Задача, которую на моей памяти не решил ещё никто

Мой канал в VK - yellow.school
Реши уравнение х² - 13 = √(х+13).

[@AlexeyEvpalov]

Метод неопределённых коэффициентов. x^4+0x^3-26x^2-x+156=(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D) раскрыв скобки и приравняв коэффициенты получим систему A+C=0, B+D+AC=-26, AD+BC=-1, BD=156. Откуда A=1, B=-12, C=-1, D=-13, то есть (x^2+x-12)(x^2-x-13)=0. Те же квадратные уравнения, те же корни.

[@ivan_577]

Мы опять же, тут угадывает коэффициенты. С тем же успехом можно перебрать делители свободного члена, угадав таким образом некоторые корни, и выполнить деление многочленов.

[@AlexeyEvpalov]

​@@ivan_577 по теореме Безу проще, но 78 уже написал это решение.

[@ivan_577]

@@AlexeyEvpalov можно ещё проще. Схемой Горнера(это тоже деление, но в более краткой форме).

[@NPSpaceZZZ]

Только самые тупые не видят сразу, что x^4-26x^2-x+156 = (x+4)(x-3)(x^2-x-13). Ну потому что -4 - это корень, который виден сразу, а дальше надо просто уметь делить многочлены на одночлен в столбик. Задача устная и решается практически в уме.

[@user-ht7mu6bp9d]

Метод неопределённых коэффициентов при поиске этих самых коэффициентов в итоге даёт такие уравнения, что смысла нет его применять. В таком случае и правда проще воспользоваться свойством степенных уравнений, что свободный член - это перемноженные корни, а коэффициент при x^3 (равен нулю) - это сумма корней.

[@klajdgriffits1136]

Решение красивое, но очень долгое. Самое оптимальное решение это графический метод. Единственное, что от нас требуется, это аккуратно нарисовать графики левой и правой части уравнения. Первый корень целый, минус 4. Для нахождения второго нужно внимательно посмотреть на графики. В первой четверти(положительная абсцисса и ордината) они идут симметрично относительно нуля. И следовательно их пересечение будет точкой, где абсцисса и ордината будут равны. х=у. Далее подстановкой в любое из частей уравнения получаем квадратное уравнение х=х^2-13. И соответсвенно решение. Данный способ намного проще, быстрее и понятней, нежели поиск разобранного решения...

[@AlexanderSokolov]

Я, когда пытался решить, чувствовал, что число 13 неспроста два раза повторяется. Но не додумал, что функции обратные. (Хотя начал именно с графика, но увы, нарисовал его схематически. Просто чтобы понять, сколько корней, какие у них знаки, и чему примерно равны.)

[@user-pd7js7cy9m]

@@AlexanderSokolov . Уточним : у функции (1) y=x^2-13 - нет обратной функции так как она немонотонна . Функция (2) y=sqrt(x-13) - имеет обратную . Для получения формулы обратной функции ( если она есть ) пишем вместо игрек - икс , а вместо икс - игрек и решаем получившееся уравнение относительно игрек. (3) x=sqrt(y-13) . Эта обратная функция задается решением уравнения (3) - системой : (4) y=x^2-13 и (5) x>=0 . А это «пол-параболы» (1) . С уважением ,Лидий

[@AlexanderSokolov]

@@user-pd7js7cy9m Да, вы совершенно правы. Я так написал для краткости. А имел в виду, конечно, правую половину параболы. Поскольку корень (-4) сразу нашел подбором, и видел, что второй корень где-то между 4 и 5, в первой четверти, постольку про левую половину параболы я уже не думал. Она, конечно, существует :) но при поиске корня её можно было как бы не замечать, что я и сделал.

[@shUVSxIEMl]

Самое красивое решение! Тоже начал с графиков, -4 находится сразу же, но симметрию не увидел, т.к. графики были не в масштабе :)

[@nataliag9933]

Я наоборот, сразу поняла, что функции обратные и нашла иррац.корень, а вот -4 не заметила сразу. Хотя его легко найти в принципе перебором рац.корней

[@user-pd7js7cy9m]

Возможно не повезло со школой. Где мои 17 лет ?? Известный приём (жалко не я придумал ) : (1) sqrt(x+13)=t>=0 . Получаем систему : (2) t^2-13=x ; (3) x^2-13=t ; (1) . Вычитаем (3) из(2) , получаем равносильную систему : (4) (t-x)*(t+x)=-(t-x). (2) ;(1) . Уравнение (4) равносильно объединению двух : (5) t=x и (6) t+x=-1 . Решаем подстановкой объединение систем : (1) , (2) , (5) и (1) , (2) , (6) . Получаем Ваш ответ !!!! С уважением, Лидий P.S. Но у Вас - гениально!😊!😊! И Вы конечно лучший!!😊😊!!

[@sinforpizero]

Также решал

[@hola-ig9gb]

Это решение оставляет куда меньше вопросов,спасибо вам.

[@pbashkatov]

примерно также подумал.

[@TopUser2022]

и вам 70 лет?)

[@user-pd7js7cy9m]

@@TopUser2022 Да ! А что тут такого ? Помню было 10 лет тому назад.🙂

[@DimitriuSun]

Наблюдая как Вы это проделали, просто получаешь удовольствие.👍

[@user-qx3go1gz8n]

1:31

[@-wx-78-]

В общем-то уравнение x⁴−26x²−x+156 = 0 не сильно страшное, если присмотреться к 156 = 2²·3·13 и использовать теорему о рациональных корнях. Корни 3 и -4 подбираются весьма быстро, остаётся решить x²−x−13 = 0 и отбросить лишнее. Сам приём (решение относительно константы) очень полезен, развивает навык смотреть на уравнение под другим углом.

[@user-sd6ff9os2t]

Теорема о рациональных корнях это та теорема, которая гласит, что свободный член точно будет делиться на рациональный корень? Можете подсказать, кто придумал эту теорему?

[@vovanbalashov]

А ещё полезнее уметь находить вольфрам альфа) С его помощью я решил секунд за 30)

[@vladislavbaranovskii4133]

@@user-sd6ff9os2t считается что это частный случай леммы Гаусса, так что можно сказать что Гаусс и придумал данную теорему, хотя это не точно

[@user-pd7js7cy9m]

@@user-sd6ff9os2t Уточним ! Нет понятия « делится на рациональное число» ! Известна теорема: !!!! { ЕСЛИ у многочлена Pn(x)=An*x^n+A(n-1)*x^(n-1)+…+A1*x+Ao с целыми коэффициентами Ai есть корень вида : (p/q) , где ‘p’ -целое , ‘q ’ - натуральное , ТО Ao - делится без остатка на ‘p’ ,а An - делится без остатка на ‘q’ } !!!!! С уважением , Лидий

[@-wx-78-]

@@user-sd6ff9os2t Там формулировка немного хитрее: если x = p/q (несократимая) - корень aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀, то p∣a₀ и q∣aₙ. Для приведённого получается что целый корень - делитель свободного члена. Насчёт источника наверняка не скажу, подозреваю что это Рене Декарт. Он ещё и правило насчёт связи перемены знаков коэффициентов с количеством положительных/отрицательных корней предложил, так что вполне возможно.

[@user-yu4xy8cw8w]

Я таких уравнений за свою жизнь решила больше 20 штук. В которых получаем квадратное уравнение относительно числа. Главное - следить за ОДЗ.

[@user-qn8je3us8f]

Прямо-таки кайфую, решая на паузе. Не всегда получается... Но как здо́рово, что мне попался Ваш канал!

[@Sol_3611]

Остроумно! Спасибо! Возьму на вооружение! ☀️

[@AlexanderPatrakov]

Видео не смотрел, решал так. Обозначим правую часть за новую переменную: sqrt(x+13) = t Возведем в квадрат, чтобы избавиться от радикала: x+13 = t^2, но это эквивалентно предыдущему равенству только при t >= 0. Запомним это ограничение и не будем его переписывать. Про ОДЗ (x >= -13) думать тоже не помешает. Итого имеем систему: x^2 - 13 = t и t^2 - 13 = x. Введем f(x) = x^2 - 13, надо по сути найти решения уравнения f(f(x)) = x. В явном виде это уравнение четвертой степени: x^4 - 26 x^2 - x + 156 = 0 Два решения можно угадать, заметив, что, если f(x) = x, то x - корень, и t = x. А это квадратное уравнение, x^2 - x - 13 = 0, соответственно решения x = t = (1 +- sqrt(53))/2, но решение с минусом нам не подходит, так как должно быть t >= 0. Два других решения можно узнать, поделив исходный многочлен четвертой степени на известный делитель x^2 - x - 13 столбиком. Итого: x^4 - 26 x^2 - x + 156 = (x^2 - x - 13)(x^2 + x - 12) = 0 Первую скобку к нулю мы уже приравнивали, поэтому примемся за вторую. x^2 + x - 12 = 0, это квадратное уравнение с корнями x = -4 и x = 3, но второй нам не подходит, так как тогда t = -4, что противоречит ограничениям. Итого: x1 = -4, x2 = (1 + sqrt(53))/2, других корней нет. Сейчас посмотрю видео и проверю, правильно ли решил. P.S. почитал комментарии, это по сути решение от @leha257tochi_cvou_nozhi с точностью до наоборот.

[@Blesphemer]

Спустя почти четверть века после того, как закончил школу... А по алгебре у меня всегда отлично было, решал все школьные задачки в уме: записываю дано и сразу пишу ответ. Двух-трёх значные числа перемножить в уме было не проблемой, держа в уме и несколько других переменных. И сейчас понимаю: школьную программу как считать алгебраические уравнения, как брать логарифмы, которые легко когда-то решал в уме - ныне и под пыткой решить не смогу, потому что напрочь забыл всю школьную программу кроме простейших вычислений: сложить, отнять, поделить и умножить... С геометрией, синусами и косинусами, впрочем, как и с интегралами - всегда были проблемы. Запомнить то мог тупое решение как надо, но дело в том, что геометрические фигуры и интегралы - это простейшие функции бесконечности и мысль, найдя выход из конечности, уходит в бесконечность... Не, я конечно понимаю, что помня простейшие вычисления настолько, что эти циферки вспомню и пойму как сложить, умножить, поделить, отнять, можно все эти формулы вывести, если задаться целью.... Но кроме обычной математики, есть ещё гениальная математика, вообще любая наука, в том числе и математика - гениальна по-своему, но гениальность математики, как и многих наук заключается в очень простом решении: пофиг на задачу и то, что дано, решаем как надо - пишем ответ от балды и говорим, что так и надо и как тебя не будут убеждать, что так не надо, какие бы доводы и доказательства не приводили, упирай на то, что так и надо... Всё чему научил нас учитель, мы научились у других, но всё чему научился учитель - учитель научился у нас... В любом случае доказательства и решение можно притянуть за уши, создав условия, когда все другие решения абсолютно не правильны, даже если правильны, но в одном единственном случае только одно единственное решение верно и эта верность распространяется на все решения.

[@user-vc9im2ls6v]

обозначим корень из х+13 за t и получим 2 симметрич уравнения x^2=t+13 и t^2=x+13, вычитаем одно из другого, выносим общ множит x-t и решение готово

[@irinachenkova2493]

Я тоже так!

[@rruuttuubbee]

Согласен. Так же решил. И не было никаких четвёртых степеней)

[@user-ux8bq8sx1r]

Последнее решение с обозначением корня через t понравилось!

[@natteft6593]

@@user-ux8bq8sx1r все задачи типа х² - a = √(х+a) решаются одинаково именно этим способом

[@user-aaabbbcccddde]

Прямо удовольствие получил от видео!

[@jetairliner5706]

В последнее время мало практикуюсь в решении математических задач, да и немного тугодум по природе. Минут 10-15 пытался сделать какую-нибудь замену, но все идеи уже на начальном этапе казались неуспешными. В итоге сообразил привести к виду: x² = √(x+13) +13 Прибавил по 'иксу': x²+x = √(x+13) + (x+13) Ну и апогеем стала замена t = √(x+13) Далее преобразования до двух скобок, умноженных друг на друга, которые дают в произведении нуль. Как следствие, совокупность уравнений. Получаем 4 корня, 2 из которых не подходят под ООФ В комментариях есть люди, которые решили максимально похожим способом, но искать пришлось такие комментарии долго, ибо всё забито "графическими методами" :D

[@-Critical_Thinking-]

_ибо всё забито "графическими методами" :D_ Во-во. Мамкины решальщики...

[@salavatishikaev3104]

Я решал по-другому. Рассматриваю систему уравнений y=х²-13 и y=√(х+13). Если возвести второе уравнение в квадрат (количество корней при этом удвоится), то легко углядеть симметрию, - это не два, а, по сути, одно и то же уравнение, только х и у поменялись местами. Отсюда два из четырех корней - это решения уравения х=х²-13. А другое квадратное уравнение находится вполне стандартно (можно делением полиномов). Выбор подходящих корней лучше делать с помощью анализа графиков данных уравнений. Тре точки пересечения графиков - это корни системы. На графиках хорошо видна и симметрия. Уложился меньше чем в 10 минут.

[@user-nf1sk6kb8n]

Кстати, кажется, в решении допущена ошибка(которая, кажется, даже могла бы испортить решение, будь в уравнении другие коэффициенты, но я не уверен). Во время извлечения корня из дискриминанта нам надо поставить модуль, который не позволил бы нам ничего сократить и удлинил бы решение ещё сильнее

[@user-tr5gr9wi4k]

Спасибо.) Люблю этот метод...) 👍👌

[@artorias9986]

Тут используются довольно необычные методы решения уравнений. 1) Введение параметра 2) f(f(x))=x f(x) = x Думаю, зрителям было бы интересно увидеть еще что-то такое. Есть сборник с.н. олехин, м.к. потапов, п.и. пасиченко "уравнения и неравенства. нестандартные методы решения: справочник" и там еще есть куча таких необычных уравнений

[@user-fj2zl6fe1d]

пункт (2) -- не равносильно! Только для возрастающей f и такая запись не равносильна исходному

[@user-nz7gc9lx9k]

Супер! Спасибо за пример

[@leha257tochi_cvou_nozhi]

Я решил это уравнение иначе Во-первых, прежде чем возводить обе части в квадрат, необходимо дать область определения функции 1) Х+13≥0 Х≥-13 2) х^2-13>0 Х>√13 Так ООФ определили, теперь приступаем к решению Раскрываем скобки и получаем Х^4-26х^2-х+156=0 Первый корень легко подбирается х=-4 Далее делим многочлен х^4-26х^2-х+156 на (х+4) и получаем х^3-4х^2-10х+39 Т е получаем (Х+4)(х^3-4х^2-10х+39)=0 Второй корень также легко подбирается и получаем х=3. Далее делим многочлен х^3-4х^2-10х+39 на (х-3) и получаем х^2-х-13, Т е (Х+4)(х-3)(х^2-х-13)=0 Далее по дискреминанту находим оставшиеся корни это (1+√53)/2 и (1-√53)/2 Далее поскольку наше уравнение иррациональное, мы должны проверить корни Х=-4 удовлетворяет условию ООФ Х=3 Не удовлетворяет условию поскольку 3

[@user-re1pd1zn6p]

Ваше решение красивое, но при нахождение ООФ в 2) потеряны отрицательные значения, а там есть кусок >-13

[@leha257tochi_cvou_nozhi]

@@user-re1pd1zn6p Смотрите если рассматривать два участка ООФ, то мы можем объединить эти 2 участка и получаем х принадлежит (-∞;-√13]включительно(√13;+∞)

[@user-re6rm3gx5i]

Во 2) небольшая ошибка, там модуль х≥√13 Итого если объединить 1 и 2: [-13; -√13] и [√13; +)

[@leha257tochi_cvou_nozhi]

@@user-re6rm3gx5i А что нам дает это -13? -13 входит в промежуток от -∞ до -√13. Нам на самом деле нам -13 не так важно, поскольку понятно что х может принимать значение больше +√ 13 и меньше -√13. Важное условие что х не может быть больше -√13 или меньше +√13. А так все правильно определена область определения функции (-∞; -√13]U(√13;+∞)

[@user-re6rm3gx5i]

@@leha257tochi_cvou_nozhi Посмотри внимательнее, - 14 уже не подходит, иначе под корнем получится минус, и тем более не подходит - беск. Я написал общую ООФ

[@raphaelosipov867]

Очень красивый прием, спасибо.

[@sinforpizero]

√(X+13)= t t²=x+13 x²=t+13 Вычитаем и получаем либо t = x, либо t+x+1=0 подстааляем и получаем те же корни ну и надо проверить, чтобы сходилось с условием наличия корней

[@user-wc4zo5km7f]

Точно так же сразу решил. По моему самый очевидный вариант

[@stas1ism]

Только так и решается

[@stas1ism]

Потратил 45 секунд

[@Danissimo084]

Ну и как, получилось?)) Как при замене t²=x+13 у тебя одновременно получается x²=t+13??? Если выразить х с первого, то получается x=t²-13, точно не похожее на ваше. И в итоге там всё равно вылазит х⁴. Шо вы там решали 45 секунд, мне аж интересно)))

[@KendokaYar]

​@@Danissimo084 из исходного получается. t=sqrt(x+13), тогда исходное уравнение принимает форму x**2-13=t, перенос 13 в правую часть, получается x**2=t+13 Вот и второе уравнение системы.

[@antonina_moskalyuk]

Красиво! Я по-другому решила. - 4 сразу видно, что подходит, так что делим мнлгочлен 4-ой степени на (х+4), в получившемся уравнении подбором или графически, чуть преобразовав, видно, что корень 3,опять понижает степень, разделив кубический многочлен на (х-3), остаётся квадратный многочлен, находим корни, лишние по ОДЗ отбрасываем.

[@lilnaswhy4239]

Это же базовое задание. Теорема рациональных корней. Первый корень 3, второй -4. Делим по теореме Безу и остается х^2-x-13.

[@Sebastian-cy3ku]

Последний ответ можно было и проверить, если не знаешь, сколько корней у исходной задачи. Потому что там получаются очень близкие значения: (1-\/53))÷2= -3.14; \/13=3.6. Это тут понятно при графическом представлении, что не более 2х корней, а в других задачах можно и лишиться одного ответа.

[@olddog57]

Корни -4 и (неподходящий) 3 сразу видны, ещё до возведения в квадрат обеих частей. Но эта догадка обещает, что после возведения в квадрат получившееся ур-ние 4й степени легко свести к квадратному. "Тоже мне - бином Ньютона"

[@user-hd8yl6ju8o]

Интересный метод. Но я не так решал. Хотя тоже заменил 13 на а, но это было не обязательно. Просто я подметил, что правая часть на самом деле соответствует верхней ветке параболы x = y^2 - a или x = y^2 - 13, если а = 13. А далее, если рассмотреть систему y = x^2 - a x = y^2 - a можно выяснить, что решения лежат на прямых y = x и y = -x - 1. Хотя на самом деле не на всех точках данных прямых, зависит от параметра а. Ну а далее в уравнение y = x^2 - 13 сначала вместо y подставляем x и решаем, а потом вместо y подставляем -x - 1 и тоже решаем. Получаем 4 решения и оставляем только те 2, которые соответствуют пересечениям кривых y = x^2 - 13 и y = корень(x + 13). Оставшиеся два корня просто соответствуют пересечениям кривых y = x^2 - 13 и y = -корень(x + 13), то есть пересечениям с нижней веткой параболы x = y^2 - 13, которые в данной ситуации нас не интересуют. Хотя, конечно, этот метод уже вряд ли сработает, если уравнение будет вида x^2 - 13 = корень(2x + 13), например. А метод автора видео должен и тут сработать.

[@artemlunevich4733]

Если возвести все в квадрат и перенести влево 13, то мы получим (x^2-13)^2 - 13 = x. Затем если рассмотреть функцию f(x) = x^2 - 13, то наше уравнение имеет вид f(f(x)) = x, что (по смыслу обратной функции) возможно только при f(x) = x, что в свою очередь нас приводит к уравнению x^2 - 13 = x.

[@IvanKyivPushechnikov]

Да, я тоже таким способом решал. Но есть нюанс. Не обязательно f(x) = x. На самом деле f(x) = a, f(a) = x. Например, так работает функция f(x) = -x. Так я понял, что f(x) то увеличивает число, то уменьшает. Значит что-то в квадрате должно быть меньше 13, чтоб получилось отрицательное число. Так получился вариант 3 и -4. Потом 3 отбросил, так как нельзя извлекать корень. Остался вариант x =-4. Но я думаю, что f(x)=x тоже должно давать одно из решений. Сейчас посмотрю видео и узнаю, прав ли я.

[@Alex-ux4dw]

Да, я тоже решил с помощью Руффини. 3 и -4 нашлись очень быстро. Остальное - дело техники. Но владеть методом который показал автор нужно уметь!!! Спасибо за видео!

[@Arb0tur1ms]

Смотрю и вспоминаю свои школьные годы уроки алгебры и геометрии! 👍

[@user-dx2jd5mk6h]

"Смотрю и вспоминаю свои школьные годы уроки алгебры и геометрии! ", и не могу вспомнить ни алгебру, ни геометрию!

[@Amio.Sanett]

Уравнение как уравнение, чего его решать-то. Можно и в лоб, почему нет - что-то разложить, кубы добавить. Посмотрел видео, в лоб оно не страшнее получится) x^4-26x^2-x+156=0 x^4 + 3x^3-3x^3 - 3*3x^2-17x^2 + 3*17x-52x + 3*52 = 0 Дело плевое, ну а дальше все понятно, один из корней уже видно - 3. Там еще кубическое будет, но никаких проблем. 0:58, ну вот, собственно. Последняя моя учительница по математике это (или не это, способов-то много) сделала бы за две секунды устно. Этот мир с трудом выдерживает ее мощь. А, там чел снизу теорему использовал, я ее забыл уже давно, но помню математичка рассказывала что-то такое для общего развития. Вообще, с тех пор как ЕГЭ сдал, в калькуляторах это все решаю, если надо.

[@user-xx4ru4bl7n]

Я решил самостоятельно! Такой кайф! Спасибо за задачу👍

[@Arty_l]

Идея имба, лайк, спасибо за видео

[@neonikk]

Я менял весь корень на t, выражал х, составлял уравнение примерно того вида, как в начале видео. Получилось t4 - 26t2 - t + 156 = 0. Чтобы оставить один t2 на потом, посчитал (t2 -12,5)2 и добавил необходимую часть, чтобы всё уравнять, вынес всё, кроме этого квадрата за знак равенства. Справа тоже выделился полный квадрат. По итогу оставалось решить уравнение равенства модулей оснований, что привело к тем же квадратным уравнениям, что и в конце видео. Этот способ кажется посложнее, но это первое, что пришло в голову и сразу сработало. Мне 28. За математику не брался 10 лет))

[@andsster]

Устная задачка на одну минуту. Что тут решать? Пишешь y = sqrt(x+13). Получаешь симметричную систему из двух уравнений. Вычитаешь одно из другого, получаешь (x-y)(x+y)=y-x. Разбираешь два случая, избавляясь от y, решаешь оба квадратных уравнения. Проверяешь корректность корня в полученных решениях.

[@Vflery]

Я до такого решения (финт ушами) не догадался. но решил через расширенное ОДЗ, и примерный график. Т.е. Должно быть 2 решения ( из графика) и одно от -13 до корня из 13 со знаком минус. А 2-е решение в области больше корня из 13. А дальше простым подбором: что если подставить -4? Подошло! Дальше уравнение 4-й степ

[@Vflery]

P.S. Дальше ур. 3-й степени подставил 3. Ну и дальше решил квадратное ур.

[@user-fu1dt6hn9k]

Финт ушами - это когда х² + х на доске превратился внезапно в х² - x на 4:43

[@somnam_bula6431]

Не все так безрадостно, есть ещё один вариант, это следствие из теоремы Безу. Хотя искать все делитель свободного члена, удовлетворяющие уравнению, в данном случае являтся задачей проблематичной, но всеже решаемой😊

[@user-mr4dc6kf1p]

"Яяяя самый умный, я сам решил" Инструкция успешно выполнена

[@user-df1co3nn7v]

Возводим в квадрат, но не раскрываем; ближайшие квадраты справа будут 13 - 4 = 9 и 13 + 3 = 16, сразу видно, что числа 3 и -4 подходят. Затем раскрываем и делим уголком на произведение (x-3)(x+4) - получаем ещё пару решений, отбраковываем лишние, получаем ответ.

[@hoginfog]

Шедевр!!!

[@hoginfog]

Шикарно!!!

[@AlexeyEvpalov]

Метод частичной замены переменной. ОДЗ x>=-13 Пусть y=V(x+13), где y>=0, возведём в квадрат и перенесём 13, (1) yy-13=x, а исходное уравнение будет (2) xx-13=y. Вычтем (1)-(2) yy-xx=x-y, разложим разность квадратов и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0, те (y-x)(y+x+1)=0, заменив из (2) y=xx-13 получим совокупность уравнений xx-x-13=0 или xx+x-12=0. Уравнения те же, Ответ тот же.

[@user-qk5zi9lt4r]

Решая уравнение вида f(x) =g(x) сначало находят Область Определения Функции для каждой части, составляющей функции внутри уравнения,...для левой и правой части по отдельности! Таков порядок! В дальнейшем рассматривают и решают систему этих ограничений,так как эти функции хоть и составляют части уравнения но изначально независимы друг от друга! ...То есть важно заметить что равносильные преобразования имеете право применять только если ограничения (одз) полностью найдены и оформлены соответствующим образом! .... И только потом приступаете к равносильному возведению в квадрат обеих частей уравнения! Если ограничения не имеют общего промежутка - несогласованы - промежутки ограничений не имеют общих частей пересечения , то приступать к равносильным преобразованиям нельзя! - это является ошибкой! ОДЗ левой части в этом уравнении Х€(-@@ ; - √13] U [ +√13 ; + @@) - по методу интервалов ... А правой части Х€ [ - 13 ; +@@) - по свойству корня... Эти ОДЗ применяются в системе! Поэтому в итоге решив систему и наложив промежутки на одну координатную ось ОХ получаем ОДЗ D(y): Х€ [ - 13 ; - √13] U [+ √13 ; +@@)....

[@levtsvey3831]

Не знаю, взял, нарисовал график y=x²-13, y=√(x+13), понял, что один корень отрицательный, другой положительный. Замечательно, пытаемся угадать целый корни если они есть. Отрицательный угадывается очевидно, а положительный нет. Тогда смотрим на график: правая ветка параболы и корень симметричны относительно y=x, поэтому и пересечение там же. Подставим в уравнение параболы: x=x²-13, выбираем положительный, конец

[@ratis4689]

Если обозначить f(x)=x^2-13, то уравнение можно переписать так (приобретая лишние корни из-за возведения в квадрат): f(f(x))=x Очевидно, что его решением будут решения уравнения f(x)=x, то есть x^2-x-13=0. К сожалению, f(x) немонотонна, а то бы это было единственным решением, а так придётся поделить многочлен на многочлен, получая второе уравнение: x^2+x-12=0.

[@user-vn7ue5hh7d]

необычно - здорово)))))

[@aleksandrkirkinskij1840]

Красиво - решить относительно "13". Частный случай решения относительно параметра.

[@quill969]

Долго боролся с этим уравнением, пока не решил оценить количество корней. Слева от знака равенства имеем квадратичную функцию, а справа - функцию с корнем. Оценочно изобразив эти два графика (по точкам пересечения с осями) стало очевидно, что корней должно быть ровно два. Но кроме этого стало понятно, что обе эти функции представляют собой одну и ту же параболу, но лежащую на разных осях: (1) y = x^2 - 13; (2) x = y^2 - 13. Только стоит не забывать, что во второй функции изначально был корень, поэтому, хоть это и парабола, учитывать нужно только верхнюю ее ветвь. Вычитаем из одного уравнения другое: y - x = x^2 - 13 - y^2 - (-13) y - x = x^2 - y^2 y - x = (x - y)(x + y) (x - y)(x + y) + (x - y) = 0 (x - y)(x + y + 1) = 0 [y = x] или [y = -x - 1] Получаем два уравнения прямых. Исходная система имела четыре решения, что вполне очевидно по графику. Данные прямые пересекаются с этими графиками в этих же самых четырех точках. Поэтому можно подставить их в систему (по одному) и получить те же самые два квадратных уравнения, как в видео. Остается только выбрать из четырех корней только те два, которые удовлетворяют изначальному уравнению, и получить итоговый ответ.

[@igvil5561]

Изящно, весьма изящно, но это при малых отклонениях

[@decarbonization]

Решал в школе, месяца два думал. Потом построил график и обнаружил закономерность, приравнял к ней и всё решилось. До сих пор помню эту задачу. 46 лет

[@HaleraVirus]

если представить левую и правую части как f(x), то они будут почти обратны(из-за отсутствия монотонности по всей оси x "почти"), из-за этого встраивается симметрия относительно y=x

[@karantindead]

1:00 Искать множители числа 156, и подставлять возможные корни. Мы так решали (естественно-научный уклон). Достаточно один корешок найти, а дальше поделить исходный многочлен на х - х1.

[@samiralhnu6336]

Теорема Безу, однако она не панацея

[@karantindead]

@@samiralhnu6336 это да. иррациональные корни так не найдёшь.

[@user-tg1io5yw7u]

Какой класс?

[@karantindead]

@@user-tg1io5yw7u любительский

[@Gulika921]

Схемой Горнера тоже люблю решать

[@irinachenkova2493]

Спасибо!

[@nerawnodushniymen7036]

Прямо так таки никто? Сначала даже подумал, что не такая уж и трудная, но повозиться всё таки пришлось. И кстати начал решать всё таки первым способом. Но в конце концов тоже пришлось в одном месте делать "хитрую" замену. Нас учили таким заменам, хотя тут замена не такая уж стандартная, больше похожа на олимпиадную.

[@AlexandraMarchenkova]

"На водку" давать не надо. И без неё прекрасно можно справиться. 🤣🤣🤣 1) Определим область допустимых значений (ОДЗ) для х^2-13=√(х+13): х€[-13;-√13]U[√13;+~) 2) прибавим к левой и правой части (х+13) и 1/4 (х^2-13)+(х+13)+1/4=√(х+13)+(х+13)+1/4 х^2+х+1/4=(√(х+13)+1/2)^2 (х+1/2)^2=(√(х+13)+1/2)^2 3) извлекаем корень из обеих частей 3.1) х+1/2=√(х+13)+1/2 х=√(х+13) возводим в квадрат левую и правую части и решаем квадратное уравнение: х^2-х-13=0 х1=(1+√53)/2 ☑️☑️ х2=(1-√53)/2 ➖➖ это значение нам не подходит, т. к. не принадлежит ОДЗ 3.2) х+1/2=-(√(х+13)+1/2) х+1=-√(х+13) возводим в квадрат левую и правую части и решаем квадратное уравнение: . х^2+х-12=0 х3=3 ➖➖ это значение нам не подходит, т. к. не принадлежит ОДЗ х4=-4 ☑️☑️ ---------------------------------------------------- Таким образом, данное уравнение имеет 2-а решения: -4 и (1+√53)/2 ☑️☑️💪💪

[@oleg.shnyrkov]

Второй корень вторового уравнения отброшен необоснованно, так как он меньше -3, а значит по модулю больше 3 и x² больше 9, а сверху вы это значение не оценили.

[@mclotos]

пипец. я это сейчас бы уже не решил и за неделю. А вот каких-то лет 20 назад я такие штуки щелкал как семечки.

[@mike70111]

Почему когда извлекали корень из дискриминанта в уравнении относительно а, не поставили модуль? Корень из (2х + 1) ^2 = | 2х + 1 |

[@Sychev86]

Удивительно, ютуб не только для «не очень грамотных людей» .. можно интересное что-то посмотреть. Классное решение 👍🏻

[@afraidpainter93]

Докопаюсь до формулировки. Мы четвертый полученный корень конечно отбрасываем, но он был чрезвычайно близко к тому, что бы его оставить. Там получается примерно -3,1, а оставили бы мы его если бы получалось -3,605 (ака , √13)

[@user-xm7ly2hy6x]

Красивое решение! И понятное.

[@Anton-mp6lc]

Решал через теорему базу) но ваше решение тоже гениальное

[@DmitryNetsev]

7:15 вообще-то тут надо явно считать, возводя в квадрат и сравнивая с 13. Получается (27 - корень из 53)/2, что чуть меньше 10, и соответвенно, меньше 13.

[@user-fb9mm8vv3h]

Ну, разложение относительно константы - это довольно известный прием, хотя в данном случае можно применить и метод неопределенных коэффициентов.

[@user-fd7ce2em5y]

Когда в начале сказали что не получится, то уже подумал, что задача действительно сложная. Но получилось. Потратил целых минут 5. Решал кстати обычным представлением кривых и пересечений. Ну и там +- 1 можно брутфорсом попробовать. В общем задача сильно легче, чем её преподносит автор.

[@Andriyko855]

Тут можна простіше, оскільки ми бачимо що обидві функції зростаючі та вони рівні між собою => розв‘язок один, і його можна знайти методом підбору - це й буде -4

[@lyro41]

Очень простая задача, максимально легко решается в лоб.

[@navigatorqq112]

Решаем графически. Ветки парабол симметричны относительно у=х, а знчит и пересекаются на ней. Приравниваем к х либо левую, либо правую сторону и решаем.

[@ivanko11rus]

Я решал так: -рассмотрел область допустимых значений, вышло от -13 до -4 и от 4 до бесконечности. Проверил подстановкой корни 4,5 - они были неверны и разрыв становился только больше из-за квадрата, значит интересующие меня корни находятся в промежутке -13 до -4. Начал с -4 и сразу же попал. Далее я бы возвёл обе части в квадрат и разделил бы уравнение на x+4. Если бы поделилось без остатка - нашёл бы второй корень.

[@Muffat100]

Подключил формулу Феррари, и решил. Потом подумал-а ведь можно проще: угадавается -4, поэтому 4 степени уравнение поделил почленно на одночлен, из кубического опять угадывается +3. Опять повторил. Квадратное решил, 2 корня. Лишнее проверкой

[@coda6702]

Делаем замену: t=x+13 X^2-sqrt t =13 X^2-sqrt t =t-x Переносим x и t x(x+1)=sqrt t(sqrt t+1) Далее приравниваем X=sqrt t X=sqrt t+1 X+1= sqrt t Далее подставляем t возводим в квадрат и решаем те же квадратные уравнения, через одз выяеркиваем неправильные ответы. Вуаля

[@user-ig9ii3ko4f]

объясните пожалуйста, как вы из x^4-2x^2*a+a^2-x-a получили a^2-(2x^2+1)a+x^4-x ?

[@user-zg1hm4el7i]

В дискриминанте корень из квадрата - там модуль

[@beham8473]

1:00 Почему никто, я знаю что делать, и как по мне, это гораздо проще чем ваш метод. Итак, можно просто решить делением многочленов, уравнение 4 степени делим на x-3, далее получаем x³+3x²-17x-52, далее делим на x+4, получаем квадратное уравнение x²-x-13, решаем его и получаем два корня 1+-√53/2, но так как выше мы делили на x-3 и x+4, то имеем еще два корня, -4 и 3

[@rizzerfandenjr]

А делить на х-3 и затем на х-4 кто вас на ушко сказал?)

[@beham8473]

@@rizzerfandenjr теорема безу

[@rizzerfandenjr]

@@beham8473 а вот так и напишите

[@katajator4114]

Оригинальное решение. Спасибо

[@shurikenru]

То что и там, и там 13 - сразу было очевидно что это жжжж неспроста:) "На пике формы", классе в 10, я бы точно допёр до такой подстановки:)))

[@rk_nail]

Теорме Безу: Один из корней - делитель свободного члена и потом доходим до квадратного, которое решается через дискриминант/теорема Виетта. Самое главное - не забыть ОДЗ в начале

[@orni8519]

А я решал графически, у нас парабола смещенная вниз по оси игрек на 13 и функция корня сдвинутая влево по оси икс на 13. Итого два корня первый легко угадывается это -4. Второй корень искался из соображения что функция корня и параболы обратны друг другу, значит их пересечение будет равноудаленно от осей икс и игрек. То есть x=y а значит берем вместо y любую из наших двух функций (с параболой проще не надо морочиться с возведением в квадрат) и решаем x2-13=x Получаем два корня 1-sqrt(53)/2 - отрицательный он нам не подходит, а второй 1+sqrt(53)/2 будет корнем искомого. Решил за минуты 2, но конечно этот прием не такой очевидный как у автора

[@user-kk4dp9ls6o]

Разве когда выводишь из корня + не меняется на -? Или так всë сложно?

[@Kaifozavrik]

Решал, через подбор целых корней, основываясь на разложении числа 156 на простые числа. С помощью быстрого перебора нашлись как раз два целых корня. Далее деление многочленов и вуаля квадратные уравнения и через дискриминант)) Сошлось, только проверку забыл😅

[@AlexeyEvpalov]

Метод вложенной функции. Возведем обе части в квадрат и вычтем 13, тогда (x^2-13)^2-13=x, то есть f(f(x))=x, где f(x)=x^2-13. Если f(t)=t, то f(f(x))=f(x)=x или x^2-13=x, получили квадратное уравнение x^2-x-13=0. Разделив уравнение четвёртой степени получим разложение (x^2-x-13)(x^2+x-12)=0 Уравнения и ответы те же.

[@ventilyator]

для полноты решения, осталось объяснить почему корня именно два (можно через объяснялки видов графиков сделать)

[@ilbkru]

Решил бональным перебором предполагая что из под корня должно выйти целое число

[@user-xp6fw9gz8k]

На вашей памяти действительно тяжело, нужно внешнюю использовать.

[@user-nf1sk6kb8n]

Кажется, есть достаточно несложное решение примерно такого вида: Возведём в квадрат обе части и попробуем решить новое уравнение: очевидно, все корни изначального уравнения будут и в новом, так что если решим новое, нам нужно будет лишь отсеять неверные корни. Новое уравнение будет уравнением 4 степени, но, благо, из изначального уравнения легко видеть, что -4 - корень. Также очевидно, что решения уравенения: |х² - 13| = sqrt(x + 13) подойдут и для возведённого в квадрат. А в таком уравнении несложно увидеть корень х = 3 Тогда теперь мы знаем, что в нашем уравнении 4 степени есть корни х = -4 и х = 3. В таком случае, поделив многочлены, нам останется решить лишь квадратное уравнение с корнями х = (1 ± sqrt(53))/2. А дальше подстановкой получаем, что второй корень исходного уравнения - это (1+sqrt(53))/2 P.S на самом деле, подстановкой можно не заниматься, ведь из графиков очевидно, что второй корень положителен

[@evgeninikolaev1264]

13 превратилось в 12 и всё прекрасно стало извлекаться🤯 Ну а если по правде сказать то лучше в условии 13 на 12 заменить чтобы выдвинуть ученика на правильный путь

[@user-up9gh3ig2c]

красиво)

[@alexcheb1930]

решал заменой переменных корень из х+13, но там в количестве корней можно запутаться, тут поизящнее решение

[@iliaveltman6923]

красиво и необычно ю можно было графически увидеть что ксть 2 корня и один из них минус 4

[@user-ug6ql8xn9i]

Очень понравилось. Но есть ли другой способ решения? Сквозняк 17 Помойка Москвича или Ураган Йан и Hurricanelace.

[@based2022]

Возводим обе части в квадрат, получая уравнения 4 степени. Проверяем целые делители (их аж две штуки), делим многочлен на (х+4) и (х-3). Получаем квадратное уравнение. Находим два корня. Из полученных четырёх корней проверяем, какие являются ответом к оригинальному уравнению (то есть два корня отметаем). Получаем ответ намного быстрее, проще и универсальнее. Если эту задачу на вашей памяти не решил никто, то у вас очень низкий уровень квалификации, имхо.

[@user-ts7ym8ct1y]

Введем у=×^2-13, тогда из √х+13 находим х=у^2-13, тоесть имеем две параболы, причем вторая получается из первой поворотом на π/2 по часовой стрелке и в итоге получаем у=× и х= х^2-13, и х=1/2+√53/2 и х=1/2-√53/2. Второе решение не подходит. Далее делим многочлен четвертой степени на квадратный трехчлен и получаем еще одно уравнение х^2+х-12=0 и получим х=4

[@alsfiend2151]

Прекрасная задача!

[@schetnikov]

Решил вообще без выкладок. Парабола y=x2 опущена на 13 единиц вниз, парабола x=y2 сдвинута на 13 единиц влево. Искомая точка пересечения двух парабол лежит на прямой у=х. Отсюда получаем квадратное уравнение x2-13=x и находим его положительный корень.

[@4KOR]

Нас в школе научили представлять x2 как t, таким образом получается обычное квадратное уравнение а потом нужно лишь сделать обратную замену

[@user-dj3uk2tp8p]

Только вот там есть х в первой степени, так что квадратного при такой замене не получится)

[@user-es2wg6fe5s]

Корни должны быть больше или равны минус 13 слева, и второе граничное х^2 больше 13 -- записываем как граничное условие, алзаодим в квадрат и решаем , не ?

[@user-xe4pj7fb1o]

Есть интересный метод нахождения корня (1+√53)/2. Если функция f(x) возрастающая и f(f(x))=x, то f(x)=x, в этой задаче f(x)=√x+13, x=f(f(x)) => x=√x+13, x^2-x-13=0, x=(1+√53)/2 P.S. Вместо f(f(x)) может быть f(f(f(x))), или ещё больше.

[@user-qp9ob9fd7j]

Если у вас не получилось самостоятельно решить, то это ничего страшного. В математике главное прокачать свой мозг, а не заполнять выдуманноу "доску почета" хитрыми открытыми методами. Эти ваши вожделенные сверхоткрытия никому не нужны, вы тратите на них уйму времени, получаете +- тот же итог что и человек, который тупо такой метод освоил по учебнику за 15-20 минут (это почти никак не поможет вам придумывать другие методы). А решать задачу от числа реально необычно!

[@user-yx7mn6hb9i]

можно решить через кубическую резольвенту через формулу

[@KHazadius]

Решил так. Заметил, что выражению х2-13 не хватает -х, чтобы оно превратилось в х2-(х+13), а оно, соответственно в (х+√(х+13))(х-√(х+13)) Тогда добавил в каждую часть по -х Получилось (х+√(х+13))(х-√(х+13))=-х+√(х+13) или (х-√(х+13))((х+1+√(х+13))=0, Тогда либо х-√(х+13)=0, и корни -4 и +3, либо х+1+√(х+13)=0, и корни (1+√53)/2, и (1-√53)/2 Но, т.к. -13=

[@RaizSD]

Пишу до просмотра видео. Честно скажу, я не знаю как решать это по нормальному. Но вот вам мой недометод, которым я "решил" Это уравнение где-то за минуту - 2 (Я не претендую на правильность и удобность решения, но если ваша цель чисто узнать ответ,при этом не зная способа решения, то этот метод не плох). Учитывая тип этого уравнения, число под корнем даст скорее всего целый результат (просто предположение). 16 ближе всего, тогда x = 3, но подставив увидим, что оно не подходит т.к √16= -4 (квадратный корень даëт именно не отрицательное число в уравнениях) . Судя по x^2, корня МАКСИМУМ 2. Первый корень не подошёл под область определения, остался второй он будет из отрицательных чисел, так как при повышении подставляемого числа мы всë дальше уходим от равенства. Попробуем взять число -4 (потому что как я решил думать под корнем слева число даст целый результат). Подставляем в исходное уравнение и видим, что 3 = √9, а это верно. Ответ: x=-4 Учитель бы прибил меня, за НАСТОЛЬКО не обоснованное решение, но в некоторых ситуациях таким способом можно заранее узнать ответ.

[@drr0n63]

4:46 Какой интересный переход с правкой косяка) х2 сначала неправильно посчитан был, да)

[@Evgeny-2718]

У Вас неважно с памятью. Сочувствую. Сколько можно мусолить подобные уравнения?? Оно решается ГОРАЗДО ПРОЩЕ!