勤務です✌️

[@user-vv7es3zl5n]

動画拝見しました。とても参考になりました。それで自分でやってたんですけど、25x+9y=33の方程式の整数解を求めようとすると答えがどうしても合わないんですけど、このやり方で出来ない問題とかあるんですか？

[@user-lj9js9zx3j]

返信遅れました。 7x+9(2x+y)=33 7の倍数と9の倍数で33を作るなら、21と54で、x=-3、2x+y=6でいかがでしょうか？

[@omoroina10]

こんにちは🙇‍♂️ 試験直前で見ていて答えてもらいたい問題があるので教えて欲しいです。整数解を全て求める問題で 5X➕8ｙ＝1 です。合同式を使って解くやり方なんですが、出来ません😭

[@omoroina10]

3Xー5ｙ＝6もお願いします😭

[@user-lj9js9zx3j]

それはそれは... 試験前とは心中お察し致します。 後ほど返信しますね。

[@user-lj9js9zx3j]

合同式でもできますが、普通にx=－3、とx=2でいいかなぁ、と。 合同式だと 5x+8y≡1(mod5) 5の倍数は消していくので 8y≡1(mod5) 5yも5の倍数なので消して良いので 3y≡1(mod5) 5の倍数は自由に足して引いていいので右辺に5足して 3y≡6(mod5) 5と互いに素であれば両辺割れるので3で割ればy≡2 で、もとの式に入れればxが求まるかと。

[@user-lj9js9zx3j]

3x-5y≡6(mod5) これも5の倍数は自由に足し引きできて、 3x≡6(mod5) 3で割って x≡2 元の式に代入してy=0ですね。 これも普通に考えた方が早いと思いますけど...

[@user-pb6yc8nf9v]

アルゴリズムとしては 現段階では一時不定方程式の解法は ユーグリットの互除法のみですね^ ^ 誰か新しい解法みつけてくれぇ

[@user-lj9js9zx3j]

そうですね。この動画で紹介しているのもユークリッドの互除法の解釈を変えただけですからね... いい方法ないいんでしょうかね...

[@user-se2ux7qg2f]

ユークリッド、なんか筆算みたいなの、これ比べるとこれが一番忘れにくく、実用的ですね。ありがとうございました。

[@マイケル-x6f]

24x+17y=3のときはどうすれば良いですか？

[@user-lj9js9zx3j]

24の倍数は24、48、… 17の倍数は17、34、51、… なので －48＋51＝－3 となるように、 x＝－2、y＝3 でどうでしょうか？ 動画の方法であれば 24X＋17y＝3 (7x＋17x)＋17y=3 7x＋17(x＋y)＝3 ここで、－14＋17＝3から x＝－2、x＋y＝1であればOK

[@マイケル-x6f]

わかりました！ ありがとうございます！@@user-lj9js9zx3j

[@user-mn5kz7rr6f]

この動画を見て問題26x+11y=1はx=-8,y=19となったんですが合っているんですかね……？

[@user-lj9js9zx3j]

完璧です。あってますよ。 もしかしたら解答はx＝3、y＝－7になってるかもしれませんが、そもそも答えは無数にあるので、26x＋11y＝1に代入して成立するx、yであれば何でもOKです。

[@nemi6360]

43x＋32y＝4の場合はどうしたらいいでしょうか😢テスト近いのでお願いしたいです

[@user-lj9js9zx3j]

(32x＋11x)＋32y＝4 　11x＋32(x＋y)＝4 x＋y＝Aとおくと 　11x＋32A＝4 　11x＋(11×2A＋10A)＝4 　11(x＋2A)＋10A＝4 ここから、(44ー40＝4を作ればいいので) 　x＋2A＝4、A＝ー4 これを解いて 　x＝ー12、A＝ー4 A＝x＋yだから 　x＝ー12、x＋y＝ー4 これを解いて、 　x＝ー12、y＝ー16 となります。 テスト頑張ってください！

[@omoroina10]

この系統の問題で、24X➕19ｙの時の途中式を教えて欲しいです

[@omoroina10]

＝1です

[@user-lj9js9zx3j]

こちらの質問を見落としていました。すみません。 5x+19(x+y)=1 で 20-19ができればいいので、 x=4、x+y=－1 を解いて、 x=4、y=－5 で解決できると思います。

[@user-yu7ij6qf9j]

11x+19y=5という問題はこの解き方でいくとどうやって解くんですか？明明後日定期テストです😭教えてください！🙇‍♂️

[@user-lj9js9zx3j]

11(x+y)+8y=5 x+y=Aとして 11A＋8y=5 3A+8(A＋y)=5 ここで A=－1、A＋y=1 であればよく、y=2、 A=x＋y=－1からx=－3ですね。 ただ、この場合は、19の倍数が、19、38、... 11の倍数が11、22、33、... なので、動画のような方法でなくても －33＋38=5でx=－3、y=2としてもいいと思います。

[@user-yu7ij6qf9j]

@@user-lj9js9zx3j ありがとうございます！！！助かりました！！

[@user-lj9js9zx3j]

@@user-yu7ij6qf9j いえいえ、頑張ってください！

[@user-sr7ok9uw9e]

141x−52y＝4の場合の解き方教えてくださいー

[@user-lj9js9zx3j]

これ、大変ですね笑 37x＋52(2x－y)＝4 2x－y＝Aとおいて、 37x＋52A＝4 37(x＋A)＋15A＝4 x＋A＝Bとおくと、 （ここでB＝3x－yとなる） 37B＋15A＝4 7B＋15(2B＋A)＝4 で、B＝7、2B＋A＝－3 xとyに戻せば 3x－y＝7 8x－3y＝－3 あとは連立方程式を解いて x＝24、y＝65 でいかがでしょうか。

[@user-sr7ok9uw9e]

なるほど、、 ありがとうございます！

[@user-lj9js9zx3j]

@@user-sr7ok9uw9e さん ご質問ありがとうございました。

[@user-ki5qv1tq6c]

ちょうど私も同じ問題やっていたので助かります😂

[@electro-yosef1884]

279x+122y=1 このように大きい数字でもできますか？ 自分がやったら文字で置いたものをさらに文字で置くといったようにいろいろ面倒なことになってしまって....笑笑

[@user-lj9js9zx3j]

279x＋122y=1 35x＋122(2x+y)=1 2x＋y=Aとおくと、 35x+122A=1 35(x＋3A)+17A=1 よって、 x+3A=1 かつ A=－2 Aを戻して 7x＋3y=1 かつ 2x＋y=－2 を解いて x=7 、y=－16 でどうでしょうか？？ ご覧いただき、またご質問いただきありがとうございます。

[@electro-yosef1884]

ありがとうございます

[@user-lj9js9zx3j]

@@electro-yosef1884 ありがとうございます。センター試験までならこの移動、2回でほぼ乗り切れますよ。

[@user-wt7em4qb7j]

整数解を全て求めよという問題はどうしたらよろしいのでしょうか

[@user-lj9js9zx3j]

ご質問ありがとうございます。すべての整数解を求めるには、もう少し作業が必要なのですが、この動画ではそこまで説明していません。改めて動画にしようと思います。よろしくお願いします。

[@user-ty4ss6qv4b]

こんばんはコメント失礼します。 95x＋22y＝1を教えて頂けますでしょうか。

[@user-lj9js9zx3j]

7x＋22(4x＋y)=1 で －21+22=1を作れるので、 x=－3、4x+y=1 を解いてx=－3、y=13でどうでしょうか？？

[@user-ty4ss6qv4b]

@@user-lj9js9zx3j 本当に助かりました。 テスト頑張ってきます

[@user-lj9js9zx3j]

@@user-ty4ss6qv4b 頑張ってください！

[@user-ty4ss6qv4b]

@@user-lj9js9zx3j 本当に助かりました。 この動画を見てなければ解けなかったです。本当にありがとうございました。 また機会があれば教えて下さい！

[@user-xp7gn2by4z]

【自分用】 3:59

[@user-yu7ij6qf9j]

すいません、19x+4y＝1の解き方教えてください！

[@user-lj9js9zx3j]

お問い合わせありがとうございます。 この場合だと、 -19+20=1でいけそうなので、x=-1、y=5でいかがでしょうか。 ちなみに、動画の方法を使うなら、 3x+4(4x+y)=1 で x=-1、4x+y=1 とも出来ます。

[@user-yu7ij6qf9j]

@@user-lj9js9zx3j ありがとうございます！！

[@user-tz3bx1wc5l]

このような問題って共通テストに出るんですか？

[@user-lj9js9zx3j]

過去のセンター試験にも互除法で解く問題は出たことがあります。共通テスト初年度はどうなるかですね。

[@user-wt2rh9to1i]

あ、り、が、と、う、ご、ざ、い、ま、す まったくわからなかったので捨て問にしようと思って、開き直ってKZbin観てたら偶然見つけました。

[@user-lj9js9zx3j]

お褒めに預かりありがとうございます。テストですかね？ 頑張ってください！

[@sattorinn]

冒頭の特殊解の見つけ方x=y=-1で良くない？

[@user-lj9js9zx3j]

いいですよ 答えは無限にあります あっていれば何でもOKです

[@user-yu7ij6qf9j]

62x－23ｙ＝5を教えてください！ 明日テストなんです…。😭

[@user-lj9js9zx3j]

16x+23(2x-y)=5 2x-y=Aとおいて、 16x+23A=5 16(x+A)+7A=5 -16+21で5になるので、 x+A=－1 A=3 x=－4 A=2x－y=3よりy=11 でいけると思います。 テスト頑張ってください！

[@user-yu7ij6qf9j]

@@user-lj9js9zx3j うわー、助かります！！ありがとうございます！！テスト頑張ります！！笑

[@user-mq5wr3hz7w]

5x＋8y=139をこれでやったんですけど出来ませんでした、、、、、

[@user-mq5wr3hz7w]

出来れば教えて欲しいです🙇‍♀️

[@user-lj9js9zx3j]

動画の方法は「係数が大きいとき」用です。係数が小さいときは普通に解を探します。 x＝15とy＝8ですね。

[@user-lj9js9zx3j]

5(x+y)+3y=139にして、 y=3、x+y=26 x=23、y=3 なんかもありですね。

[@unko0721]

10分くらい時間盛ってるのまじで分かる

[@user-gu6yr9hu3s]

12x+5y=169 これが組み合わせが多すぎてわからなくなります🥲 教えてください

[@user-lj9js9zx3j]

返信が遅くなりました。 このタイプの方程式はそもそも無限に解があるので、 (12,5)も(7,17)も(2,29)でもOKです。最初の1組は「あってさえいれば」なんでも構いませんよ。

[@user-gu6yr9hu3s]

@@user-lj9js9zx3j ありがとうございます！！ そうなんですね！安心しました🥲

[@omoroina10]

この系統で、85Xー66ｙ＝3もお願いします…マジで頭痛くなるくらい悩んでるけど分かりません

[@user-lj9js9zx3j]

難敵ですね 19x+66(x-y)=3 x-y=Aとして 19x+66A=3 19(x+3A)+9A=3 B=x+3Aとして、 19B+9A=3 B=3 A=-6 でどうでしょう？

[@omoroina10]

@@user-lj9js9zx3j 了解です！🙇‍♂️ 数学の試験があって、分からない問題多いので随時質問させてもらいたいです😢😢

[@user-lj9js9zx3j]

随時、ご質問ください。多少のタイムラグはあるかもしれませんが...

[@TASI-xw2of]

modを使うと更に簡単に…

[@user-lj9js9zx3j]

そうですよね。modならさらに簡単なんですが、modを教えない学校もあるので、そこから説明するのが大変そうで...

[@user-xu8dd7ej1d]

覚えにくい、他で使うところがない、忘れる これ同じ意味では？www(違う意味です) ただ、共感無茶苦茶する

[@yuchi_08]

えぇ、これが互除法でしょ

[@nariakikishi9211]

だな,

[@yamada9402]

最後y＝28ではないですか？

[@user-lj9js9zx3j]

ううう さん おっしゃる通りです。お詫びして訂正いたします。今後ともよろしくお願いします。

[@electro-yosef1884]

学校ではユークリッドしかやっていなかったのですが、テストで「ユークリッドの互除法を用いて解け」などの指示がない場合は解き方自由ですかね？w

[@user-lj9js9zx3j]

僕は逆にこの方法しか教えていません。ユークリッドはどうしても生徒に覚えさせる(または半年後でも思い出せる)のは無理だろうというのがその理由です。 学校のテストの場合は以下のようなケースが考えられます。 ・センター試験のような穴埋めの場合 動画の方法で大丈夫です。穴埋めにハマる数はこの方法で出せます。僕が見てきた学年はこの方法だけでこれまでにセンター試験受けさせてきましたが、解けなかったという報告はありませんし、一応、自分で解いてみてもセンター試験では解けない問題はありませんでした。 ・記述式の場合 ユークリッドを使う場面ってのは1組の解がすぐに出ない時ですが、この方法でこっそり求めておいて、「この解が突然閃いたんですよね（笑）」って顔して答案書いておけば大丈夫な気はします。例えば3x-5y=1だったらx=2、y=1って解を使ってすぐに次に進みますよね。 ただ、学校の考査ってのはローカルルールあるので、ユークリッド使わなきゃダメって先生は居そうですよね。あ、模試なら大丈夫ですよ。

[@electro-yosef1884]

ありがとうございますw 少し数学とはずれてしまうのかもしれませんが 問題に解き方を指定していなかったのにも関わらず、教えた解き方ではないとあっていてもバツとすることは理不尽だと思いますか？w

[@user-lj9js9zx3j]

@@electro-yosef1884 理不尽かどうかは難しいところですね。僕個人の意見としては理論破綻していない方法であればOK、むしろ「面白い方法もってきたな」と思います。 ただ、学校として生徒全員に教えた方法を徹底するのに「いまは他の方法はしないで！」という気持ちも理解はできますので。 生徒の側からしたら、いい方法見つけたんだからそれも認めて欲しい、ってところですよね。 答えになってなくてすみませんm(_ _)m

[@user-ye2tm4qp7x]

まだ返信してもらえるでしょうか… 24x+13y=1 24x+13y=7 テストがあるので教えて頂きたいです。

[@user-lj9js9zx3j]

テスト頑張ってください！ (1問目) 　24x＋13y＝1 　(11x＋13x)＋13y＝1 　11x＋13(x＋y)＝1 　( → 66ー65で1になりそう) 　x＝6、x＋y＝ー5 これを解いて、 　x＝6、y＝ー11

[@user-lj9js9zx3j]

(2問目) ・解法1 　この問題の本来の意図は、右辺が7倍に 　なっているから、1問目の解を7倍して 　x＝42、y＝ー77 ・解法2 　とにかく動画の方法で解いてみる 　　11x＋13(x＋y)＝7 　x＋y＝Aとおいて、 　　11x＋13A＝7 　　11x＋(11A＋2A)＝7 　　11(x＋A)＋2A＝7 　(→ 11ー4で7になるから) 　　x＋A＝1、A＝ー2 　これを解いて 　　x＝3、A＝x＋y＝ー2 　さらに解いて 　　x＝3、y＝ー5 　解法1と2で数字が違いますが、どちらもちゃんと正解です。

[@user-ye2tm4qp7x]

ありがとうございます（ ; ; ）

[@user-js9dt6gg9c]

modでよくね？

[@user-lj9js9zx3j]

modでもいいのですが、学校で習ってないことも多く、modのルールから説明しなくてはならないためにこのような方法で紹介させていただいております。今後ともよろしくお願いしますm(_ _)m

[@biwako2]

地毛ですか？笑笑

[@i_am_1231]

名前変えれば伸びると思う。女子とかこんな名前じゃ見たくならないでしょ笑笑