Задача про угол 75 градусов и высоту.

Математика геометрическая задача про высоту в два раза меньше стороны

[@Zurakaman]

Пётр спасибо. Мне бы такого учителя в школе!!!!

[@user-nq3qb6cj9w]

👍👍👍 Всегда рад новым задачам!!!

[@user-mn3qd7pu5u]

Великолепно!

[@doctortrol1]

Божественно!

[@user-de7zf6sx7p]

Спасибо, интересно🤔💭

[@lev4iklev4ik68]

просто СПАСИБО!

[@AI-dz8xc]

Спасибо, больше геометрии!

[@user-zc5pd4tu5g]

13:18 - отрезок продолжения стороны BC до пересечения с высотой обозначим за x, по двум прямоугольным треугольникам получаем: x = h/tg(75+C) h = (2h+x)*tg(C) Подставляем x во второе уравнение, упрощаем и получаем квадратное уравнение: (2/tg(75)-1)*tg^2(C) + 2tg(C) - 1 = 0 Решаем: tg(C) = (-1±(2/tg(75))^0,5) / (2/tg(75)-1) Используем калькулятор, чтобы посчитать, и получаем два возможных значения угла C: 30 и 75 градусов. В общем тупоугольный треугольник не получается.

[@servenserov]

Сумма площадей двух прямоугольных тр-ов по катету h и tg противолежащего угла равна площади всего тр-ка по основанию 2h и высоте h. Из этого равенства легко вычисляем искомый угол.

[@user-jm5fw8pm2j]

доказательство в "лоб" случая , в видео на д.з.(высота падает на сторону в 2 раза большей высоты). Возьмем на высоте точку O, такую что, уг. OAD=60° и уг.BAO=15°. Пусть AD=x. Тогда в прямоугольном треугольнике AOD уг.AOD=30° и AO=2x, OD=✔3x. Далее треугольник ABO равнобедренный - уг.ABO=уг.BAO=15°. Тогда AO=OB=2x. Далее BD=BO+OD=2x+✔3. По условию AC=2BD=2(2+✔3)x. Далее DC= 2(2+✔3)x-x=(3+2✔3)x. По теореме Пифагора BC=✔((2+✔3)x•(2+✔3)x + (3+2✔3)x•(3+2✔3)x)=2(2+✔3)x. Т.е.стороны AC=BC=2(2+✔3)x. Тогда в равнобедренном треугольнике ABC уг.A=уг.B=75° и уг.C=30°

[@vadimborodin7566]

С 4:06 зря так сделали: всегда, когда получается число делить на tg , то следует переходить на ctg и тогда ctga + ctg75=2. И сразу получилось ctga=2-ctg75. Отдельно вычисляем ctg75, подставляем и выходит тот же ответ.

[@troleg1]

Теперь попробуем чисто геометрическое решение для остроугольного треугольника. Пусть точка К симметрична точке В относительно стороны АС. Тогда треугольник ВАК - равнобедренный с углами 150, 15 и 15. Внутри треугольника АВС проведем отрезок АО, равный АВ под углом 15 градусов к АС. В треугольнике АОВ АВ = АО и угол между ними 60 градусов, значит он равносторонний, то есть ОВ = ОА, а угол АОВ = 60 градусов. Треугольники АОС и ВАК равны, так как ВК = АС = 2*Н, АО = АВ и угол между ними 15 градусов. .Значит АО =ОС, а угол АОС 150 градусов. Далее угол ВОС равен 360 - 150 - 60 = 150 градусов Треугольники АОС и ВОС равны, как равнобедренные с углом 150 градусов при вершине. Следовательно, АС = ВС, то есть угол АВС тоже 75 градусов.

[@user-vf2su4ie7h]

Вроде случай где высота за продолжение падает невозможен, потому что давайте на отрезке длиной 2h построем окружность, что вписанный угол на этот отрезок 75 градусов. Построим прямую ,параллельную исходному отрезку, на расстоянии h от отрезка. Тогда у этой прямой и окружности 2 точки пересечения, при этом мы знаем, что если есть равнобедренный треугольник с углом 75 при основании, то для него задача верна. Тогда в эту же полуплоскость, где угол 75 должен быть построим два р/б треугольника с углом 75 и стороной нашим отрезком и получим, что это и есть 2 наши точки пересечения прямой и окружности. _____________ Написал возможно не очень понятно, но вроде всё верно. :)

[@alextitov-]

Нашёл решение практически без тригонометрии. Пристроим к треугольнику ABD по стороне AD равный ему треугольник ADE (иначе, продлим BD за точку D и на продолжении возьмём точку E, такую, что BD = DE). Угол BAE тогда равен 150°. Введём обозначения: AD = x; AB = AE = c и найдём площадь треугольника BAE двумя разными способами. C одной стороны - это полупроизведение сторон на синус угла между ними: S = (1/2)*с*с*sin 150° = (1/2)*c²*(1/2) = c²/4. С другой стороны эта же площадь равна полупроизведению основания BE на высоту AD: S = (1/2)*2h*x = hx. Получаем равенство: c²/4 = hx; c² = 4hx. С другой стороны, из треугольника ABD по теореме Пифагора: c² = h² + x². Подставляем, получаем: h² + x² = 4hx; h² - 4hx + x² = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x по формуле для чётного коэффициента, получаем два корня: x = (2 ± √3)h. Корень x = (2 + √3)h не подходит, так как часть отрезка не может быть больше всего отрезка. Значит, x = (2 - √3)h. Отсюда DC = 2h - x = 2h - (2 - √3)h = h√3. По теореме Пифагора находим: (BC)² = (BD)² + (DC)² = h² + 3h² = 4h²; BC = 2h. Далее можно либо заключить, что т.к. AC = BC = 2h, то треугольник равнобедренный, значит, угол ABC равен также 75°, и отсюда найти нужный угол, либо сразу сказать, что в прямоугольном треугольнике BDC катет BD равен половине гипотенузы, значит, он лежит напротив угла 30°. Это и есть искомый угол. В Вашем решении 3:20 можно от тангенсов перейти к котангенсам. Это позволит уйти от дробей и упростит выкладки. И вот такое доказательство невозможности Вашей картинки с тупоугольным треугольником. Пусть угол при вершине B - тупой, т.е. он больше 90°. Из основного свойства треугольника следует, что тогда угол при вершине C меньше 15°, его котангенс больше 2 + √3, т.е. весь отрезок DC (где D - основание высоты из вершины A) больше (2 + √3)h, значит, отрезок DB, как разность DС и BC = 2h, больше √3h. По теореме Пифагора отрезок AB тогда больше 2h. В треугольнике ABC напротив стороны BC = 2h лежит угол 75°, напротив стороны AB > 2h лежит тогда угол, больший 75°. Но только что доказано, что он меньше 15°. Противоречие.

[@ivansemenov3312]

Всё правильно, но немного перемудрили. 1/tga + 1/tg75 = 2 1/tga = 2 - 1/tg75 Здесь можно вычислить tg75 И получить x = 2 - 1/tg75 tga = 1/x Считаю, что так проще.)

[@user-jd9gw7mq5t]

А можно было совсем просто: 1) Найти АD через h AD=hctg 75 2)Затем найти DС=2h-hctg75 и 3)связать высоту и катет в прямоугольном треугольнике ВDC , введя неизвестный угол С. Такой же ответ, но проще !

[@j_nurbolat]

Пожалуйста ставьте ваш царский лайк ,чтобы он увидел мой ответ)) Домашка 2: Из треугоольника АВД: угол АВД=180-75-90=15градусов. Если воспользуемся теоремой синусов получется h/sin(75)=AD/(sin15) из этого AD=h*tg(15)=h*(2-под корнем(3)) И получается ДС=АС-АД=2h-h(2-под корнем(3))=h(2-2+под корнем(3))=h*под корнем(3) А теперь из треугольника ВДС: Если используем теорему Пифагора: ВС=под корнем(ДС^2+ВД^2)=под корнем(3*h^2+h^2)=под корнем(4*h^2)=2*h ВС/sin90=BD/sinC 2h/1=h/sinC sinC=1/2 Получается уголС= 30градусов

[@Tarazanov]

Домашка 2 (было задание доказать без тригонометрии). Тригонометрия - это про синусы, косинусы, тангенсы и т.д. Без тригонометрии, означает без синусов, косинусов, тангенсов и катангенсов и т.д. Поэтому нет теорем синусов, теорем косинусов, соотношений углов и сторон прямоугольного треугольника через триг. функции и различных преобразований этих триг. функций. Поэтому. Да, это некое решение, но оно тоже тригонометрическое. А требовалось без тригонометрии.

[@j_nurbolat]

А куда отправить домашних работ?)

[@Tarazanov]

Здесь прям и писать. :)

[@user-yx9pv9jz9w]

Ну и если быть совсем дотошные, надо показать, что угол С не прямой

[@user-yy3dw5lp8m]

Здравствуйте Пётр Александрович! Начну с доказательства разобранного случая без тригонометрии. В ваших обозначениях. В самом начале доказано, что если BC=2h, то С=30° и AC=BC. Значит АС=2h. То есть сторона, на которую падает высота то же в 2 раза больше.А поскольку изначально вершина взята произвольно, произведённые рассуждения не ограничивают общность. Если провести высоту из вершины А, всё будет так же. Если на одну из сторон любого треугольника с углом 75° произвольным образом опустить высоту в 2 раза меньше чем эта сторона, этот треугольник будет подобен рассмотренному, так как в подобных треугольниках пропорциональны не только стороны, но и все соответствующие линейные величины - высоты в том числе. А у подобных треугольников соответствующие углы равны. Невозможность попадания высоты вне треугольника при заданных условиях следует из доказанного.

[@Tarazanov]

"А поскольку изначально вершина взята произвольно, произведённые рассуждения не ограничивают общность. Если провести высоту из вершины А, всё будет так же. Если на одну из сторон любого треугольника с углом 75° произвольным образом опустить высоту в 2 раза меньше чем эта сторона, этот треугольник будет подобен рассмотренному" - Это все не очевидно и требует доказательств. Здесь не работает такой шаг про ограничения общности. То есть если у вас что то работает в одну сторону, то это не означает, что обязательно будет выполнятся обратное.

[@user-yw6nd4rq3i]

Вообще-то не рассмотрен случай, когда высота опущена из угла 75 градусов (угол А на чертеже), там как раз самое интересное. Если тригонометрией решать, будет квадратное уравнение даже!

[@hunter-km1tn]

Есть ещё вариант провести высоту из самого угла 75 градусов.

[@user-up9qd7ls3t]

Почему?

[@Tarazanov]

@@user-up9qd7ls3t Потому что в оригинальном условии, которое давалось в прошлом видео, речь шла что какая-то высота относится к какой-то стороне как 1:2, а не конкретная высота из конкретного угла, как начали рассматривать в этом видео. То есть условие другое.

[@user-up9qd7ls3t]

@@Tarazanov неужели это означает то что я подумала?

[@Tarazanov]

@@user-up9qd7ls3t Я не экстрасенс. Даже боюсь предположить о чем вы подумали :)))

[@natty55555]

Для этого случая намного проще: Если BC=2h то угол С =30, угол B = 75 => треугольник Р_А_В_Н_О_Б_Е_Д_Р_Е_Н_Н_Ы_Й => BC = AC = 2h. Условие выполнилось при угол С = 30. Задача решена. Вот если бы взять угол не 75...

[@Tarazanov]

Вы понимаете, что надо доказывать обратные случаи. То есть, если вы получили для какого то случая р/б треугольник, в котором выполнено конкретное условие, то надо доказать, что это условие будет только в р/б ∆

[@natty55555]

@@Tarazanov то есть надо доказать еще что других решений не существует?

[@Tarazanov]

@@natty55555 Ну, а как? Если в задаче просят найти решение, то надо найти все. Соответсвенно рассматриваются все возможные случаи и находятся все решения или доказывается, что других решений нет или то что они совпадают.

[@natty55555]

@@Tarazanov Геометрическое место всех точек B треугольника c высотой h - прямая параллельная основанию AC и отстоящая от него на h. Пересечение прямой AB c этой прямой даст единственную точку B. (Прямые пересекаются тольков одной точке) Так что решение единственное.

[@Tarazanov]

@@natty55555 Ну вот. Это уже хорошо. Осталось еще так же рассмотреть случай, (который автор ролика упустил ), когда высота выходит из вершины A (из угла в 75). Там аналогично, но чуть посложней.

[@ferfer2231]

Тот кто дизлайкнул у того 0 градусов!!!

[@user-up6jq5xm3f]

Это капец!

[@Tarazanov]

Ох. Не смотрели видимо мой ответ к предыдущему видео по поводу этой задачи. Во первых. Вы все же рассмотрели не все случаи (вернее не проговорили их). А именно случаи, когда высота выходит из угла в 75. И опять же про тупоугольный, но высота выходит не из данного угла. Во вторых я там выкладывал решение именно геометрическое. Без тригонометрии.

[@Tarazanov]

Дублирую сюда еще раз с поправками У нас возможны 2 случая: 1 случай - высота в 2 раза меньше стороны на которую не падает и 2 случай - высота в 2 раза меньше стороны на которую падает. 1 Случай. (Возможны несколько вариантов) 1 вариант: падает снаружи треугольника и там получится либо тупой угол будет равен 150 (смежный с 30, а 30 получаем из-за катета в прямоуг. ∆ в 2 раза меньшего гипотенузы), а так быть не может 150+75>180 (сумма углов в треуг). Либо 30 градусов будет угол в самом треугольнике и тогда тупой угол = 75, что неправда. То есть высота снаружи быть в 1 случае не может. 2 вариант (1 -го случая). Высота внутри ∆ и получаем угол в 30 и третий 75 (это решение вы озвучили в ролике, т.к. угол в 30 лежит напротив катета, которы в 2 раза меньше гипотенузы). Но при этом замечаем, что у нас получается равнобедренный ∆ у которого эта высота будет так же в 2 раза меньше и стороны к которой проведена. (Это нам понадобится для решения 2 случая) 2 случай (высота падает на сторону в 2 раза большую). Докажем что такой ∆ будет равен р/б ∆ из 1-го случая. рассмотрим 2 варианта. 1 вариант. У нас высота выходит из другого угла (не данного) и падает на сторону в 2 раза большую. Докажем, что этот ∆ равен р/б треугольнику из 1-го случая. У нас равна одна сторона, прилежащий угол в 75 и высота к этой стороне. Рассмотрев прямоугольные ∆ (образованные высотами) мы понимаем, что они равны. Таким образом получаем, что равны еще одни стороны в ∆ и получаем равенство наших начальных ∆ по двум сторонам и углу между ними. 2 вариант. Высота выходит из угла 75 и падает на сторону в 2 раза большую. Снова докажем равенство р/б ∆ из 1-го случая. У нас равна одна сторона, противолежащий угол и высота. Приложим эти стороны друг к другу, так чтоб вершины были по одну сторону. Эти вершины противолежащих углов будут на окружности.(вписанные углы опирающиеся на одну хорду). Так же эти вершины равноудалены от стороны, то есть находятся на параллельной прямой. Эта прямая пересекает окружность в 1 или 2 точках, если в 1 точку или в 1 из 2 попали обе вершины, то ∆ совпали и они равны. Если попали в разные точки, то получаем трапецию вписанную в окружность. Значит она равнобедренная. Тогда получаем равные стороны у ∆ и => наши ∆ равны. ч.т.д.

[@Tarazanov]

Кстати заодно доказали признаки равенства ∆ по стороне, прилежащему углу и высоте проведенной к этой стороне и так же по стороне, противолежащему углу и высоте проведенной к этой стороне. Это можно например использовать как задачу на построение. Дана сторона, (прилежащий или противолежащий) угол и высота к этой стороне. Построить ∆

[@user-jm5fw8pm2j]

@@Tarazanov , доказательство в "лоб" случая , в видео на д.з.(высота падает на сторону в 2 раза больше высоты). Возьмем на высоте точку O, такую что, уг. OAD=60° и уг.BAO=15°. Пусть AD=x. Тогда используя св-ва прямоугольного и равнобедренного треугольников, и теорему Пифагора , вычислим и получим AC=BC=2(2+✔3)x. Тогда уг.BCA=30°

[@user-jm5fw8pm2j]

@@Tarazanov ,для высоты, выходящей из уг.75°, можно доказать без хорд и окружностей. Из предыдущих вариантов видно, что по крайней мере существует 2 варианта треугольников, удовлетворяющих условию (с уг.A=75°, и уг.C=75 °). Легко доказать , что других нет. А, именно : 1) двигаем луч B против часовой стрелки на x°30-x° лежит большая сторона). Т е. другими словами, нижняя сторона будет больше 2-х высот с углом 75°, с выходящей из него высотой, если луч 75° двигать против часовой стрелки. 2) двигаем луч B по часовой стрелке на x°30° лежит большая сторона). Т е. других треугольников( кроме этих 2-х) не существует со стороной равной 2-м высотам, и углом 75°, с выходящей из него высотой.

[@Tarazanov]

@@user-jm5fw8pm2j А можно поясней. Что такое луч B? (луч задается двумя точками хотя бы). Что такое "вложим" ∆ в ∆?

[@MrRoiksv]

Как для меня проще решить как tgDBC=2-tg15. В результате DBC=60, ABC=75

[@troleg1]

Сначала докажем, что для тупоугольного треугольникаискомого угла ВАD не существует. Метод от противного Предположим, что он равен Х. Тогда ВD = Н * tg X, CD = Н * tg (75 + X) BC = CD - BD = H * (tg(75+X) - tg X) = 2*H Поделив на Н, получаем tg (75 + X) - tg X =2 Мы уже получили, что tg 75 = 2 + корень(3), тогда tg X > корень (3), откуда Х > 60 Но в этом случае 75 + X > 135, что противоречит тому, что угол САD острый

[@akr749]

третий случай вовсе не надо было доказывать. Вы все доказали, когда рассматривали второй случай: два угла по 75 - значит треугольник равнобедренный - значит нижняя сторона, как и правая, в 2 раза больше высоты :) хотя доказательство интересное

[@Tarazanov]

Это говорит только о том, что если треугольник р/б, то высота к боковой стороне относится так же и к другой. Но это не означает, что если высота, как то относится к противоположной стороне, то треугольник р/б. Короче говоря, тогда надо доказать тот факт, что другого треугольника получится не может, то есть это возможно ТОЛЬКО в р/б треугольнике.

[@akr749]

@@Tarazanov я этого и не утверждал. в решении ( 2й случай) дед сначала и определил, что для случая, когда правая сторона = 2h - треугольник равнобедренный: вычислил правый угол. он равен 30. значит верхний 180-75-30=75. т.е тр-к - р/б, а значит нижняя сторона равна правой верхней, а значит и нижняя равна 2h

[@Tarazanov]

@@akr749 Ваше утверждение: "третий случай вовсе не надо было доказывать..." ошибочное. Я вам просто примером пояснил, что так рассуждать нельзя. От того что вы получили конкретный р/б ∆. Надо либо доказать, что другого случая невозможно, либо рассмотреть все другие случаи и получить для них решения. А просто утверждать что раз в р/б ∆ равны стороны и нижняя получилась 2h, то верно и наоборот: "нижняя сторона равна 2h, то треугольник р/б" - неверно. Ну давайте на отвлеченном примере. Доказываем, что когда встает солнце, то на улице становится светлее. А дальше некто начнет заявлять: "Раз на улице светлее, то значит солнце встало". Но это не всегда так. Возможны и другие случаи. Например на улице включили фонари. Так и тут. А вдруг возможен другой случай, когда нижняя сторона 2h, а треугольник не р/б

[@akr749]

@@Tarazanov либо Вы не хотите вникнуть, в то что я написал, либо я плохо довел свою мысль (каюсь, не педагог). еще раз: вычислили правый угол. он равен 30. значит верхний 180-75-30=75. т.е тр-к - р/б, а значит нижняя сторона равна правой верхней, а значит и нижняя равна 2h, а значит, когда нижняя равна 2h, правый угол равен 30. арбитром в споре мог бы быть кто-то третий, желательно автор...

[@Tarazanov]

@@akr749 Я в ваше предложение понял еще с первого комментария. Но вы упорно повторяете одно и тоже. Это наверное мне кара такая за аналогичный троллинг (по современному) над преподавателем по геометрии. На коллоквуеме мне попался вопрос, с муторным доказательством (уже не помню точно что). И я в ответе упростил это приблизительно таким же методом (без доказательств). Преподаватель хотел мне указать на мою ошибку. Но я возразил, что если я не прав, то пусть он мне докажет обратное. И он повелся :) И стал муторно подбирать примеры, когда мое утверждение будет неверно. Меня это так забавляло, что преподаватель пытается примером опровергнуть доказанную известную теорему, чтоб показать мне что мое утверждение этой теоремы без доказательства неверно. А вылилось это в то что я его начал гонять по определениям. Потому что его примеры чему нибудь противоречили. Через несколько минут он осознал происходящее. Поставил 4 и отправил не опросив по 2 вопросу билета. Так вот. Я не смогу вам привести опровергающий пример, чтоб вы поняли свою логическую ошибку. Потому что в основе лежит теорема о равенстве треугольников по стороне углу и высоте. (конкретным) То есть, у нас определен треугольник однозначно по этим 3-м элементам. Я пытался пояснить вам на других примерах, что это так не работает. То, есть из A => B неверно делать вывод, что B => A. Но вы пытаетесь это использовать бездоказательно и у вас все получается, потому что в данном конкретном случае A B (это доказывается другим способом). Чтоб перейти к более конструктиву. Вы ответьте. Вы понимаете, что A=>B ≠ B=>A? Если не понимаете, то сначала надо освоить этот материал, для дальнейшей дискуссии. Если понимаете и считаете, что ваше утверждение под это не подпадает, то попробую пояснить еще раз. Разбейте ваше утверждение на знаки равносильности (то есть после каждого вывода ставьте не "то","значит", а напишите "тогда и только тогда". Если везде расставить получится, то ваше утверждение будет равносильным. (можете его сюда тогда написать) Но вы уже сломаетесь хотя бы на этом утверждении: (углы 75,75,30) => (∆-р/б), потому что в обратную сторону это неверно: (∆-р/б) ≠>(углы 75,75,30) Поэтому ваши заключения "а значит, когда нижняя равна 2h, правый угол равен 30" основанные именно на вашей логической цепочке неверен.

[@mdIbeloka]

здравствуйте, Новое предложение от Чубайса - три класса бесплатно, а остальное плати. Это про школьное образование. спасибо.

[@Tarazanov]

Вообще очередной дизлайк от меня. В который раз учитель не подготовился к уроку :) Задал д.з. То есть было время подготовиться и рассказать решение по полочкам. А тут: тяп-ляп на ходу. Вместо того что бы подойти структурировано: какие возможны варианты и как лучше их перебирать, чтоб сократить решение. Потом поэтапно решать эти варианты. Автор просто выхватывает первый попавшийся случай не напоминая общего условия задачи (у зрителя уже может сложится неверное представление об условии оригинальной задачи). Рассматривает к этому случаю 3 варианта из 6!!! Потом, как бы между прочим дает снова д.з. с тупым углом (причем из другого случая). Но дело в том, что не разобран еще целый ряд случаев (У нас в треугольнике 3 высоты и отношение может быть к 3 сторонам и высота может быть внутри и снаружи. Итого как минимум 18 случаев) И какие то можно объединить, но и есть которые требуют отдельного разбирательства. Но это надо все проговаривать и доносить. UPD: Напомню условие задачи из прошлого видео. Дан угол в треугольнике =75 и дано что высота относится к какой-то стороне как 1:2 Согласитесь, что то что начал решать автор ролика - это про высоту из конкретного угла (который не 75). Это немножко другая задача, вернее часть общей задачи и то решенная не полностью